Saturday, October 3, 2026

LAIHAN SOAL MATEMATIKA KELAS X PENILAIAN SUMATIF TENGAH SEMESTER

Latihan Soal & Pembahasan Matematika Kelas X

Topik: Eksponen, Bentuk Akar, dan Merasionalkan Penyebut

A. Pilihan Ganda

Nomor 1

Bentuk sederhana dari operasi perkalian \( 3^4 \times 3^3 \) adalah ...

  • A. \( 3^7 \)
  • B. \( 3^{10} \)
  • C. \( 3^{12} \)
  • D. \( 9^7 \)
  • E. \( 9^{12} \)
Kunci Jawaban: A
Pembahasan:
Sesuai sifat eksponen \( a^m \times a^n = a^{m+n} \):
\( 3^4 \times 3^3 = 3^{4+3} = 3^7 \).
Nomor 2

Hasil dari \( 7^8 : 7^5 \) adalah ...

  • A. \( 7^1 \)
  • B. \( 7^2 \)
  • C. \( 7^3 \)
  • D. \( 7^4 \)
  • E. \( 7^{13} \)
Kunci Jawaban: C
Pembahasan:
Sesuai sifat eksponen \( a^m : a^n = a^{m-n} \):
\( 7^8 : 7^5 = 7^{8-5} = 7^3 \).
Nomor 3

Bentuk sederhana dari \( (2^3)^5 \) adalah ...

  • A. \( 2^8 \)
  • B. \( 2^{10} \)
  • C. \( 2^{12} \)
  • D. \( 2^{15} \)
  • E. \( 6^5 \)
Kunci Jawaban: D
Pembahasan:
Sesuai sifat pemangkatan \( (a^m)^n = a^{m \times n} \):
\( (2^3)^5 = 2^{3 \times 5} = 2^{15} \).
Nomor 4

Nilai dari \( 3^{-4} \times 3^6 \) adalah ...

  • A. \( \frac{1}{9} \)
  • B. \( \frac{1}{3} \)
  • C. 3
  • D. 6
  • E. 9
Kunci Jawaban: E
Pembahasan:
\( 3^{-4} \times 3^6 = 3^{-4+6} = 3^2 = 9 \).
Nomor 5

Bentuk sederhana dari \( \dfrac{p^7 q^5}{p^3 q^2} \) adalah ...

  • A. \( p^4 q^3 \)
  • B. \( p^3 q^4 \)
  • C. \( p^4 q^2 \)
  • D. \( p^{10} q^7 \)
  • E. \( p^2 q^3 \)
Kunci Jawaban: A
Pembahasan:
\( \dfrac{p^7 q^5}{p^3 q^2} = p^{7-3} q^{5-2} = p^4 q^3 \).
Nomor 6

Bentuk sederhana dari \( \dfrac{x^{-3} y^4}{x^{-6} y^2} \) adalah ...

  • A. \( x^{-9} y^2 \)
  • B. \( x^{-3} y^2 \)
  • C. \( x^3 y \)
  • D. \( x^3 y^2 \)
  • E. \( x^9 y^2 \)
Kunci Jawaban: D
Pembahasan:
\( x^{(-3) - (-6)} \cdot y^{4 - 2} = x^{-3 + 6} y^2 = x^3 y^2 \).
Nomor 7

Nilai dari \( 27^{\frac{2}{3}} \) adalah ...

  • A. 3
  • B. 6
  • C. 9
  • D. 18
  • E. 27
Kunci Jawaban: C
Pembahasan:
Ubah 27 menjadi basis prima: \( 27 = 3^3 \).
\( 27^{\frac{2}{3}} = (3^3)^{\frac{2}{3}} = 3^{3 \times \frac{2}{3}} = 3^2 = 9 \).
Nomor 8

Bentuk akar paling sederhana dari \( \sqrt{50} \) adalah ...

  • A. \( 2\sqrt{5} \)
  • B. \( 5\sqrt{2} \)
  • C. \( 25\sqrt{2} \)
  • D. \( 5\sqrt{5} \)
  • E. \( 10\sqrt{5} \)
Kunci Jawaban: B
Pembahasan:
Cari faktor kuadrat sempurna: \( 50 = 25 \times 2 \).
\( \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2} \).
Nomor 9

Hasil dari \( 2\sqrt{7} + 3\sqrt{28} \) adalah ...

