20 Soal TKA SMA: Pecahan Senilai (Gambar & Simbol Matematika)
Berikut adalah kumpulan 20 soal Tes Kemampuan Akademik (TKA) Matematika SMA sub-elemen Pecahan Senilai menggunakan Gambar dan Simbol Matematika.
Bagian I: Indikator Memahami (L1 / C2)
Soal 1
Memahami (L1)
Pilihan Ganda
Indikator: Memahami konsep pecahan senilai melalui model visual.
Sebuah lingkaran dibagi menjadi \(8\) bagian sama besar, dan \(6\) bagian di antaranya diarsir. Gambar manakah yang mewakili nilai pecahan yang senilai dengan gambar tersebut?
- A. Persegi panjang yang dibagi \(4\) bagian sama besar, \(2\) bagian diarsir.
- B. Persegi panjang yang dibagi \(12\) bagian sama besar, \(9\) bagian diarsir.
- C. Lingkaran yang dibagi \(6\) bagian sama besar, \(3\) bagian diarsir.
- D. Segitiga yang dibagi \(5\) bagian sama besar, \(3\) bagian diarsir.
- E. Persegi yang dibagi \(16\) bagian sama besar, \(10\) bagian diarsir.
Kunci Jawaban: B
Pembahasan:
Nilai pecahan mula-mula adalah \(\frac{6}{8} = \frac{3}{4}\).
Nilai pada pilihan B adalah \(\frac{9}{12} = \frac{3}{4}\). Jadi, \(\frac{6}{8} = \frac{9}{12}\) (senilai).
Nilai pecahan mula-mula adalah \(\frac{6}{8} = \frac{3}{4}\).
Nilai pada pilihan B adalah \(\frac{9}{12} = \frac{3}{4}\). Jadi, \(\frac{6}{8} = \frac{9}{12}\) (senilai).
Soal 2
Memahami (L1)
PG Kompleks Kategori
Indikator: Menentukan kesenilaian bentuk aljabar sederhana pecahan.
Tentukan apakah pernyataan berikut Benar atau Salah terkait kesenilaian pecahan simbolik (\(x \neq 0, y \neq 0\)):
| No | Pernyataan | Kategori |
|---|---|---|
| 1 | Bentuk \(\frac{3x}{6y}\) senilai dengan \(\frac{x}{2y}\). | [ Benar / Salah ] |
| 2 | Bentuk \(\frac{x+2}{y+2}\) pasti senilai dengan \(\frac{x}{y}\). | [ Benar / Salah ] |
| 3 | Bentuk \(\frac{2x^2}{4xy}\) senilai dengan \(\frac{x}{2y}\). | [ Benar / Salah ] |
Kunci Jawaban: 1. Benar | 2. Salah | 3. Benar
Pembahasan:
1. \(\frac{3x}{6y} = \frac{3}{6} \cdot \frac{x}{y} = \frac{x}{2y}\) (Benar)
2. Menambahkan konstanta pada pembilang dan penyebut tidak mempertahankan kesenilaian pecahan. (Salah)
3. \(\frac{2x^2}{4xy} = \frac{2x \cdot x}{2x \cdot 2y} = \frac{x}{2y}\) (Benar)
1. \(\frac{3x}{6y} = \frac{3}{6} \cdot \frac{x}{y} = \frac{x}{2y}\) (Benar)
2. Menambahkan konstanta pada pembilang dan penyebut tidak mempertahankan kesenilaian pecahan. (Salah)
3. \(\frac{2x^2}{4xy} = \frac{2x \cdot x}{2x \cdot 2y} = \frac{x}{2y}\) (Benar)
Soal 3
Memahami (L1)
MCMA
Indikator: Mengidentifikasi beberapa pecahan senilai dari simbol matematika.
Diberikan pecahan \(\frac{15}{25}\). Manakah di antara bentuk-bentuk berikut yang senilai dengan pecahan tersebut? (Pilihlah semua jawaban yang benar)
- [ ] A. \(\frac{3}{5}\)
- [ ] B. \(0,6\)
- [ ] C. \(60\%\)
- [ ] D. \(\frac{18}{30}\)
- [ ] E. \(\frac{20}{35}\)
Kunci Jawaban: A, B, C, D
Pembahasan:
\(\frac{15}{25} = \frac{3}{5} = 0,6 = 60\%\).
Selain itu, \(\frac{18}{30} = \frac{3}{5}\). Pilihan E adalah \(\frac{20}{35} = \frac{4}{7} \neq \frac{3}{5}\).
\(\frac{15}{25} = \frac{3}{5} = 0,6 = 60\%\).
