Turunan Fungsi Polinomial

Menghitung turunan menggunakan definisi limit secara langsung sering kali memakan waktu panjang, terutama jika pangkat variabelnya cukup besar. Untungnya, untuk fungsi polinomial (suku banyak), terdapat pola aljabar yang sangat teratur sehingga kita dapat menurunkan fungsi hanya dalam hitungan detik.

Artikel ini membahas tuntas aturan dasar turunan polinomial, contoh penerapan langkah demi langkah, hingga latihan soal untuk menguji pemahaman Anda.

---

1. Mengenal Bentuk Umum Fungsi Polinomial

Fungsi polinomial adalah fungsi aljabar yang terdiri dari penjumlahan suku-suku dengan pangkat bilangan bulat non-negatif (0, 1, 2, 3, …). Secara umum, fungsi polinomial berderajat n ditulis sebagai:

P(x) = a_nxⁿ + a_n−1xⁿ⁻¹ + … + a₂x² + a₁x + a₀

Di mana a_n, a_n−1, …, a₀ adalah bilangan real yang disebut koefisien, dan a₀ adalah konstanta.

2. Empat Aturan Dasar Turunan Polinomial

Untuk menurunkan sembarang fungsi polinomial, Anda hanya perlu menguasai empat aturan fundamental berikut:

Nama Aturan	Fungsi f(x)	Turunan f′(x)	Contoh Singkat
1. Aturan Konstanta	c	0	f(x) = 7 ⇒ f′(x) = 0
2. Aturan Pangkat	xn	n · xn−1	f(x) = x4 ⇒ f′(x) = 4x3
3. Kelipatan Konstanta	k · g(x)	k · g′(x)	f(x) = 5x3 ⇒ f′(x) = 15x2
4. Penjumlahan & Selisih	u(x) ± v(x)	u′(x) ± v′(x)	Turunkan suku demi suku

Inti Aturan Pangkat (Power Rule):
Kalikan pangkat n ke depan sebagai koefisien, lalu kurangi pangkat lama dengan 1.

d dx (a · xⁿ) = (a · n)xⁿ⁻¹

3. Contoh Penerapan Langkah demi Langkah

Contoh 1: Menurunkan Fungsi Polinomial Standar
Tentukan turunan pertama dari fungsi polinomial f(x) = 4x⁵ − 2x³ + 7x² − 9x + 12!

Penyelesaian:

Terapkan aturan penjumlahan/selisih dengan menurunkan setiap suku satu per satu:

1. Suku ke-1: 4x⁵ → (4 × 5)x⁵⁻¹ = 20x⁴
2. Suku ke-2: −2x³ → (−2 × 3)x³⁻¹ = −6x²
3. Suku ke-3: 7x² → (7 × 2)x²⁻¹ = 14x
4. Suku ke-4: −9x¹ → (−9 × 1)x¹⁻¹ = −9x⁰ = −9
5. Suku ke-5: 12 (konstanta) → 0

Hasil Akhir: f′(x) = 20x⁴ − 6x² + 14x − 9

Contoh 2: Fungsi dalam Bentuk Perkalian Faktor
Tentukan turunan pertama dari g(x) = (2x − 3)(x² + 4)!

Penyelesaian:

1. Jabarkan terlebih dahulu menjadi bentuk polinomial baku:
   g(x) = 2x(x² + 4) − 3(x² + 4)
   g(x) = 2x³ + 8x − 3x² − 12
   g(x) = 2x³ − 3x² + 8x − 12
2. Turunkan suku demi suku:
   g′(x) = 2(3)x² − 3(2)x + 8(1) − 0
   g′(x) = 6x² − 6x + 8

4. Turunan Tingkat Tinggi pada Polinomial

Karena turunan dari sebuah fungsi polinomial berderajat n menghasilkan polinomial baru berderajat n − 1, kita dapat menurunkannya berulang kali hingga hasilnya menjadi nol:

• Turunan Pertama f′(x): Menunjukkan gradien garis singgung dan laju perubahan sesaat.
• Turunan Kedua f″(x): Menunjukkan kecekungan kurva (concavity) serta percepatan dalam fisika.
• Turunan ke-(n + 1): Untuk polinomial berderajat n, turunan ke-(n + 1) dan seterusnya selalu bernilai 0.