  • A. \( 5\sqrt{7} \)
  • B. \( 6\sqrt{7} \)
  • C. \( 8\sqrt{7} \)
  • D. \( 11\sqrt{7} \)
  • E. \( 14\sqrt{7} \)
Kunci Jawaban: C
Pembahasan:
Sederhanakan \( \sqrt{28} = \sqrt{4 \times 7} = 2\sqrt{7} \).
Maka: \( 2\sqrt{7} + 3(2\sqrt{7}) = 2\sqrt{7} + 6\sqrt{7} = 8\sqrt{7} \).
Nomor 10

Hasil dari \( \sqrt{18} \times \sqrt{2} \) adalah ...

  • A. 4
  • B. 6
  • C. 8
  • D. \( 6\sqrt{2} \)
  • E. 36
Kunci Jawaban: B
Pembahasan:
\( \sqrt{18} \times \sqrt{2} = \sqrt{18 \times 2} = \sqrt{36} = 6 \).
Nomor 11

Hasil dari \( (\sqrt{7} + 3)(\sqrt{7} - 3) \) adalah ...

  • A. \( -2 \)
  • B. 2
  • C. \( -1 \)
  • D. 16
  • E. \( 2\sqrt{7} \)
Kunci Jawaban: A
Pembahasan:
Bentuk selisih kuadrat \( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \):
\( (\sqrt{7})^2 - (3)^2 = 7 - 9 = -2 \).
Nomor 12

Bentuk sederhana dari \( 64^{\frac{1}{2}} \times 32^{-\frac{2}{5}} \) adalah ...

  • A. 1
  • B. 2
  • C. 4
  • D. 8
  • E. 16
Kunci Jawaban: B
Pembahasan:
\( 64^{\frac{1}{2}} = \sqrt{64} = 8 \).
\( 32^{-\frac{2}{5}} = (2^5)^{-\frac{2}{5}} = 2^{-2} = \frac{1}{4} \).
Hasil kali: \( 8 \times \frac{1}{4} = 2 \).
Nomor 13

Bentuk sederhana dari \( \sqrt{x^6 y^4} \) untuk \( x, y > 0 \) adalah ...

  • A. \( x^2 y \)
  • B. \( x^3 y^2 \)
  • C. \( x^4 y^2 \)
  • D. \( x^{12} y^8 \)
  • E. \( x^3 y^4 \)
Kunci Jawaban: B
Pembahasan:
\( \sqrt{x^6 y^4} = (x^6 y^4)^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{6}{2}} y^{\frac{4}{2}} = x^3 y^2 \).
Nomor 14

Bentuk rasional dari \( \dfrac{8}{\sqrt{2}} \) adalah ...

  • A. \( 2\sqrt{2} \)
  • B. \( 4\sqrt{2} \)
  • C. \( 6\sqrt{2} \)
  • D. \( 8\sqrt{2} \)
  • E. 4
Kunci Jawaban: B
Pembahasan:
Kalikan dengan sekawan penyebut:
\( \dfrac{8}{\sqrt{2}} \times \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \dfrac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \).
Nomor 15

Bentuk rasional dari \( \dfrac{6}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} \) adalah ...

  • A. \( 2(\sqrt{5} + \sqrt{2}) \)
  • B. \( 3(\sqrt{5} + \sqrt{2}) \)
  • C. \( 6(\sqrt{5} + \sqrt{2}) \)
  • D. \( \sqrt{5} + \sqrt{2} \)
  • E. \( 2(\sqrt{5} - \sqrt{2}) \)
Kunci Jawaban: A
Pembahasan:
\( \dfrac{6}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} \times \dfrac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} = \dfrac{6(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{5 - 2} = \dfrac{6(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{3} = 2(\sqrt{5} + \sqrt{2}) \).
Nomor 16

Bentuk rasional dari \( \dfrac{4}{3 - \sqrt{5}} \) adalah ...