Selain itu, \(\frac{18}{30} = \frac{3}{5}\). Pilihan E adalah \(\frac{20}{35} = \frac{4}{7} \neq \frac{3}{5}\).
Soal 4
Memahami (L1)
Pilihan Ganda
Indikator: Mengidentifikasi daerah arsiran pecahan senilai pada dua bidang geometris.
Persegi A dibagi menjadi \(4\) persegi kecil yang identik dan \(1\) persegi kecil diarsir. Persegi B memiliki ukuran total sama dengan Persegi A, namun dibagi menjadi \(16\) persegi kecil identik. Berapa banyak persegi kecil pada Persegi B yang harus diarsir agar daerah arsirannya senilai dengan Persegi A?
- A. 2
- B. 4
- C. 6
- D. 8
- E. 12
Kunci Jawaban: B
Pembahasan:
Persegi A = \(\frac{1}{4}\).
Agar senilai pada Persegi B (\(\frac{x}{16}\)), maka \(\frac{1}{4} = \frac{x}{16} \Rightarrow x = 4\).
Persegi A = \(\frac{1}{4}\).
Agar senilai pada Persegi B (\(\frac{x}{16}\)), maka \(\frac{1}{4} = \frac{x}{16} \Rightarrow x = 4\).
Soal 5
Memahami (L1)
MCMA
Indikator: Mengidentifikasi representasi pecahan senilai berbasis rasio variabel.
Diberikan hubungan \(\frac{a}{b} = \frac{4}{7}\) dengan \(a, b > 0\). Manakah pasangan ekspresi di bawah ini yang menghasilkan nilai pecahan yang senilai dengan \(\frac{a}{b}\)? (Pilihlah semua jawaban yang benar)
- [ ] A. \(\frac{3a}{3b}\)
- [ ] B. \(\frac{a^2}{b^2}\)
- [ ] C. \(\frac{a + a}{b + b}\)
- [ ] D. \(\frac{10a}{10b}\)
- [ ] E. \(\frac{a + 4}{b + 7}\)
Kunci Jawaban: A, C, D
Pembahasan:
Mengalikan pembilang dan penyebut dengan pengali konstan non-nol (\(k\)) menghasilkan pecahan senilai: \(\frac{k \cdot a}{k \cdot b} = \frac{a}{b}\).
- A: \(k=3 \rightarrow \frac{3a}{3b} = \frac{a}{b}\)
- C: \(\frac{2a}{2b} = \frac{a}{b}\)
- D: \(\frac{10a}{10b} = \frac{a}{b}\)
Mengalikan pembilang dan penyebut dengan pengali konstan non-nol (\(k\)) menghasilkan pecahan senilai: \(\frac{k \cdot a}{k \cdot b} = \frac{a}{b}\).
- A: \(k=3 \rightarrow \frac{3a}{3b} = \frac{a}{b}\)
- C: \(\frac{2a}{2b} = \frac{a}{b}\)
- D: \(\frac{10a}{10b} = \frac{a}{b}\)
Soal 6
Memahami (L1)
PG Kompleks Kategori
Indikator: Mengidentifikasi kesenilaian pecahan berpenyebut bentuk akar.
Tentukan apakah pasangan simbolik matematika berikut Senilai (Ya) atau Tidak Senilai (Tidak)!
| No | Pasangan Bentuk Pecahan | Kategori |
|---|---|---|
| 1 | \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) dan \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | [ Ya / Tidak ] |
| 2 | \(\frac{2}{\sqrt{3}+1}\) dan \(\sqrt{3}-1\) | [ Ya / Tidak ] |
| 3 | \(\frac{3}{\sqrt{5}}\) dan \(\frac{3\sqrt{5}}{25}\) | [ Ya / Tidak ] |
Kunci Jawaban: 1. Ya | 2. Ya | 3. Tidak
Pembahasan:
1. \(\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\) (Ya)
2. \(\frac{2}{\sqrt{3}+1} \times \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1} = \frac{2(\sqrt{3}-1)}{3-1} = \sqrt{3}-1\) (Ya)
3. \(\frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5} \neq \frac{3\sqrt{5}}{25}\) (Tidak)
1. \(\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\) (Ya)
2. \(\frac{2}{\sqrt{3}+1} \times \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1} = \frac{2(\sqrt{3}-1)}{3-1} = \sqrt{3}-1\) (Ya)
3. \(\frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5} \neq \frac{3\sqrt{5}}{25}\) (Tidak)
Bagian II: Indikator Mengaplikasikan (L2 / C3)
Soal 7
Mengaplikasikan (L2)
Pilihan Ganda
Indikator: Mengaplikasikan pecahan senilai untuk menghitung proporsi daerah lahan.