---

5. Latihan Soal Pilihan Ganda & Pembahasan

Uji penguasaan Anda terhadap aturan turunan fungsi polinomial melalui 10 soal pilihan ganda berikut. Klik tombol di bawah masing-masing soal untuk melihat kunci jawaban dan pembahasannya.

1. Turunan pertama dari fungsi polinomial f(x) = 5x⁴ − 3x³ + 6x − 11 adalah …

• A. 20x³ − 9x² + 6
• B. 20x³ − 9x² + 6x
• C. 5x³ − 3x² + 6
• D. 20x⁴ − 9x³ + 6
• E. 20x³ − 6x² + 6

Lihat Kunci Jawaban & Pembahasan

Jawaban: A
Pembahasan:
f′(x) = 5(4)x⁴⁻¹ − 3(3)x³⁻¹ + 6(1)x¹⁻¹ − 0
f′(x) = 20x³ − 9x² + 6.

2. Diketahui f(x) = 23x⁶ − 12x⁴ + 8x. Nilai dari f′(−1) adalah …

• A. 2
• B. 4
• C. 6
• D. 8
• E. 14

Lihat Kunci Jawaban & Pembahasan

Jawaban: C
Pembahasan:
f′(x) = (2/3)(6)x⁵ − (1/2)(4)x³ + 8 = 4x⁵ − 2x³ + 8.
Substitusi x = −1:
f′(−1) = 4(−1)⁵ − 2(−1)³ + 8 = 4(−1) − 2(−1) + 8 = −4 + 2 + 8 = 6.

3. Jika g(x) = (3x − 2)(2x + 5), maka turunan pertama g′(x) adalah …

• A. 6x + 11
• B. 12x + 11
• C. 12x − 11
• D. 6x − 10
• E. 12x + 15

Lihat Kunci Jawaban & Pembahasan

Jawaban: B
Pembahasan:
Jabarkan perkalian faktor terlebih dahulu:
g(x) = 6x² + 15x − 4x − 10 = 6x² + 11x − 10.
Turunkan terhadap x:
g′(x) = 12x + 11.

4. Diketahui fungsi h(x) = x³ + ax² − 5x + 4. Jika h′(2) = 15, maka nilai konstanta a adalah …

• A. 1
• B. 2
• C. 3
• D. 4
• E. 5

Lihat Kunci Jawaban & Pembahasan

Jawaban: B
Pembahasan:
h′(x) = 3x² + 2ax − 5.
Diketahui h′(2) = 15:
3(2)² + 2a(2) − 5 = 15
12 + 4a − 5 = 15
7 + 4a = 15 ⇒ 4a = 8 ⇒ a = 2.

5. Turunan kedua f″(x) dari fungsi polinomial f(x) = 2x⁴ − 5x³ + 4x² − 9x + 1 adalah …

• A. 8x³ − 15x² + 8x − 9
• B. 24x² − 30x + 8
• C. 24x² − 15x + 8
• D. 48x − 30
• E. 12x² − 30x + 4

Lihat Kunci Jawaban & Pembahasan

Jawaban: B
Pembahasan:
• Turunan pertama: f′(x) = 8x³ − 15x² + 8x − 9.
• Turunan kedua (turunkan f′(x)): f″(x) = 8(3)x² − 15(2)x + 8(1) − 0 = 24x² − 30x + 8.

6. Gradien garis singgung kurva y = x³ − 4x² + 3x + 2 di titik yang berabsis x = 3 adalah …

• A. 2
• B. 4
• C. 6
• D. 8
• E. 12

Lihat Kunci Jawaban & Pembahasan

Jawaban: C
Pembahasan: Gradien garis singgung kurva di x = 3 adalah m = y′(3).
y′ = 3x² − 8x + 3.
Untuk x = 3: m = 3(3)² − 8(3) + 3 = 27 − 24 + 3 = 6.

