Showing posts with label MATEMATIKA SMA. Show all posts
Showing posts with label MATEMATIKA SMA. Show all posts

Friday, August 7, 2026

Prediksi soal TKA Matematika Tingkat Lanjut : Persamaan Lingkaran

Latihan Soal Matematika: Persamaan Lingkaran & Garis Singgung

Materi: Lingkaran Sepusat (Konsentris) dan Koordinat Titik Singgung Garis Singgung yang Tegak Lurus Garis Lain

Bagian 1: Mengidentifikasi Persamaan Lingkaran yang Sepusat (Konsentris)

Indikator: Siswa mampu menentukan persamaan lingkaran yang memiliki pusat yang sama dengan lingkaran lain.

P(a,b) L1 L2

Ilustrasi: Dua Lingkaran Sepusat (Konsentris) dengan Titik Pusat P(a,b)

Soal 1 (Bentuk Standar)

Diketahui lingkaran L1 memiliki persamaan (x - 3)2 + (y + 4)2 = 25. Di antara persamaan-persamaan lingkaran berikut, manakah lingkaran yang sepusat dengan lingkaran L1 dan melalui titik (7, -1)?

  1. (x + 3)2 + (y - 4)2 = 25
  2. (x - 3)2 + (y + 4)2 = 25
  3. (x - 3)2 + (y + 4)2 = 16
  4. (x - 3)2 + (y + 4)2 = 9
  5. (x + 3)2 + (y - 4)2 = 9
Kunci Jawaban & Pembahasan

Jawaban: B

Pembahasan:
1. Pusat lingkaran L1 adalah (3, -4). Lingkaran yang sepusat harus memiliki titik pusat yang sama, yaitu (3, -4).
2. Persamaan lingkaran sepusat berbentuk (x - 3)2 + (y + 4)2 = r2.
3. Cari nilai r2 dengan menyubstitusikan titik (7, -1):
r2 = (7 - 3)2 + (-1 - (-4))2 = 42 + 32 = 16 + 9 = 25.
4. Jadi, persamaannya adalah (x - 3)2 + (y + 4)2 = 25.

Soal 2 (Bentuk Umum)

Persamaan lingkaran yang sepusat dengan lingkaran x2 + y2 - 6x + 8y - 11 = 0 dan memiliki jari-jari 2 kali jari-jari lingkaran tersebut adalah...

  1. x2 + y2 - 6x + 8y - 119 = 0
  2. x2 + y2 - 6x + 8y - 75 = 0
  3. x2 + y2 + 6x - 8y - 75 = 0
  4. x2 + y2 - 6x + 8y + 25 = 0
  5. x2 + y2 + 6x - 8y - 119 = 0
Kunci Jawaban & Pembahasan

Jawaban: A

Pembahasan:
1. Dari x2 + y2 - 6x + 8y - 11 = 0, diperoleh A = -6, B = 8, C = -11.
Pusat P = (-A/2, -B/2) = (3, -4).
Jari-jari r1 = √(32 + (-4)2 - (-11)) = √(9 + 16 + 11) = √(36) = 6.
2. Jari-jari lingkaran baru r2 = 2 × r1 = 2 × 6 = 12.
3. Persamaan lingkaran baru berpusat di (3, -4) dengan r2 = 12:
(x - 3)2 + (y + 4)2 = 122
x2 - 6x + 9 + y2 + 8y + 16 = 144
x2 + y2 - 6x + 8y + 25 - 144 = 0 ⇒ x2 + y2 - 6x + 8y - 119 = 0.

Bagian 2: Menentukan Koordinat Titik Singgung Garis Singgung Lingkaran yang Tegak Lurus Garis Lain

Indikator: Siswa mampu menemukan koordinat titik potong antara lingkaran dan garis singgungnya yang tegak lurus terhadap suatu garis tertentu.

Garis g Garis Singgung (h) Titik Singgung T(x1,y1)

Ilustrasi: Garis Singgung Lingkaran yang Tegak Lurus Terhadap Garis Lain

Soal 3 (Pusat di O(0,0))

Salah satu koordinat titik singgung pada lingkaran x2 + y2 = 25 dari garis singgung yang tegak lurus dengan garis y = 2x + 3 adalah...