  • A. \( 3 - \sqrt{5} \)
  • B. \( 3 + \sqrt{5} \)
  • C. \( 2(3 + \sqrt{5}) \)
  • D. \( 4(3 + \sqrt{5}) \)
  • E. \( 1 + \sqrt{5} \)
Kunci Jawaban: B
Pembahasan:
\( \dfrac{4}{3 - \sqrt{5}} \times \dfrac{3 + \sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}} = \dfrac{4(3 + \sqrt{5})}{3^2 - (\sqrt{5})^2} = \dfrac{4(3 + \sqrt{5})}{9 - 5} = \dfrac{4(3 + \sqrt{5})}{4} = 3 + \sqrt{5} \).
Nomor 17

Bentuk rasional dari \( \dfrac{12}{\sqrt{6}} \) adalah ...

  • A. \( \sqrt{6} \)
  • B. \( 2\sqrt{6} \)
  • C. \( 3\sqrt{6} \)
  • D. \( 4\sqrt{6} \)
  • E. \( 6\sqrt{2} \)
Kunci Jawaban: B
Pembahasan:
\( \dfrac{12}{\sqrt{6}} \times \dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \dfrac{12\sqrt{6}}{6} = 2\sqrt{6} \).
Nomor 18

Bentuk rasional dari pecahan \( \dfrac{6}{\sqrt{7} + 1} \) adalah ...

  • A. \( \sqrt{7} + 1 \)
  • B. \( \sqrt{7} - 1 \)
  • C. \( 2(\sqrt{7} - 1) \)
  • D. \( 3(\sqrt{7} - 1) \)
  • E. \( 6(\sqrt{7} - 1) \)
Kunci Jawaban: B
Pembahasan:
\( \dfrac{6}{\sqrt{7} + 1} \times \dfrac{\sqrt{7} - 1}{\sqrt{7} - 1} = \dfrac{6(\sqrt{7} - 1)}{(\sqrt{7})^2 - 1^2} = \dfrac{6(\sqrt{7} - 1)}{7 - 1} = \dfrac{6(\sqrt{7} - 1)}{6} = \sqrt{7} - 1 \).
Nomor 19

Pengamatan Pembelahan Bakteri

Dalam suatu penelitian di laboratorium, terdapat kultur awal sebanyak 300 sel amuba. Amuba tersebut berkembang biak dengan cara membelah diri menjadi tiga kali lipat setiap 2 jam sekali. Banyak amuba setelah 6 jam masa inkubasi adalah ...

  • A. 900 sel
  • B. 2.700 sel
  • C. 8.100 sel
  • D. 12.000 sel
  • E. 24.300 sel
Kunci Jawaban: C
Pembahasan:
Banyak periode pembelahan: \( n = \dfrac{6 \text{ jam}}{2 \text{ jam}} = 3 \).
Model pertumbuhan: \( P_n = P_0 \times r^n \)
\( P_3 = 300 \times 3^3 = 300 \times 27 = 8.100 \text{ sel} \).
Nomor 20

Pemasangan Keramik Lapangan Futsal Mini

Sebuah yayasan olahraga membangun lantai lapangan multifungsi berbentuk persegi dengan luas total \( 300\text{ m}^2 \). Panjang sisi lapangan tersebut dalam bentuk akar paling sederhana adalah ...

  • A. \( 10\sqrt{3}\text{ m} \)
  • B. \( 15\sqrt{2}\text{ m} \)
  • C. \( 30\sqrt{3}\text{ m} \)
  • D. \( 5\sqrt{6}\text{ m} \)
  • E. \( 100\sqrt{3}\text{ m} \)
Kunci Jawaban: A
Pembahasan:
Luas persegi: \( L = s^2 \implies s = \sqrt{L} \).
\( s = \sqrt{300} = \sqrt{100 \times 3} = 10\sqrt{3}\text{ m} \).