7. Diketahui P(x) = (2x − 1)². Nilai dari P′(3) adalah …

• A. 10
• B. 16
• C. 20
• D. 24
• E. 25

Lihat Kunci Jawaban & Pembahasan

Jawaban: C
Pembahasan:
Uraikan bentuk kuadrat menjadi polinomial:
P(x) = (2x − 1)(2x − 1) = 4x² − 4x + 1.
Turunkan: P′(x) = 8x − 4.
Substitusi x = 3: P′(3) = 8(3) − 4 = 24 − 4 = 20.

8. Jika f(x) adalah fungsi polinomial berderajat 4, yaitu f(x) = 3x⁴ − 7x³ + 2x² + 5x − 8, maka hasil dari turunan ke-5, yaitu f⁽⁵⁾(x), adalah …

• A. 0
• B. 3
• C. 24
• D. 72
• E. 72x

Lihat Kunci Jawaban & Pembahasan

Jawaban: A
Pembahasan:
• f′(x) = 12x³ − 21x² + 4x + 5
• f″(x) = 36x² − 42x + 4
• f′′′(x) = 72x − 42
• f⁽⁴⁾(x) = 72 (konstanta)
• f⁽⁵⁾(x) = 0 (turunan konstanta selalu nol).

9. Pembuat nol dari turunan pertama fungsi polinomial f(x) = x³ − 3x² − 9x + 7 adalah …

• A. x = −3 atau x = 1
• B. x = −1 atau x = 3
• C. x = 1 atau x = 3
• D. x = −1 atau x = −3
• E. x = −9 atau x = 1

Lihat Kunci Jawaban & Pembahasan

Jawaban: B
Pembahasan:
Turunan pertama: f′(x) = 3x² − 6x − 9.
Cari pembuat nol dengan menyamakan f′(x) = 0:
3x² − 6x − 9 = 0 (bagi kedua ruas dengan 3)
x² − 2x − 3 = 0
(x + 1)(x − 3) = 0 ⇒ x = −1 atau x = 3.

10. Keuntungan bersih sebuah perusahaan (dalam juta rupiah) dari penjualan x ribu unit produk dinyatakan oleh fungsi polinomial U(x) = −2x³ + 15x² + 36x − 40. Nilai dari U′(4) adalah …

• A. 40
• B. 52
• C. 60
• D. 84
• E. 120

Lihat Kunci Jawaban & Pembahasan

Jawaban: C
Pembahasan:
U′(x) = −2(3)x² + 15(2)x + 36 − 0 = −6x² + 30x + 36.
Untuk x = 4:
U′(4) = −6(4)² + 30(4) + 36 = −6(16) + 120 + 36 = −96 + 156 = 60.

Turunan Sebagai Laju Perubahan Sesaat

Dalam kehidupan sehari-hari, hampir segala sesuatu terus berubah: kecepatan kendaraan di jalan raya, pertumbuhan populasi bakteri, hingga fluktuasi suhu udara. Dalam kalkulus, konsep turunan (derivatif) hadir untuk menjawab satu pertanyaan mendasar: seberapa cepat sesuatu berubah tepat pada satu titik waktu tertentu?

Konsep inilah yang dikenal sebagai laju perubahan sesaat (instantaneous rate of change).

---

1. Laju Perubahan Rata-Rata vs. Laju Perubahan Sesaat

Untuk memahami laju perubahan sesaat, mari kita bandingkan terlebih dahulu dengan laju perubahan rata-rata melalui analogi perjalanan kendaraan:

• Laju Perubahan Rata-Rata: Jika Anda menempuh jarak 120 km dalam waktu 2 jam, maka kecepatan rata-rata Anda adalah 60 km/jam. Nilai ini hanya menggambarkan perubahan secara keseluruhan dalam rentang waktu tertentu, tanpa peduli apakah Anda sempat berhenti di lampu merah atau melaju kencang di jalan tol.
• Laju Perubahan Sesaat: Angka yang ditunjukkan oleh jarum speedometer mobil Anda tepat pada pukul 08:15:03 pagi. Itulah kecepatan Anda pada satu detik yang sangat spesifik.

