Materi & Latihan Soal: Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar
Matematika SMP & SMA
Penjumlahan & Pengurangan Bentuk Akar: Materi, Contoh, dan Latihan Soal
Materi Pembelajaran • Operasi Aljabar Bentuk Akar
1. Konsep Dasar & Rumus Utama
Operasi penjumlahan dan pengurangan pada bentuk akar memiliki konsep yang serupa dengan penjumlahan aljabar suku sejenis (seperti \(2x + 3x = 5x\)).
Syarat Utama: Angka di dalam tanda akar (radikan) harus sama.
Rumus Penjumlahan:
\(a\sqrt{c} + b\sqrt{c} = (a + b)\sqrt{c}\)
Rumus Pengurangan:
\(a\sqrt{c} - b\sqrt{c} = (a - b)\sqrt{c}\)
\(a\) dan \(b\) adalah koefisien (angka di luar akar).
\(c\) adalah radikan (angka di dalam akar).
Jika bentuk akar berbeda (misal: \(\sqrt{2} + \sqrt{3}\)), operasi tidak bisa digabungkan.
2. Menyederhanakan Akar yang Belum Sejenis
Jika angka di dalam akar belum sama, sederhanakan terlebih dahulu dengan memfaktorkannya menjadi perkalian bilangan kuadrat sempurna (\(4, 9, 16, 25, 36, \dots\)) dengan bilangan lain.
Contoh Penyederhanaan:
\(\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}\)
\(\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}\)
\(\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3}\)
3. Latihan Soal & Pembahasan
Uji pemahamanmu dengan mengerjakan 5 latihan soal di bawah ini. Klik "Lihat Pembahasan" untuk mengecek jawabanmu!
1
Hasil sederhana dari \(7\sqrt{5} + 4\sqrt{5} - 3\sqrt{5}\) adalah...
A. \(8\sqrt{5}\)
B. \(7\sqrt{5}\)
C. \(9\sqrt{5}\)
D. \(6\sqrt{5}\)
Lihat Kunci Jawaban & Pembahasan
Jawaban: A
Pembahasan:
Karena seluruh suku sudah memiliki akar yang sejenis (\(\sqrt{5}\)), kita tinggal mengoperasikan angka di depan akarnya:
Sebuah segitiga memiliki panjang sisi-sisi \(\sqrt{12}\text{ cm}\), \(\sqrt{27}\text{ cm}\), dan \(\sqrt{75}\text{ cm}\). Keliling segitiga tersebut adalah...
Sebuah persegi panjang memiliki ukuran panjang \((4 + \sqrt{3}) ext{ cm}\) dan lebar \((4 - \sqrt{3}) ext{ cm}\). Luas persegi panjang tersebut adalah...
A. \(13 ext{ cm}^2\)
B. \(19 ext{ cm}^2\)
C. \(16 ext{ cm}^2\)
D. \(7 ext{ cm}^2\)
Lihat Kunci Jawaban & Pembahasan
Jawaban: A
Pembahasan:
\( ext{Luas} = p imes l\)
\( ext{Luas} = (4 + \sqrt{3})(4 - \sqrt{3})\)
Gunakan bentuk selisih kuadrat \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\):
10 Soal Menyederhanakan Bentuk Akar (Tingkat Dasar)
Matematika SMP & SMA
10 Soal Menyederhanakan Bentuk Akar (Tingkat Dasar) + Pembahasan
Latihan Soal Matematika • Materi: Bentuk Akar (Radikal)
💡 Konsep Dasar Menyederhanakan Akar
Untuk menyederhanakan bentuk akar kuadrat \(\sqrt{N}\), cari faktor perkalian dari \(N\) yang salah satunya merupakan bilangan kuadrat sempurna (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, dst.).
Gunakan sifat: \(\sqrt{a times b} = \sqrt{a} times \sqrt{b}\)
Bank Soal Matematika Kontekstual - Statistika & Peluang
BANK SOAL MATEMATIKA KONTEKSTUAL
Materi: Diagram Garis, Aturan Pencacahan, dan Analisis Ukuran Pemusatan Data
Indikator Soal:
Menginterpretasi penyajian data dalam bentuk diagram garis.