B. Pilihan Ganda Kompleks (Jawaban Lebih dari Satu)

Nomor 21

Manakah dari pernyataan-pernyataan eksponen berikut yang bernilai BENAR? (Pilihlah semua yang sesuai)

  • [ ] A. \( 3^2 \times 3^5 = 3^7 \)
  • [ ] B. \( 6^8 : 6^2 = 6^4 \)
  • [ ] C. \( (4^3)^2 = 4^6 \)
  • [ ] D. \( 5^{-2} = \dfrac{1}{25} \)
  • [ ] E. \( 2^4 \times 2^3 = 4^7 \)
Kunci Jawaban: A, C, dan D
Pembahasan:
• (A) \( 3^{2+5} = 3^7 \) (BENAR)
• (B) \( 6^{8-2} = 6^6 \neq 6^4 \) (SALAH)
• (C) \( 4^{3 \times 2} = 4^6 \) (BENAR)
• (D) \( 5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25} \) (BENAR)
• (E) Basis sama, eksponen dijumlahkan: \( 2^{4+3} = 2^7 \neq 4^7 \) (SALAH)
Nomor 22

Bentuk-bentuk berikut ini yang senilai dengan \( \sqrt{72} \) adalah ... (Pilihlah semua yang sesuai)

  • [ ] A. \( 6\sqrt{2} \)
  • [ ] B. \( 2\sqrt{18} \)
  • [ ] C. \( 3\sqrt{8} \)
  • [ ] D. \( 4\sqrt{3} \)
  • [ ] E. \( \sqrt{36 \times 2} \)
Kunci Jawaban: A, B, C, dan E
Pembahasan:
• \( \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2} \) (A & E Benar)
• \( 2\sqrt{18} = 2\sqrt{9 \times 2} = 2(3\sqrt{2}) = 6\sqrt{2} \) (B Benar)
• \( 3\sqrt{8} = 3\sqrt{4 \times 2} = 3(2\sqrt{2}) = 6\sqrt{2} \) (C Benar)
• \( 4\sqrt{3} = \sqrt{16 \times 3} = \sqrt{48} \neq \sqrt{72} \) (D Salah)
Nomor 23

Pilihlah seluruh hasil operasi perasionalan penyebut pecahan yang BENAR!

  • [ ] A. \( \dfrac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \)
  • [ ] B. \( \dfrac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \)
  • [ ] C. \( \dfrac{1}{2 - \sqrt{3}} = 2 + \sqrt{3} \)
  • [ ] D. \( \dfrac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \sqrt{5} + \sqrt{3} \)
  • [ ] E. \( \dfrac{3}{\sqrt{7}} = \dfrac{3\sqrt{7}}{7} \)
Kunci Jawaban: A, B, C, dan E
Pembahasan:
• (A) \( \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \) (Benar)
• (B) \( \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \) (Benar)
• (C) \( \frac{2+\sqrt{3}}{4-3} = 2+\sqrt{3} \) (Benar)
• (D) Sekawan dari penyebut adalah tanda minus: seharusnya \( \frac{2(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{5-3} = \sqrt{5}-\sqrt{3} \) (Salah)
• (E) \( \frac{3\sqrt{7}}{7} \) (Benar)
Nomor 24

Tabungan Berbunga Majemuk

Pak Rahmad mendepositokan modal sebesar Rp2.000.000,00 di bank dengan bunga majemuk sebesar 10% per tahun. Total tabungan setelah \( t \) tahun dimodelkan dengan:

\( M_t = 2.000.000(1,1)^t \)

Manakah pernyataan yang sesuai dengan model keuangan di atas? (Pilih semua yang benar)

  • [ ] A. Faktor pengali pertumbuhan tahunan adalah 1,1.
  • [ ] B. Total tabungan setelah 1 tahun adalah Rp2.200.000,00.
  • [ ] C. Total tabungan setelah 2 tahun adalah Rp2.400.000,00.
  • [ ] D. Total tabungan setelah 2 tahun adalah Rp2.420.000,00.
  • [ ] E. Tabungan mengalami penurunan nilai dari tahun ke tahun.
Kunci Jawaban: A, B, dan D
Pembahasan:
• (A) Basis eksponen adalah 1,1, mewakili faktor pertumbuhan \( (1 + 0,10) \) (Benar)
• (B) \( M_1 = 2.000.000 \times 1,1 = 2.200.000 \) (Benar)
• (C) Salah karena tidak memperhitungkan bunga majemuk.
• (D) \( M_2 = 2.000.000 \times 1,21 = 2.420.000 \) (Benar)
• (E) Salah, nilai tabungan terus meningkat karena faktor pertumbuhan > 1.