Rumus Laju Perubahan Rata-Rata

Secara matematis, jika sebuah fungsi f(x) berubah dari titik x = a ke titik x = a + h (di mana h adalah selisih perubahan), laju perubahan rata-ratanya dirumuskan sebagai:

Laju Rata-Rata = Δy Δx = f(a + h) − f(a) h

Secara geometris, rumus di atas merupakan gradien (kemiringan) dari garis sekan yang memotong kurva fungsi di dua titik.

2. Menuju Laju Perubahan Sesaat dengan Limit

Bagaimana cara mengetahui laju perubahan tepat di satu titik x = a? Caranya adalah dengan membuat selisih jarak h menjadi sangat kecil hingga mendekati nol (h → 0).

Ketika kedua titik semakin berimpit, garis sekan akan berubah menjadi garis singgung (tangent line) yang menyentuh kurva hanya di satu titik. Dari sinilah definisi formal turunan lahir:

f′(a) = lim h → 0 f(a + h) − f(a) h

Dalam notasi Leibniz, laju perubahan sesaat y terhadap x juga sering ditulis sebagai:

dy dx = lim Δx → 0 Δy Δx

3. Contoh Penerapan dalam Soal

Studi Kasus: Gerak Jatuh Bebas
Posisi sebuah benda yang dijatuhkan dari ketinggian tertentu dinyatakan oleh fungsi s(t) = 4,9t², di mana s adalah jarak tempuh (dalam meter) dan t adalah waktu (dalam detik). Tentukan kecepatan sesaat benda tersebut tepat pada detik ke-3 (t = 3)!

Penyelesaian:

Kecepatan sesaat v(t) merupakan turunan pertama dari fungsi posisi s(t).

1. Gunakan definisi limit turunan untuk t = 3:
   v(3) = s′(3) = lim_h→0 s(3 + h) − s(3) h
2. Substitusikan ke dalam fungsi s(t) = 4,9t²:
   s(3 + h) = 4,9(3 + h)² = 4,9(9 + 6h + h²) = 44,1 + 29,4h + 4,9h²
   s(3) = 4,9(3)² = 44,1
3. Hitung nilai limitnya:
   v(3) = lim_h→0 (44,1 + 29,4h + 4,9h²) − 44,1 h
   
   v(3) = lim_h→0 h(29,4 + 4,9h) h
   
   v(3) = lim_h→0 (29,4 + 4,9h) = 29,4 + 4,9(0) = 29,4 m/detik

Catatan cepat: Jika menggunakan aturan pangkat turunan secara langsung, s′(t) = 2 × 4,9t = 9,8t. Saat t = 3, maka v(3) = 9,8(3) = 29,4 m/detik.

4. Aplikasi Laju Perubahan Sesaat di Berbagai Bidang

Bidang Ilmu	Fungsi Awal f(x)	Makna Turunan f′(x)
Fisika	Posisi benda s(t)	Kecepatan sesaat v(t)
Ekonomi	Total biaya produksi C(x)	Biaya marjinal (biaya tambahan per unit)
Biologi	Jumlah populasi P(t)	Laju pertumbuhan populasi pada waktu t
Kimia	Konsentrasi zat [A](t)	Laju reaksi kimia sesaat

Memahami turunan sebagai laju perubahan sesaat menjembatani rumus-rumus kalkulus yang abstrak dengan fenomena nyata di sekitar kita. Alih-alih sekadar menghafal aturan turunan, konsep ini membantu kita membaca bagaimana sebuah sistem bergerak dan bereaksi dari detik ke detik.

---

5. Latihan Soal Pilihan Ganda & Pembahasan

Uji pemahaman Anda mengenai konsep laju perubahan sesaat melalui 10 soal latihan berikut. Klik pada tombol pembahasan di bawah setiap soal untuk mencocokkan jawaban Anda.