  1. (2√5, √5)
  2. (-2√5, √5)
  3. (√5, 2√5)
  4. (2, 1)
  5. (√5, -2√5)
Kunci Jawaban & Pembahasan

Jawaban: C

Pembahasan:
1. Gradien garis y = 2x + 3 adalah m1 = 2.
2. Garis singgung tegak lurus dengan garis tersebut, maka gradien garis singgung m2 = -1/m1 = -1/2.
3. Garis jari-jari dari pusat (0,0) ke titik singgung (x1, y1) tegak lurus dengan garis singgung, sehingga gradiennya mr = 2.
4. Persamaan gradien jari-jari: y1/x1 = 2 ⇒ y1 = 2x1.
5. Substitusikan y1 = 2x1 ke persamaan lingkaran x12 + y12 = 25:
x12 + (2x1)2 = 25 ⇒ 5x12 = 25 ⇒ x12 = 5 ⇒ x1 = ±√5.
6. Untuk x1 = √5, diperoleh y1 = 2√5 ⇒ (√5, 2√5).
Untuk x1 = -√5, diperoleh y1 = -2√5 ⇒ (-√5, -2√5).
Jadi, salah satu titik singgung yang sesuai pada pilihan adalah (√5, 2√5).

Soal 4 (Pusat P(a,b))

Koordinat titik-titik singgung lingkaran (x - 1)2 + (y - 2)2 = 10 yang garis singgungnya tegak lurus terhadap garis x - 3y + 5 = 0 adalah...

  1. (4, 3) dan (-2, 1)
  2. (4, 1) dan (-2, 3)
  3. (3, 4) dan (1, -2)
  4. (-4, 3) dan (2, -1)
  5. (4, 3) dan (2, 1)
Kunci Jawaban & Pembahasan

Jawaban: A

Pembahasan:
1. Garis x - 3y + 5 = 0 ⇒ y = (1/3)x + 5/3, gradien m1 = 1/3.
2. Garis singgung tegak lurus, maka gradien garis singgung m2 = -3.
3. Garis jari-jari dari pusat P(1,2) ke titik singgung (x1, y1) tegak lurus dengan garis singgung, sehingga gradiennya mr = 1/3.
4. Persamaan gradien jari-jari: (y1 - 2)/(x1 - 1) = 1/3 ⇒ x1 - 1 = 3(y1 - 2).
5. Substitusikan (x1 - 1) = 3(y1 - 2) ke persamaan lingkaran:
(3(y1 - 2))2 + (y1 - 2)2 = 10 ⇒ 9(y1 - 2)2 + (y1 - 2)2 = 10 ⇒ 10(y1 - 2)2 = 10
(y1 - 2)2 = 1 ⇒ y1 - 2 = ±1.
6. Jika y1 - 2 = 1 ⇒ y1 = 3, maka x1 - 1 = 3(1) ⇒ x1 = 4. Diperoleh titik (4, 3).
7. Jika y1 - 2 = -1 ⇒ y1 = 1, maka x1 - 1 = 3(-1) ⇒ x1 = -2. Diperoleh titik (-2, 1).
Jadi, koordinat titik singgungnya adalah (4, 3) dan (-2, 1).

Soal 5 (Persamaan Bentuk Umum)

Diketahui lingkaran dengan persamaan x2 + y2 - 4x - 2y - 5 = 0. Jika terdapat garis singgung lingkaran yang tegak lurus terhadap garis 3x + y - 7 = 0, maka salah satu koordinat titik singgungnya adalah...

  1. (4, 0)
  2. (0, 2)
  3. (3, 3)
  4. (1, 4)
  5. (2, 4)
Kunci Jawaban & Pembahasan

Jawaban: D

Pembahasan:
1. Ubah persamaan lingkaran ke bentuk baku:
(x - 2)2 - 4 + (y - 1)2 - 1 - 5 = 0 ⇒ (x - 2)2 + (y - 1)2 = 10. Pusat P(2, 1), jari-jari r = √10.
2. Garis 3x + y - 7 = 0 ⇒ y = -3x + 7, gradien m1 = -3.
3. Garis singgung tegak lurus, maka m2 = 1/3.
4. Gradien garis jari-jari dari P(2,1) ke titik singgung (x1, y1) adalah mr = -3.
5. Persamaan gradien jari-jari: (y1 - 1)/(x1 - 2) = -3 ⇒ y1 - 1 = -3(x1 - 2).
6. Substitusikan y1 - 1 = -3(x1 - 2) ke persamaan lingkaran:
(x1 - 2)2 + (-3(x1 - 2))2 = 10 ⇒ (x1 - 2)2 + 9(x1 - 2)2 = 10 ⇒ 10(x1 - 2)2 = 10
(x1 - 2)2 = 1 ⇒ x1 - 2 = ±1.
7. Untuk x1 - 2 = -1 ⇒ x1 = 1, maka y1 - 1 = -3(-1) = 3 ⇒ y1 = 4. Diperoleh titik (1, 4).
8. Untuk x1 - 2 = 1 ⇒ x1 = 3, maka y1 - 1 = -3(1) = -3 ⇒ y1 = -2. Diperoleh titik (3, -2).
Jadi, salah satu titik singgung yang ada pada opsi adalah (1, 4).

Diposting oleh di No comments:
Subscribe to: Posts (Atom)

Popular Posts

Total Pageviews