Pak Roni memiliki sebidang tanah berbentuk persegi panjang yang dibagi menjadi \(24\) kaveling sama besar. Sebanyak \(9\) kaveling ditanami jagung. Jika Pak Roni membeli tanah tambahan di sebelahnya yang dibagi menjadi \(40\) kaveling identik dengan skala tanah yang sama, berapa kaveling tanah baru yang harus ditanami jagung agar proporsi luas tanaman jagung terhadap total tanah baru senilai dengan proporsi di tanah lama?
- A. 12 kaveling
- B. 15 kaveling
- C. 18 kaveling
- D. 20 kaveling
- E. 25 kaveling
Kunci Jawaban: B
Pembahasan:
Proporsi awal = \(\frac{9}{24} = \frac{3}{8}\).
Proporsi tanah baru = \(\frac{x}{40}\).
\(\frac{3}{8} = \frac{x}{40} \Rightarrow x = \frac{3 \times 40}{8} = 15\) kaveling.
Proporsi awal = \(\frac{9}{24} = \frac{3}{8}\).
Proporsi tanah baru = \(\frac{x}{40}\).
\(\frac{3}{8} = \frac{x}{40} \Rightarrow x = \frac{3 \times 40}{8} = 15\) kaveling.
Soal 8
Mengaplikasikan (L2)
MCMA
Indikator: Mengaplikasikan kesenilaian pecahan dalam pembagian alokasi dana operasional.
Suatu perusahaan mengalokasikan dana riset sebesar \(\frac{12}{32}\) dari total anggaran bulanan. Manakah di antara alokasi berikut yang memiliki proporsi nilai anggaran yang senilai dengan alokasi riset tersebut? (Pilihlah semua jawaban yang benar)
- [ ] A. Rp37,5 juta dari total anggaran Rp100 juta.
- [ ] B. Rp15 juta dari total anggaran Rp40 juta.
- [ ] C. Rp60 juta dari total anggaran Rp180 juta.
- [ ] D. Rp24 juta dari total anggaran Rp64 juta.
- [ ] E. Rp9 juta dari total anggaran Rp24 juta.
Kunci Jawaban: A, B, D, E
Pembahasan:
\(\frac{12}{32} = \frac{3}{8} = 0,375 = 37,5\%\).
- A: \(\frac{37,5}{100} = 0,375\) (Benar)
- B: \(\frac{15}{40} = \frac{3}{8}\) (Benar)
- C: \(\frac{60}{180} = \frac{1}{3} \neq \frac{3}{8}\) (Salah)
- D: \(\frac{24}{64} = \frac{3}{8}\) (Benar)
- E: \(\frac{9}{24} = \frac{3}{8}\) (Benar)
\(\frac{12}{32} = \frac{3}{8} = 0,375 = 37,5\%\).
- A: \(\frac{37,5}{100} = 0,375\) (Benar)
- B: \(\frac{15}{40} = \frac{3}{8}\) (Benar)
- C: \(\frac{60}{180} = \frac{1}{3} \neq \frac{3}{8}\) (Salah)
- D: \(\frac{24}{64} = \frac{3}{8}\) (Benar)
- E: \(\frac{9}{24} = \frac{3}{8}\) (Benar)
Soal 9
Mengaplikasikan (L2)
PG Kompleks Kategori
Indikator: Mengaplikasikan pecahan senilai pada komposisi larutan/diagram batang.
Sebuah tangki berisi campuran \(18\) liter zat A dan \(30\) liter zat B. Tentukan Benar atau Salah untuk setiap rencana penambahan/pengurangan volume berikut agar rasio zat A terhadap total campuran tetap senilai dengan kondisi awal!
| No | Pernyataan Rencana | Kategori |
|---|---|---|
| 1 | Menambahkan \(6\) liter zat A dan \(10\) liter zat B. | [ Benar / Salah ] |
| 2 | Mengurangi volume zat A sebanyak \(3\) liter dan zat B sebanyak \(5\) liter. | [ Benar / Salah ] |
| 3 | Menambahkan \(9\) liter zat A dan \(9\) liter zat B. | [ Benar / Salah ] |
Kunci Jawaban: 1. Benar | 2. Benar | 3. Salah
Pembahasan:
Rasio awal A : B = 18 : 30 = 3 : 5.
1. Penambahan 6 : 10 = 3 : 5, sehingga rasio total tetap 3 : 5. (Benar)
2. Pengurangan 3 : 5 menjaga rasio sisa 15 : 25 = 3 : 5. (Benar)
3. Penambahan 9 : 9 mengubah rasio menjadi 27 : 39 = 9 : 13 ≠ 3 : 5. (Salah)
Rasio awal A : B = 18 : 30 = 3 : 5.