1. Secara geometris, laju perubahan sesaat suatu fungsi f(x) tepat di titik x = a merepresentasikan …

• A. Panjang kurva dari x = 0 hingga x = a
• B. Luas daerah di bawah kurva pada titik x = a
• C. Gradien garis sekan yang memotong kurva di dua titik
• D. Gradien garis singgung (tangent line) kurva tepat di titik x = a
• E. Titik potong kurva terhadap sumbu-Y

Lihat Kunci Jawaban & Pembahasan

Jawaban: D
Pembahasan: Laju perubahan rata-rata merepresentasikan gradien garis sekan (memotong dua titik). Ketika jarak kedua titik mendekati nol (h → 0), garis sekan berubah menjadi garis singgung yang menyentuh kurva tepat di satu titik x = a.

2. Diketahui fungsi f(x) = 3x² − 4x + 5. Laju perubahan sesaat fungsi f(x) pada saat x = 2 adalah …

• A. 4
• B. 6
• C. 8
• D. 9
• E. 12

Lihat Kunci Jawaban & Pembahasan

Jawaban: C
Pembahasan: Laju perubahan sesaat di x = 2 adalah nilai turunan pertama f′(2).
f′(x) = 6x − 4
f′(2) = 6(2) − 4 = 12 − 4 = 8.

3. Sebuah partikel bergerak sepanjang garis lurus dengan persamaan posisi s(t) = t³ − 6t² + 9t + 2 (s dalam meter dan t dalam detik). Kecepatan sesaat partikel tersebut pada detik ke-4 adalah …

• A. 6 m/detik
• B. 9 m/detik
• C. 12 m/detik
• D. 15 m/detik
• E. 21 m/detik

Lihat Kunci Jawaban & Pembahasan

Jawaban: B
Pembahasan: Kecepatan sesaat v(t) = s′(t).
v(t) = 3t² − 12t + 9
Untuk t = 4: v(4) = 3(4)² − 12(4) + 9 = 48 − 48 + 9 = 9 m/detik.

4. Sebuah tangki silinder mengalami kebocoran sehingga volume air yang tersisa setelah t menit dinyatakan oleh V(t) = 500(10 − t)² liter. Laju perubahan sesaat volume air dalam tangki tepat pada menit ke-3 adalah …

• A. −7.000 liter/menit
• B. −3.500 liter/menit
• C. −1.400 liter/menit
• D. 3.500 liter/menit
• E. 7.000 liter/menit

Lihat Kunci Jawaban & Pembahasan

Jawaban: A
Pembahasan: Gunakan aturan rantai untuk menurunkan V(t):
V′(t) = 500 × 2(10 − t)¹ × (−1) = −1.000(10 − t)
Saat t = 3: V′(3) = −1.000(10 − 3) = −1.000(7) = −7.000 liter/menit (tanda negatif menandakan volume berkurang).

5. Sebuah balon berbentuk bola ditiup sehingga jari-jarinya bertambah. Diketahui rumus luas permukaan bola adalah L(r) = 4πr². Laju perubahan sesaat luas permukaan balon terhadap jari-jarinya tepat saat jari-jari r = 5 cm adalah …

• A. 10π cm²/cm
• B. 20π cm²/cm
• C. 40π cm²/cm
• D. 50π cm²/cm
• E. 100π cm²/cm

Lihat Kunci Jawaban & Pembahasan

Jawaban: C
Pembahasan: Laju perubahan luas permukaan terhadap jari-jari adalah dL/dr = L′(r).
L′(r) = 4π(2r) = 8πr
Saat r = 5: L′(5) = 8π(5) = 40π cm²/cm.

6. Dalam ilmu ekonomi, total biaya produksi x unit barang dinyatakan dalam ribuan rupiah oleh fungsi C(x) = 0,5x² + 20x + 150. Biaya marjinal (laju perubahan sesaat biaya produksi) ketika memproduksi 30 unit barang adalah …

• A. Rp35.000,00
• B. Rp40.000,00
• C. Rp50.000,00
• D. Rp65.000,00
• E. Rp80.000,00

Lihat Kunci Jawaban & Pembahasan

Jawaban: C
Pembahasan: Biaya marjinal merupakan turunan pertama fungsi biaya C′(x).
C′(x) = 2(0,5)x + 20 = x + 20
Saat x = 30: C′(30) = 30 + 20 = 50 (dalam ribuan rupiah) = Rp50.000,00.