C. Soal Isian & Pemecahan Masalah

Nomor 25

Tentukan nilai kebenaran dari masing-masing pernyataan berikut!

Pernyataan Benar Salah
\( 4^3 \times 4^2 = 4^6 \) ◯ ◯
\( 5^6 : 5^2 = 5^4 \) ◯ ◯
\( 9^{\frac{1}{2}} = 3 \) ◯ ◯
Kunci Jawaban:
1. \( 4^3 \times 4^2 = 4^{3+2} = 4^5 \neq 4^6 \) → Salah
2. \( 5^6 : 5^2 = 5^{6-2} = 5^4 \) → Benar
3. \( 9^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3 \) → Benar
Nomor 26

Analisis Bentuk Akar \( \sqrt{108} \)

Berikan tanda centang (✓) pada kolom Sesuai jika pernyataan benar, atau Tidak Sesuai jika salah!

Pernyataan Sesuai Tidak Sesuai
Bentuk paling sederhana dari \( \sqrt{108} \) adalah \( 6\sqrt{3} \). [   ] [   ]
Jika \( \sqrt{108} \) dibagi dengan \( \sqrt{3} \), hasilnya adalah bilangan ganjil. [   ] [   ]
Nilai \( \sqrt{108} \) ekuivalen (senilai) dengan bentuk \( 2\sqrt{27} \). [   ] [   ]
Kunci Jawaban:
1. \( \sqrt{108} = \sqrt{36 \times 3} = 6\sqrt{3} \) → Sesuai
2. \( \dfrac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 6 \) (6 merupakan bilangan genap) → Tidak Sesuai
3. \( 2\sqrt{27} = 2\sqrt{9 \times 3} = 2(3\sqrt{3}) = 6\sqrt{3} \) → Sesuai
Nomor 27

Hitunglah nilai eksak dari operasi perpangkatan pecahan berikut:

\( 16^{\frac{3}{4}} = \dots \)

Jawaban: 8
Pembahasan:
Ubah basis 16 menjadi \( 2^4 \):
\( 16^{\frac{3}{4}} = (2^4)^{\frac{3}{4}} = 2^{4 \times \frac{3}{4}} = 2^3 = 8 \).
Nomor 28

Rasionalkan bentuk penyebut berikut ke dalam bentuk akar yang paling sederhana:

\( \dfrac{10}{\sqrt{5}} = \dots \)

Jawaban: \( 2\sqrt{5} \)
Pembahasan:
\( \dfrac{10}{\sqrt{5}} \times \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \dfrac{10\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5} \).
Nomor 29

Desain Lapangan Olahraga Tertutup

Arsitek sedang merancang gelanggang olahraga mini berbentuk persegi panjang. Luas lantai yang direncanakan adalah \( 120\text{ cm}^2 \) pada maket rancangan arsitektur. Lebar denah pada maket dibuat berukuran \( 2\sqrt{6}\text{ cm} \).

Agar karpet lantai yang dipasang sesuai dengan ukuran ruangan, hitunglah panjang ruangan pada maket dalam bentuk akar paling rasional dan sederhana!

Jawaban: \( 10\sqrt{6}\text{ cm} \)
Pembahasan:
Rumus luas persegi panjang: \( \text{Luas} = p \times l \implies p = \dfrac{\text{Luas}}{l} \)

Substitusi nilai yang diketahui:
\( p = \dfrac{120}{2\sqrt{6}} = \dfrac{60}{\sqrt{6}} \)

Rasionalkan bentuk pecahan dengan mengalikan \( \dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} \):
\( p = \dfrac{60}{\sqrt{6}} \times \dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \dfrac{60\sqrt{6}}{6} = 10\sqrt{6}\text{ cm} \).

Jadi, panjang maket ruangan yang harus dihitung adalah \( 10\sqrt{6}\text{ cm} \).
Diposting oleh di No comments:

Friday, October 2, 2026

Pertemuan 7: Penalaran Rasio, Proporsi, dan Skala dalam Kehidupan Nyata.