1. Penambahan 6 : 10 = 3 : 5, sehingga rasio total tetap 3 : 5. (Benar)
2. Pengurangan 3 : 5 menjaga rasio sisa 15 : 25 = 3 : 5. (Benar)
3. Penambahan 9 : 9 mengubah rasio menjadi 27 : 39 = 9 : 13 ≠ 3 : 5. (Salah)
Soal 10
Mengaplikasikan (L2)
Pilihan Ganda
Indikator: Mengaplikasikan pecahan senilai pada gambar skala kisi (grid).
Gambar X berupa kisi berukuran \(5 \times 4\) kotak dengan \(8\) kotak di antaranya diarsir. Gambar Y adalah kisi berukuran \(k \times 6\) kotak. Jika luas daerah arsiran pada Gambar Y bernilai senilai dengan daerah arsiran Gambar X, dan diketahui ada \(12\) kotak pada Gambar Y yang diarsir, berapa nilai \(k\)?
- A. 4
- B. 5
- C. 6
- D. 8
- E. 10
Kunci Jawaban: B
Pembahasan:
Pecahan Gambar X = \(\frac{8}{5 \times 4} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}\).
Pecahan Gambar Y = \(\frac{12}{k \times 6} = \frac{2}{k}\).
Agar senilai: \(\frac{2}{5} = \frac{2}{k} \Rightarrow k = 5\).
Pecahan Gambar X = \(\frac{8}{5 \times 4} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}\).
Pecahan Gambar Y = \(\frac{12}{k \times 6} = \frac{2}{k}\).
Agar senilai: \(\frac{2}{5} = \frac{2}{k} \Rightarrow k = 5\).
Soal 11
Mengaplikasikan (L2)
MCMA
Indikator: Mengaplikasikan penyederhanaan aljabar ke dalam pecahan senilai.
Diketahui pecahan \(\frac{x^2 - 9}{x^2 + 5x + 6}\) untuk \(x \neq -2, x \neq -3\). Manakah di antara bentuk simbolik berikut yang senilai dengan pecahan tersebut? (Pilihlah semua jawaban yang benar)
- [ ] A. \(\frac{x - 3}{x + 2}\)
- [ ] B. \(\frac{2x - 6}{2x + 4}\)
- [ ] C. \(\frac{x^2 - 3x}{x^2 + 2x}\)
- [ ] D. \(\frac{x + 3}{x + 2}\)
- [ ] E. \(\frac{3 - x}{-x - 2}\)
Kunci Jawaban: A, B, C, E
Pembahasan:
\(\frac{x^2 - 9}{x^2 + 5x + 6} = \frac{(x-3)(x+3)}{(x+2)(x+3)} = \frac{x-3}{x+2}\).
- A: \(\frac{x-3}{x+2}\) (Benar)
- B: \(\frac{2(x-3)}{2(x+2)} = \frac{x-3}{x+2}\) (Benar)
- C: \(\frac{x(x-3)}{x(x+2)} = \frac{x-3}{x+2}\) (Benar)
- E: \(\frac{-(x-3)}{-(x+2)} = \frac{x-3}{x+2}\) (Benar)
\(\frac{x^2 - 9}{x^2 + 5x + 6} = \frac{(x-3)(x+3)}{(x+2)(x+3)} = \frac{x-3}{x+2}\).
- A: \(\frac{x-3}{x+2}\) (Benar)
- B: \(\frac{2(x-3)}{2(x+2)} = \frac{x-3}{x+2}\) (Benar)
- C: \(\frac{x(x-3)}{x(x+2)} = \frac{x-3}{x+2}\) (Benar)
- E: \(\frac{-(x-3)}{-(x+2)} = \frac{x-3}{x+2}\) (Benar)
Soal 12
Mengaplikasikan (L2)
Pilihan Ganda
Indikator: Mengaplikasikan kesenilaian pecahan pada pemetaan diagram lingkaran.
Dalam sebuah survey pemilih, \(135^\circ\) pada diagram lingkaran mewakili kelompok pemilih Usia Muda. Jika survey yang sama disajikan dalam bentuk tabel frekuensi dengan total responden \(1.200\) orang, berapa banyak responden Usia Muda agar proporsinya senilai dengan juring diagram lingkaran tersebut?
- A. 300 orang
- B. 400 orang
- C. 450 orang
- D. 500 orang
- E. 600 orang
Kunci Jawaban: C
Pembahasan:
Proporsi juring = \(\frac{135^\circ}{360^\circ} = \frac{3}{8}\).
Jumlah responden = \(\frac{3}{8} \times 1.200 = 450\) orang.
Proporsi juring = \(\frac{135^\circ}{360^\circ} = \frac{3}{8}\).