Menyelesaikan masalah kontekstual dengan aturan pencacahan (penjumlahan atau perkalian).
Menggunakan informasi ukuran pemusatan (mean, median, modus) atau penyebaran data untuk melengkapi kumpulan data.
A. Interpretasi Penyajian Data Diagram Garis
Pilihan Ganda (PG)
1. Diagram garis di atas menunjukkan pendapatan bulanan Kedai Kopi "Kopi Lokal" (dalam jutaan Rupiah) selama periode Januari hingga Juni. Persentase kenaikan pendapatan terbesar dalam dua bulan berurutan terjadi pada periode ...
Kunci Jawaban: C Pembahasan:
Hitung persentase kenaikan pada tiap periode yang mengalami kenaikan:
- **Jan – Feb:** Naik $18 - 12 = 6 \implies \frac{6}{12} \times 100\% = 50\%$.
- **Feb – Mar:** Mengalami penurunan.
- **Mar – Apr:** Naik $24 - 15 = 9 \implies \frac{9}{15} \times 100\% = 60\%$.
- **Apr – Mei:** Naik $30 - 24 = 6 \implies \frac{6}{24} \times 100\% = 25\%$.
- **Mei – Jun:** Mengalami penurunan.
Persentase kenaikan terbesar terjadi pada periode Maret – April yaitu sebesar $60\%$.
PGK MCMA (Pilihan Lebih dari Satu)
2. Berdasarkan data pendapatan Kedai Kopi "Kopi Lokal" pada diagram garis Soal No. 1, manakah dari pernyataan berikut yang **BENAR**? (Pilihlah semua jawaban yang sesuai)
Kunci Jawaban: A, B, D, E Pembahasan:
- **A:** Total pendapatan $= 12 + 18 + 15 + 24 + 30 + 21 = 120\text{ juta}$. Rata-rata $= \frac{120}{6} = 20\text{ juta}$ (Benar).
- **B:** Penurunan Mei ke Jun $= 30 - 21 = 9\text{ juta}$. Persentase $= \frac{9}{30} \times 100\% = 30\%$ (Benar).
- **C:** Jan+Feb+Mar $= 12 + 18 + 15 = 45\text{ juta}$. Apr+Jun $= 24 + 21 = 45\text{ juta}$. (Benar).
- **D:** Puncak tertinggi pada bulan Mei $= 30\text{ juta}$ (Benar).
- **E:** Kenaikan terjadi pada Jan-Feb, Mar-Apr, dan Apr-Mei (3 periode) (Benar).
PGK Kategori (Benar / Salah)
3. Berdasarkan diagram garis pencatatan suhu rata-rata Harian Kota X dari Senin hingga Jumat di atas, tentukan nilai **BENAR** atau **SALAH** dari pernyataan evaluasi berikut!
Pernyataan Analisis Grafik Suhu
Benar
Salah
Rata-rata suhu harian Kota X dari Senin sampai Jumat adalah $28^\circ\text{C}$.
Kenaikan suhu terbesar dari hari sebelumnya terjadi pada hari Kamis.
Median dari data suhu harian selama lima hari tersebut adalah $28^\circ\text{C}$.
Kunci Jawaban:
1. **Benar** ($\text{Rata-rata} = \frac{24 + 28 + 26 + 32 + 30}{5} = \frac{140}{5} = 28^\circ\text{C}$)
2. **Benar** (Kenaikan Rab $\to$ Kam $= 32 - 26 = 6^\circ\text{C}$, lebih besar dibanding Sen $\to$ Sel yang hanya $4^\circ\text{C}$)
3. **Benar** (Data terurut: $24, 26, 28, 30, 32$. Median berada di urutan ke-3 yaitu $28^\circ\text{C}$).