7. Jumlah koloni bakteri pada cawan petri setelah t jam dimodelkan oleh persamaan P(t) = 200 + 40t − 5t². Pada jam ke berapa laju pertumbuhan sesaat koloni bakteri tersebut bernilai nol (berhenti bertambah)?

• A. t = 2 jam
• B. t = 3 jam

Matematika Dasar • Modul Pembelajaran

Pertemuan 8: Aplikasi Rasio – Kecepatan, Jarak, Waktu, dan Debit Air

Memahami hubungan perbandingan besaran terhadap satuan waktu dalam kehidupan sehari-hari.

Pada pertemuan sebelumnya, kita telah mempelajari konsep dasar perbandingan (rasio). Pada Pertemuan 8 ini, kita melangkah lebih jauh untuk melihat bagaimana rasio digunakan dalam besaran fisika sehari-hari, terutama yang berkaitan dengan waktu: yaitu Kecepatan (laju perubahan jarak) dan Debit Air (laju aliran volume zat cair).

1. Rasio Jarak terhadap Waktu (Kecepatan)

Kecepatan ($v$) pada dasarnya adalah rasio antara jarak tempuh ($s$) dengan waktu tempuh ($t$). Satuan yang umum digunakan adalah km/jam atau m/detik.

Rumus Utama (Segitiga J-K-W):

• Kecepatan ($v$): $v = \frac{s}{t}$
• Jarak ($s$): $s = v \times t$
• Waktu ($t$): $t = \frac{s}{v}$

Contoh Kasus 1:

Sebuah bus melaju dari Kota A ke Kota B menempuh jarak 180 km dalam waktu 3 jam. Berapakah kecepatan rata-rata bus tersebut?

Penyelesaian:
Diketahui: $s = 180\text{ km}$, $t = 3\text{ jam}$
Ditanya: $v = \dots?$
Jawab: $v = \frac{s}{t} = \frac{180}{3} = \mathbf{60\text{ km/jam}}$.

2. Rasio Volume terhadap Waktu (Debit Air)

Debit ($Q$) adalah perbandingan antara banyaknya volume zat cair ($V$) yang mengalir dengan selang waktu ($t$) yang dibutuhkan. Satuan yang sering dijumpai meliputi liter/menit, liter/detik, atau $m^3/\text{detik}$.

Rumus Utama (Segitiga V-D-W):

• Debit ($Q$): $Q = \frac{V}{t}$
• Volume ($V$): $V = Q \times t$
• Waktu ($t$): $t = \frac{V}{Q}$

💡 Catatan Konversi Penting: $1\text{ liter} = 1\text{ dm}^3 = 1.000\text{ cm}^3 = 1.000\text{ mL}$ • $1\text{ m}^3 = 1.000\text{ liter}$

Contoh Kasus 2:

Sebuah bak mandi memiliki kapasitas 240 liter. Jika bak tersebut diisi menggunakan selang air dengan debit 12 liter/menit, berapa lama waktu yang dibutuhkan hingga penuh?

Penyelesaian:
Diketahui: $V = 240\text{ liter}$, $Q = 12\text{ liter/menit}$
Ditanya: $t = \dots?$
Jawab: $t = \frac{V}{Q} = \frac{240}{12} = \mathbf{20\text{ menit}}$.

3. Tabel Perbandingan Konsep

Aspek	Kecepatan ($v$)	Debit ($Q$)
Definisi	Rasio jarak per satuan waktu	Rasio volume fluida per satuan waktu
Besaran Utama	Jarak ($s$) dan Waktu ($t$)	Volume ($V$) dan Waktu ($t$)
Satuan Umum	km/jam, m/detik	liter/menit, m³/detik
Rumus Pokok	$v = s / t$	$Q = V / t$

✍️ Uji Pemahaman Mandiri

1. Kereta api melaju sejauh 350 km dalam kurun waktu 5 jam. Tentukan kecepatan rata-rata kereta api tersebut.
2. Sebuah keran mampu mengalirkan air sebesar 30 liter dalam waktu 2 menit. Berapakah debit aliran air tersebut dalam satuan liter/detik?