Jumlah responden = \(\frac{3}{8} \times 1.200 = 450\) orang.
Soal 13
Mengaplikasikan (L2)
PG Kompleks Kategori
Indikator: Mengaplikasikan representasi grafik fungsi linear terhadap pecahan senilai.
Sebuah grafik garis lurus melalui titik \((0,0)\) dan titik dasar dengan rasio \(\frac{y}{x} = \frac{3}{4}\). Tentukan apakah koordinat titik \((x, y)\) berikut berada pada garis tersebut (artinya nilai \(\frac{y}{x}\) senilai dengan \(\frac{3}{4}\))!
| No | Koordinat Titik \((x, y)\) | Kategori |
|---|---|---|
| 1 | \((12, 9)\) | [ Sesuai / Tidak Sesuai ] |
| 2 | \((16, 12)\) | [ Sesuai / Tidak Sesuai ] |
| 3 | \((20, 18)\) | [ Sesuai / Tidak Sesuai ] |
Kunci Jawaban: 1. Sesuai | 2. Sesuai | 3. Tidak Sesuai
Pembahasan:
1. \(\frac{9}{12} = \frac{3}{4}\) (Sesuai)
2. \(\frac{12}{16} = \frac{3}{4}\) (Sesuai)
3. \(\frac{18}{20} = \frac{9}{10} \neq \frac{3}{4}\) (Tidak Sesuai)
1. \(\frac{9}{12} = \frac{3}{4}\) (Sesuai)
2. \(\frac{12}{16} = \frac{3}{4}\) (Sesuai)
3. \(\frac{18}{20} = \frac{9}{10} \neq \frac{3}{4}\) (Tidak Sesuai)
Bagian III: Indikator Bernalar Lebih Tinggi / HOTS (L3 / C4-C6)
Soal 14
Bernalar Tinggi (L3)
Pilihan Ganda
Indikator: Menganalisis perubahan visual arsiran akibat modifikasi geometri bertingkat.
Persegi M berukuran \(8 \times 8\) cm memuat 1 lingkaran terbesar yang memenuhi persegi tersebut. Rasio luas daerah di luar lingkaran terhadap luas persegi M ditulis sebagai \(P_1\). Persegi N berukuran \(16 \times 16\) cm memuat \(4\) lingkaran identik bersinggungan yang memenuhi persegi tersebut. Rasio luas daerah di luar 4 lingkaran terhadap luas persegi N ditulis sebagai \(P_2\). Pernyataan yang tepat mengenai hubungan \(P_1\) dan \(P_2\) adalah...
- A. \(P_1 = 2 P_2\)
- B. \(P_1 = \frac{1}{2} P_2\)
- C. \(P_1 = P_2\) (Nilai pecahan senilai)
- D. \(P_1 = P_2 + \frac{\pi}{4}\)
- E. Hubungan tidak dapat ditentukan tanpa nilai numerik \(\pi\).
Kunci Jawaban: C
Pembahasan:
- Untuk persegi sisi \(s\): Luas = \(s^2\). Luas 1 lingkaran = \(\pi(s/2)^2 = \frac{\pi s^2}{4}\).
Maka \(P_1 = \frac{s^2 - \frac{\pi s^2}{4}}{s^2} = 1 - \frac{\pi}{4}\).
- Untuk persegi \(2s \times 2s\): Luas = \(4s^2\). Memuat 4 lingkaran berjari-jari \(s/2\), total luas = \(4 \times \pi(s/2)^2 = \pi s^2\).
Maka \(P_2 = \frac{4s^2 - \pi s^2}{4s^2} = 1 - \frac{\pi}{4}\).
Ternyata \(P_1 = P_2\), yang artinya kedua pecahan **senilai**.
- Untuk persegi sisi \(s\): Luas = \(s^2\). Luas 1 lingkaran = \(\pi(s/2)^2 = \frac{\pi s^2}{4}\).
Maka \(P_1 = \frac{s^2 - \frac{\pi s^2}{4}}{s^2} = 1 - \frac{\pi}{4}\).
- Untuk persegi \(2s \times 2s\): Luas = \(4s^2\). Memuat 4 lingkaran berjari-jari \(s/2\), total luas = \(4 \times \pi(s/2)^2 = \pi s^2\).
Maka \(P_2 = \frac{4s^2 - \pi s^2}{4s^2} = 1 - \frac{\pi}{4}\).
Ternyata \(P_1 = P_2\), yang artinya kedua pecahan **senilai**.
Soal 15
Bernalar Tinggi (L3)
MCMA
Indikator: Evaluasi dan penalaran aljabar terhadap kesenilaian pecahan bersyarat.