B. Masalah Kontekstual Aturan Pencacahan (Penjumlahan & Perkalian)
Pilihan Ganda (PG)
4. Bagan jalur transportasi di atas menghubungkan Kota A, Kota B, dan Kota C. Seseorang dapat bepergian dari Kota A ke Kota C transit melalui Kota B, ATAU menggunakan jalur kereta ekspres langsung dari Kota A ke Kota C. Banyaknya variasi pilihan rute perjalanan yang dapat ditempuh dari Kota A ke Kota C adalah ...
Kunci Jawaban: C Pembahasan:
Gunakan kombinasi Aturan Perkalian dan Aturan Penjumlahan:
1. **Melalui Kota B (Aturan Perkalian):** Dari A ke B ada 3 rute, B ke C ada 4 rute $\implies 3 \times 4 = 12\text{ rute}$.
2. **Jalur Langsung A ke C (Aturan Penjumlahan):** Ada 2 rute ekspres.
Maka, total variasi rute dari A ke C $= 12 + 2 = 14\text{ rute}$.
Pilihan Ganda (PG)
5. Budi hendak bepergian pulang-pergi dari Kota A ke Kota C melalui Kota B (menggunakan diagram rute transit pada Soal No. 4, tanpa jalur ekspres). Jika saat perjalanan pulang kembali ke Kota A ia **tidak boleh** menggunakan rute yang sama dengan rute berangkat, banyak pilihan rute perjalanan pulang-pergi Budi adalah ...
Kunci Jawaban: B Pembahasan:
- **Perjalanan Berangkat ($A \to B \to C$):** $3 \times 4 = 12\text{ rute}$.
- **Perjalanan Pulang ($C \to B \to A$ tanpa rute bekas berangkat):**
Dari C ke B sisa $4 - 1 = 3\text{ rute}$.
Dari B ke A sisa $3 - 1 = 2\text{ rute}$.
Banyak rute pulang $= 3 \times 2 = 6\text{ rute}$.
- **Total Perjalanan Pulang-Pergi:** $12 \times 6 = 72\text{ cara}$.
PGK MCMA (Pilihan Lebih dari Satu)
Pilihan Menu Restoran "Pilihan Selera"
Makanan Utama (M)
Minuman (D)
Makanan Penutup (P)
Nasi Goreng
Es Teh Manis
Puding Sukun
Ayam Bakar
Jus Jeruk
Es Krim Matcha
Mie Goreng
Kopi Hitam
-
6. Restoran "Pilihan Selera" menyediakan pilihan menu makanan utama, minuman, dan makanan penutup seperti tabel di atas. Seorang pelanggan ingin memesan paket makanan. Manakah pernyataan perhitungan kombinasi pesanan berikut yang **BENAR**? (Pilihlah semua jawaban yang sesuai)
Kunci Jawaban: A, B, C, D Pembahasan:
- **A:** Makanan Utama $= 3$, Minuman $= 3$, Penutup $= 2$. Paket lengkap $= 3 \times 3 \times 2 = 18$ variasi (Benar).
- **B:** Menggunakan aturan penjumlahan: $3 + 3 = 6$ pilihan (Benar).
- **C:** Makanan Utama $\times$ Minuman $= 3 \times 3 = 9$ variasi (Benar).
- **D:** Makanan Utama tersisa $2 \implies 2 \times 3 \times 2 = 12$ variasi (Benar).
- **E:** Paket lengkap dikerjakan berurutan sekaligus sehingga menggunakan aturan perkalian, bukan penjumlahan (Salah).
PGK Kategori (Sesuai / Tidak Sesuai)
7. Evaluasi kesesuaian prinsip aturan pencacahan yang digunakan pada skenario pembentukan kode keamanan PIN berikut!
Skenario Pembentukan PIN / Kode
Sesuai
Tidak Sesuai
Banyak kode PIN 4 digit angka (0–9) yang boleh memuat angka berulang adalah $10.000$ variasi.
Banyak PIN 3 digit angka berbeda disusun dari angka $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ adalah $60$ variasi.