Pertemuan 7: Penalaran Rasio, Proporsi, dan Skala dalam Kehidupan Nyata

Modul Pembelajaran Matematika

Pertemuan 7: Penalaran Rasio, Proporsi, dan Skala dalam Kehidupan Nyata

Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering membandingkan ukuran, memperbesar resep masakan, membaca peta, hingga menghitung efisiensi bahan bakar kendaraan. Semua aktivitas tersebut berakar pada tiga konsep penting: rasio, proporsi, dan skala.

1. Memahami Rasio (Perbandingan)

Rasio adalah perbandingan kuantitatif antara dua atau lebih besaran yang sejenis. Rasio menunjukkan berapa kali suatu nilai memuat nilai lainnya.

Jika besaran pertama adalah $a$ dan besaran kedua adalah $b$ (dengan $b \neq 0$), rasio dapat dinyatakan dalam beberapa cara:

  • Bentuk pembagian pecahan: $\frac{a}{b}$
  • Bentuk titik dua: $a : b$
  • Frasa verbal: "$a$ terhadap $b$"
Catatan Penting: Rasio harus selalu disederhanakan ke bentuk suku-suku terkecil dengan membagi kedua nilai menggunakan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB).

2. Proporsi (Kesetaraan Rasio)

Proporsi adalah pernyataan matematika yang menyatakan bahwa dua rasio bernilai setara atau sama.

$$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \quad \text{atau} \quad a : b = c : d $$

Pada bentuk di atas, berlaku sifat perkalian silang:

$$ a \cdot d = b \cdot c $$

A. Proporsi Senilai (Direct Proportion)

Terjadi ketika peningkatan nilai pada variabel pertama menyebabkan peningkatan proporsional pada variabel kedua, dengan nilai konstanta $k = \frac{y}{x}$.

$$ \frac{x_1}{y_1} = \frac{x_2}{y_2} $$

Contoh: Semakin banyak bensin yang dibeli, semakin besar total biaya yang harus dibayar.

B. Proporsi Berbalik Nilai (Inverse Proportion)

Terjadi ketika peningkatan nilai pada variabel pertama menyebabkan penurunan nilai pada variabel kedua, dengan perkalian variabel konstan $x \cdot y = k$.

$$ x_1 \cdot y_1 = x_2 \cdot y_2 \quad \text{atau} \quad \frac{x_1}{x_2} = \frac{y_2}{y_1} $$

Contoh: Semakin cepat laju kendaraan, semakin sedikit waktu yang dibutuhkan untuk mencapai tujuan.

3. Skala dan Model Reduksi/Perbesaran

Skala merupakan penerapan khusus rasio yang membandingkan ukuran pada gambar (atau model) terhadap ukuran sebenarnya di lapangan:

$$ \text{Skala} = \frac{\text{Ukuran pada Gambar/Peta}}{\text{Ukuran Sebenarnya}} $$
Contoh Kasus Skala:

Skala peta tertulis $1 : 250.000$. Artinya, setiap $1\text{ cm}$ pada peta mewakili $250.000\text{ cm}$ ($2,5\text{ km}$) jarak horizontal sebenarnya di permukaan bumi.

Perbandingan Ringkas

Konsep Definisi Singkat Bentuk Matematis Contoh Nyata
Rasio Perbandingan dua besaran sejenis $a : b$ Rasio kopi dan susu = $1 : 2$
Proporsi Senilai Variabel bertambah bersamaan $\frac{x_1}{y_1} = \frac{x_2}{y_2}$ Jumlah lembar fotokopi vs biaya
Proporsi Berbalik Nilai Satu naik, yang lain turun $x_1 y_1 = x_2 y_2$ Jumlah tukang vs durasi renovasi
Skala Rasio model terhadap ukuran fisik nyata $1 : n$ Denah rumah arsitektur $1 : 100$

Latihan Soal dan Pembahasan

Soal 1 (Proporsi Senilai - Bahan Bakar):
Sebuah mobil membutuhkan $4\text{ liter}$ bensin untuk menempuh jarak $64\text{ km}$. Jika pengemudi berencana menempuh perjalanan sejauh $240\text{ km}$, berapa liter bensin yang dibutuhkan mobil tersebut?