Diberikan pecahan \(F(x) = \frac{2x - 4}{x^2 - 4}\). Manakah dari analisis berikut yang benar mengenai kesenilaian pecahan tersebut? (Pilihlah semua jawaban yang benar)
- [ ] A. Untuk semua \(x \neq 2\) dan \(x \neq -2\), \(F(x)\) senilai dengan \(\frac{2}{x + 2}\).
- [ ] B. Nilai \(F(3)\) senilai dengan pecahan \(\frac{4}{10}\).
- [ ] C. \(F(x)\) tidak pernah bisa senilai dengan \(0\) untuk sebarang bilangan real \(x\) pada domainnya.
- [ ] D. Grafik fungsi \(y = F(x)\) senilai dengan grafik \(y = \frac{2}{x+2}\) di seluruh titik domain \(x \in \mathbb{R}\).
- [ ] E. Untuk \(x = 0\), nilai pecahan \(F(0)\) senilai dengan \(1\).
Kunci Jawaban: A, B, C, E
Pembahasan:
- \(F(x) = \frac{2(x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{2}{x+2}\) untuk \(x \neq \pm 2\). (A Benar)
- \(F(3) = \frac{2}{3+2} = \frac{2}{5} = \frac{4}{10}\). (B Benar)
- Agar \(F(x) = 0\), pembilang \(2(x-2)=0 \Rightarrow x=2\). Namun \(x=2\) membuat penyebut bernilai \(0\) (tidak terdefinisi). Sehingga \(F(x)\) tidak pernah bernilai 0. (C Benar)
- D Salah karena domain \(F(x)\) mengecualikan \(x=2\).
- \(F(0) = \frac{-4}{-4} = 1\), senilai dengan 1. (E Benar)
- \(F(x) = \frac{2(x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{2}{x+2}\) untuk \(x \neq \pm 2\). (A Benar)
- \(F(3) = \frac{2}{3+2} = \frac{2}{5} = \frac{4}{10}\). (B Benar)
- Agar \(F(x) = 0\), pembilang \(2(x-2)=0 \Rightarrow x=2\). Namun \(x=2\) membuat penyebut bernilai \(0\) (tidak terdefinisi). Sehingga \(F(x)\) tidak pernah bernilai 0. (C Benar)
- D Salah karena domain \(F(x)\) mengecualikan \(x=2\).
- \(F(0) = \frac{-4}{-4} = 1\), senilai dengan 1. (E Benar)
Soal 16
Bernalar Tinggi (L3)
PG Kompleks Kategori
Indikator: Menganalisis kesenilaian pecahan berlanjut (continued fraction) dan limitnya.
Diberikan bentuk pecahan berlanjut tak hingga \(x = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{\dots}}}\). Tentukan apakah pernyataan berikut Benar atau Salah terkait kesenilaian pecahan tersebut!
| No | Pernyataan | Kategori |
|---|---|---|
| 1 | Bentuk \(x\) senilai dengan pecahan \(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\) (Rasio Emas / Golden Ratio). | [ Benar / Salah ] |
| 2 | Nilai \(x - 1\) senilai dengan pecahan \(\frac{1}{x}\). | [ Benar / Salah ] |
| 3 | Kebalikan dari \(x\), yaitu \(\frac{1}{x}\), senilai dengan \(x + 1\). | [ Benar / Salah ] |
Kunci Jawaban: 1. Benar | 2. Benar | 3. Salah
Pembahasan:
* Karena pecahan berlanjut berulang, dapat dituliskan \(x = 1 + \frac{1}{x}\).
* Persamaan kuadrat: \(x^2 - x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\) (karena \(x > 0\)). (Pernyataan 1 Benar)
* Dari \(x = 1 + \frac{1}{x}\), diperoleh \(x - 1 = \frac{1}{x}\). (Pernyataan 2 Benar)
* Dari \(x - 1 = \frac{1}{x}\), maka \(\frac{1}{x} = x - 1\), bukan \(x + 1\). (Pernyataan 3 Salah)
* Karena pecahan berlanjut berulang, dapat dituliskan \(x = 1 + \frac{1}{x}\).
* Persamaan kuadrat: \(x^2 - x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\) (karena \(x > 0\)). (Pernyataan 1 Benar)
* Dari \(x = 1 + \frac{1}{x}\), diperoleh \(x - 1 = \frac{1}{x}\). (Pernyataan 2 Benar)
* Dari \(x - 1 = \frac{1}{x}\), maka \(\frac{1}{x} = x - 1\), bukan \(x + 1\). (Pernyataan 3 Salah)
Soal 17
Bernalar Tinggi (L3)
Pilihan Ganda
Indikator: Memecahkan masalah aljabar non-linear berbasis syarat pecahan senilai.