Memilih 1 plat nomor ganjil ATAU 1 plat nomor genap dari daftar kendaraan menggunakan aturan perkalian.
Kunci Jawaban:
1. **Sesuai** ($10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^4 = 10.000$ variasi)
2. **Sesuai** ($5 \times 4 \times 3 = 60$ variasi)
3. **Tidak Sesuai** (Pilihan bermakna saling lepas dengan kata hubung "ATAU" harus menggunakan *Aturan Penjumlahan*).
C. Menggunakan Ukuran Pemusatan/Penyebaran untuk Melengkapi Data
Pilihan Ganda (PG)
Nilai Ujian Matematika 5 Orang Siswa
Siswa 1
Siswa 2
Siswa 3
Siswa 4
Siswa 5
70
80
x
85
90
8. Hasil nilai ujian Matematika dari 5 orang siswa ditunjukkan pada tabel di atas. Jika diketahui rata-rata nilai dari kelima siswa tersebut adalah $82$, maka nilai $x$ dari Siswa 3 adalah ...
Kunci Jawaban: C Pembahasan:
Rumus rata-rata ($\bar{x}$):
$$\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} \implies 82 = \frac{70 + 80 + x + 85 + 90}{5}$$
$$410 = 325 + x \implies x = 410 - 325 = 85$$
Jadi, nilai ujian Siswa 3 adalah $85$.
Pilihan Ganda (PG)
9. Sekumpulan data berukuran 6 telah diurutkan dari yang terkecil sebagai berikut:
$$4, \; 5, \; x, \; y, \; 10, \; 12$$
Diketahui kumpulan data tersebut memiliki **Modus = 5** dan **Median = 7**. Nilai dari $x + 2y$ adalah ...
Kunci Jawaban: C Pembahasan:
1. Karena data terurut $4, 5, x, y, 10, 12$ dan Memiliki Modus $= 5$, maka $x$ harus bernilai $5$ agar $5$ muncul paling sering.
2. Rumus Median untuk $n=6$ (suku tengah ke-3 dan ke-4):
$$\text{Median} = \frac{x + y}{2} = 7 \implies \frac{5 + y}{2} = 7 \implies 5 + y = 14 \implies y = 9$$
3. Hitung $x + 2y = 5 + 2(9) = 5 + 18 = 23$.
PGK MCMA (Pilihan Lebih dari Satu)
10. Delapan orang siswa memiliki nilai sampel terurut sebagai berikut: $3, 4, 5, a, b, 8, 9, 10$. Diketahui nilai **Mean = 6,5** dan **Median = 6,5**. Jika diketahui pula $a < b$, manakah pernyataan yang **BENAR**? (Pilihlah semua jawaban yang sesuai)
Kunci Jawaban: A, B, C Pembahasan:
- **A:** Median $= \frac{a + b}{2} = 6,5 \implies a + b = 13$ (Benar).
- **B:** Jika $a = 6$ dan $b = 7$, urutan data: $3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10$.
Mean $= \frac{3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10}{8} = \frac{52}{8} = 6,5$ (Sesuai! Benar).
- **C:** Jangkauan $= x_{\max} - x_{\min} = 10 - 3 = 7$ (Benar).
- **D:** Total nilai lama $= 52$. Tambah $10 \implies 62$. Rata-rata baru $= \frac{62}{9} \approx 6,89 \neq 7,0$ (Salah).
- **E:** Jika $a = 4, b = 9$, urutan $3, 4, 5, 4, 9, ...$ tidak terurut karena $a < 5$ dan $b > 8$ melanggar sifat terurut (Salah).
PGK Kategori (Benar / Salah)
Nilai Ulangan
Frekuensi ($f$)
60
3
70
5
80
f
90
4
100
2
11. Tabel distribusi frekuensi di atas memuat nilai ulangan sekelompok siswa dengan satu nilai frekuensi $f$ belum diketahui. Diketahui **rata-rata hitung (mean)** dari data tersebut adalah $78$. Evaluasi kebenaran pernyataan berikut!