Diketahui pecahan \(\frac{k^2 - 1}{k + 3}\) harus senilai dengan pecahan \(\frac{k - 1}{1}\). Berapa nilai \(k\) real yang memenuhi kondisi tersebut?
- A. Tidak ada nilai \(k\) yang memenuhi
- B. \(k = 1\) saja
- C. \(k = -3\) saja
- D. \(k = 1\) atau \(k = -3\)
- E. Semua bilangan real \(k \neq -3\)
Kunci Jawaban: B
Pembahasan:
Syarat penyebut: \(k \neq -3\).
Persamaan kesenilaian pecahan:
\(\frac{k^2 - 1}{k + 3} = \frac{k - 1}{1}\)
\(\frac{(k-1)(k+1)}{k+3} = k - 1\)
\(\frac{(k-1)(k+1)}{k+3} - (k - 1) = 0\)
\((k - 1) \left( \frac{k+1}{k+3} - 1 \right) = 0\)
* Kemungkinan 1: \(k - 1 = 0 \Rightarrow k = 1\). (Memenuhi syarat domain \(k \neq -3\)).
* Kemungkinan 2: \(\frac{k+1}{k+3} = 1 \Rightarrow k + 1 = k + 3 \Rightarrow 1 = 3\) (Kontradiksi/Tidak ada solusi).
Jadi, nilai \(k\) yang memenuhi hanya \(k = 1\).
Syarat penyebut: \(k \neq -3\).
Persamaan kesenilaian pecahan:
\(\frac{k^2 - 1}{k + 3} = \frac{k - 1}{1}\)
\(\frac{(k-1)(k+1)}{k+3} = k - 1\)
\(\frac{(k-1)(k+1)}{k+3} - (k - 1) = 0\)
\((k - 1) \left( \frac{k+1}{k+3} - 1 \right) = 0\)
* Kemungkinan 1: \(k - 1 = 0 \Rightarrow k = 1\). (Memenuhi syarat domain \(k \neq -3\)).
* Kemungkinan 2: \(\frac{k+1}{k+3} = 1 \Rightarrow k + 1 = k + 3 \Rightarrow 1 = 3\) (Kontradiksi/Tidak ada solusi).
Jadi, nilai \(k\) yang memenuhi hanya \(k = 1\).
Soal 18
Bernalar Tinggi (L3)
MCMA
Indikator: Menganalisis sifat kesenilaian pecahan pada pertidaksamaan dan pemangkatan.
Diketahui \(0 < a < b\) dengan \(a\) dan \(b\) adalah bilangan bulat positif. Manakah dari pernyataan berikut yang benar terkait sifat-sifat kesenilaian pecahan? (Pilihlah semua jawaban yang benar)
- [ ] A. Pecahan \(\frac{a+c}{b+c}\) selalu lebih besar dari \(\frac{a}{b}\) untuk setiap bilangan bulat positif \(c\).
- [ ] B. Pecahan \(\frac{a^k}{b^k}\) senilai dengan \(\left(\frac{a}{b}\right)^k\) untuk setiap \(k \in \mathbb{N}\).
- [ ] C. Pecahan \(\frac{a}{b}\) selalu senilai dengan \(\frac{a \cdot c}{b \cdot c}\) untuk sebarang \(c \neq 0\).
- [ ] D. Mengurangi pembilang dan penyebut dengan \(c>0\) yang sama selalu menghasilkan pecahan yang senilai.
- [ ] E. Jika \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\), maka \(\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}\).
Kunci Jawaban: A, B, C, E
Pembahasan:
* A: Jika \(a < b\), menambahkan \(c > 0\) ke pembilang dan penyebut mendekatkan nilai pecahan ke \(1\) (nilainya bertambah). Contoh: \(\frac{1}{2} = 0,5\), ditambahkan \(1\) menjadi \(\frac{2}{3} \approx 0,67\) (Benar).
* B: Berdasarkan sifat eksponen, \(\left(\frac{a}{b}\right)^k = \frac{a^k}{b^k}\) (Benar).
* C: Sifat dasar pecahan senilai melalui perkalian konstanta non-nol (Benar).
* D: Operasi penjumlahan/pengurangan konstanta pada pembilang dan penyebut tidak mempertahankan kesenilaian (Salah).
* E: Sifat proporsi aljabar: \(\frac{a}{b} + 1 = \frac{c}{d} + 1 \Rightarrow \frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}\) (Benar).
* A: Jika \(a < b\), menambahkan \(c > 0\) ke pembilang dan penyebut mendekatkan nilai pecahan ke \(1\) (nilainya bertambah). Contoh: \(\frac{1}{2} = 0,5\), ditambahkan \(1\) menjadi \(\frac{2}{3} \approx 0,67\) (Benar).
* B: Berdasarkan sifat eksponen, \(\left(\frac{a}{b}\right)^k = \frac{a^k}{b^k}\) (Benar).
* C: Sifat dasar pecahan senilai melalui perkalian konstanta non-nol (Benar).
* D: Operasi penjumlahan/pengurangan konstanta pada pembilang dan penyebut tidak mempertahankan kesenilaian (Salah).
* E: Sifat proporsi aljabar: \(\frac{a}{b} + 1 = \frac{c}{d} + 1 \Rightarrow \frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}\) (Benar).
Soal 19
Bernalar Tinggi (L3)
PG Kompleks Kategori
Indikator: Evaluasi model fraktal geometri terhadap limit rasio kesenilaian.
Sebuah segitiga sama sisi \(S_0\) berluas \(L\) dibagi menjadi \(4\) segitiga sama sisi kecil yang identik. Segitiga bagian tengah dihapus (diarsir), sehingga tersisa \(3\) segitiga kecil. Pada tahap berikutnya, setiap segitiga kecil yang tersisa diperlakukan dengan cara yang sama (Segitiga Sierpinski). Tentukan apakah pernyataan berikut Benar atau Salah!
| No | Pernyataan | Kategori |
|---|---|---|
| 1 | Rasio luas daerah yang tersisa pada tahap ke-1 terhadap luas \(S_0\) senilai dengan \(\frac{3}{4}\). | [ Benar / Salah ] |
| 2 | Rasio luas daerah yang tersisa pada tahap ke-2 terhadap luas \(S_0\) senilai dengan \(\frac{9}{16}\). | [ Benar / Salah ] |
| 3 | Rasio total daerah terarsir (dihapus) pada tahap ke-2 terhadap luas \(S_0\) senilai dengan \(\frac{7}{16}\). | [ Benar / Salah ] |
Kunci Jawaban: 1. Benar | 2. Benar | 3. Benar
Pembahasan:
1. Tahap 1 sisa: \(\frac{3}{4}L\) (Benar).
2. Tahap 2 sisa: \(\left(\frac{3}{4}\right)^2 L = \frac{9}{16}L\) (Benar).
3. Total daerah yang dihapus pada tahap 2: \(1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}L\) (Benar).
1. Tahap 1 sisa: \(\frac{3}{4}L\) (Benar).
2. Tahap 2 sisa: \(\left(\frac{3}{4}\right)^2 L = \frac{9}{16}L\) (Benar).
3. Total daerah yang dihapus pada tahap 2: \(1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}L\) (Benar).
Soal 20
Bernalar Tinggi (L3)
Pilihan Ganda
Indikator: Sintesis aljabar dan geometri untuk menentukan rasio pecahan senilai.
Diberikan sebuah persegi panjang dengan panjang \(p\) dan lebar \(l\). Jika panjangnya ditambah \(20\%\) dan lebarnya dikurangi \(x\%\), luas persegi panjang baru tepat senilai dengan luas persegi panjang semula (proporsi luas baru terhadap luas awal adalah \(\frac{1}{1}\)). Nilai \(x\) yang memenuhi adalah...
- A. \(16,67\%\)
- B. \(20\%\)
- C. \(25\%\)
- D. \(33,33\%\)
- E. \(80\%\)
Kunci Jawaban: A
Pembahasan:
Luas awal \(L_1 = p \cdot l\).
Panjang baru \(p' = 1,2p = \frac{6}{5}p\).
Lebar baru \(l' = \left(1 - \frac{x}{100}\right)l\).
Luas baru \(L_2 = p' \cdot l' = \frac{6}{5}p \cdot \left(1 - \frac{x}{100}\right)l\).
Agar senilai (\(L_2 = L_1\)):
\(\frac{6}{5} \left(1 - \frac{x}{100}\right) = 1\)
\(1 - \frac{x}{100} = \frac{5}{6}\)
\(\frac{x}{100} = 1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}\)
\(x = \frac{100}{6} \approx 16,67\%\).
Luas awal \(L_1 = p \cdot l\).
Panjang baru \(p' = 1,2p = \frac{6}{5}p\).
Lebar baru \(l' = \left(1 - \frac{x}{100}\right)l\).
Luas baru \(L_2 = p' \cdot l' = \frac{6}{5}p \cdot \left(1 - \frac{x}{100}\right)l\).
Agar senilai (\(L_2 = L_1\)):
\(\frac{6}{5} \left(1 - \frac{x}{100}\right) = 1\)
\(1 - \frac{x}{100} = \frac{5}{6}\)
\(\frac{x}{100} = 1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}\)
\(x = \frac{100}{6} \approx 16,67\%\).