Pernyataan Analisis Data Frekuensi
Benar
Salah
Banyaknya siswa yang memperoleh nilai $80$ (nilai $f$) adalah $6$ orang.
Jumlah seluruh siswa dalam kelompok data tersebut adalah $20$ orang.
Modus dari data nilai ulangan tersebut adalah $80$.
Materi: Menentukan Perbandingan Trigonometri dari Perbandingan Lainnya
Indikator Soal:
Menentukan nilai perbandingan trigonometri jika diketahui nilai perbandingan trigonometri lainnya pada sudut lancip (Kuadran I).
Menentukan nilai perbandingan trigonometri pada sudut berelasi/berada di berbagai kuadran (Kuadran II, III, dan IV).
Penerapan konsep perbandingan trigonometri dalam konteks geometri dan kehidupan sehari-hari.
Pilihan Ganda (PG)
1. Perhatikan segitiga siku-siku di atas. Diketahui nilai $\sin \theta = \frac{3}{5}$ dengan $\theta$ merupakan sudut lancip. Nilai dari $\tan \theta + \cos \theta$ adalah ...
Kunci Jawaban: A Pembahasan:
Diketahui $\sin \theta = \frac{\text{depan}}{\text{miring}} = \frac{3}{5}$.
Maka sisi depan $= 3$ dan sisi miring $= 5$.
Sisi samping $= \sqrt{\text{miring}^2 - \text{depan}^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$.
Dengan demikian:
- $\cos \theta = \frac{\text{samping}}{\text{miring}} = \frac{4}{5}$
- $\tan \theta = \frac{\text{depan}}{\text{samping}} = \frac{3}{4}$
Maka, $\tan \theta + \cos \theta = \frac{3}{4} + \frac{4}{5} = \frac{15 + 16}{20} = \frac{31}{20}$.
Pilihan Ganda (PG)
2. Sudut $\alpha$ terletak pada Kuadran II seperti ditunjukkan pada diagram Kartesius di atas. Jika diketahui $\cos \alpha = -\frac{12}{13}$, maka nilai dari $\csc \alpha \cdot \tan \alpha$ adalah ...
3. Diberikan sudut lancip $\theta$ dengan nilai $\tan \theta = \frac{4}{3}$ seperti ditunjukkan pada segitiga di atas. Manakah dari pernyataan perbandingan trigonometri berikut yang **BENAR**? (Pilihlah semua jawaban yang benar)
4. Titik $Q(-8, -15)$ berada di terminal sudut $\beta$ pada Kuadran III seperti pada gambar di atas. Tentukan apakah pernyataan nilai perbandingan trigonometri berikut **BENAR** atau **SALAH**!
Nilai dari $\tan \beta$ bernilai negatif karena berada di Kuadran III.
Nilai dari $\sec \beta + \tan \beta$ adalah $-\frac{1}{4}$.
Kunci Jawaban:
1. Benar ($x = -8, y = -15 \implies r = \sqrt{(-8)^2 + (-15)^2} = \sqrt{64 + 225} = 17$. Maka $\sin \beta = \frac{y}{r} = -\frac{15}{17}$)
2. Salah (Di Kuadran III, $x < 0$ dan $y < 0$, sehingga $\tan \beta = \frac{y}{x} = \frac{-15}{-8} = +\frac{15}{8}$ bernilai positif)
3. Benar ($\sec \beta = \frac{r}{x} = -\frac{17}{8}$ dan $\tan \beta = \frac{15}{8} \implies \sec \beta + \tan \beta = -\frac{17}{8} + \frac{15}{8} = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4}$)
Pilihan Ganda (PG)
5. Sebuah jalan bukit yang menanjak memiliki kemiringan sudut $\alpha$ terhadap bidang horizontal. Diketahui nilai sinus dari sudut kemiringan tersebut adalah $\sin \alpha = \frac{7}{25}$. Nilai dari ekspresi $\frac{1 - \cos \alpha}{\tan \alpha}$ adalah ...