Lihat Cara Penyelesaian

Karena jarak bertambah maka bensin juga bertambah, gunakan proporsi senilai:

$$ \frac{4\text{ L}}{64\text{ km}} = \frac{x\text{ L}}{240\text{ km}} $$

Lakukan perkalian silang:

$$ 64 \cdot x = 4 \cdot 240 $$ $$ 64x = 960 $$ $$ x = \frac{960}{64} = 15\text{ liter} $$

Jawaban: Bensin yang dibutuhkan adalah $15\text{ liter}$.

Soal 2 (Proporsi Berbalik Nilai - Waktu Pekerjaan):
Proyek perbaikan jalan diselesaikan oleh $12$ pekerja dalam waktu $20$ hari. Jika kontraktor ingin pekerjaan selesai dalam waktu $15$ hari saja, berapa total pekerja yang harus dikerahkan?

Lihat Cara Penyelesaian

Semakin sedikit hari yang diinginkan, pekerja yang dibutuhkan harus semakin banyak (proporsi berbalik nilai):

$$ x_1 \cdot y_1 = x_2 \cdot y_2 $$ $$ 12 \cdot 20 = x_2 \cdot 15 $$ $$ 240 = 15x_2 $$ $$ x_2 = \frac{240}{15} = 16\text{ orang} $$

Jawaban: Diperlukan total $16\text{ pekerja}$ (atau penambahan $4$ pekerja dari jumlah awal).

Soal 3 (Skala Peta):
Jarak antara Kota P dan Kota Q pada peta berskala $1 : 1.500.000$ adalah $6\text{ cm}$. Berapa jarak sebenarnya antara kedua kota tersebut dalam satuan kilometer?

Lihat Cara Penyelesaian

Gunakan rumus hubungan skala:

$$ \text{Jarak Sebenarnya} = \frac{\text{Jarak pada Peta}}{\text{Skala}} = \text{Jarak pada Peta} \times \text{Faktor Skala} $$ $$ \text{Jarak Sebenarnya} = 6\text{ cm} \times 1.500.000 = 9.000.000\text{ cm} $$

Konversikan satuan $\text{cm}$ ke $\text{km}$ ($1\text{ km} = 100.000\text{ cm}$):

$$ \text{Jarak Sebenarnya} = \frac{9.000.000}{100.000} = 90\text{ km} $$

Jawaban: Jarak sebenarnya antara kedua kota adalah $90\text{ km}$.

Diposting oleh di No comments:

LATIHAN SOAL TKA MATEMATIKA TINGKAT LANJUT 2026

Latihan Soal TKA Matematika Tingkat Lanjut UNTUK KALANGAN PRIBADI SMAN 1 BABAT

LATIHAN TES KEMAMPUAN AKADEMIK (TKA) MATEMATIKA

Aljabar, Geometri & Pengukuran, Kalkulus | 20 Butir Soal Terstandar

BAGIAN 1: ALJABAR
Pilihan Ganda Sederhana
1. Diberikan matriks A = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$. Invers dari matriks $A$, yaitu $A^{-1}$, adalah ...
Pilihan Ganda Sederhana
2. Diketahui sistem persamaan linear dua variabel berikut: $$\begin{cases} 3x + 2y = 12 \\ 4x + 3y = 17 \end{cases}$$ Jika sistem di atas dinyatakan dalam bentuk persamaan matriks $\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 \\ 17 \end{pmatrix}$, maka nilai x - y yang diperoleh menggunakan konsep invers matriks adalah ...
Pilihan Ganda Kompleks (Kategori)
3. Diberikan dua matriks persegi berordo $2 \times 2$, yaitu $P = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ dan $Q = \begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix}$. Tentukan kebenaran dari setiap pernyataan berikut mengenai sifat hasil operasi perkalian matriks!
Pernyataan Benar Salah
Determinan dari hasil kali matriks memenuhi relasi $\det(PQ) = \det(P) \cdot \det(Q)$.
Operasi perkalian matriks bersifat komutatif, yaitu $PQ = QP$ untuk semua matriks $P$ dan $Q$.
Transpos dari perkalian matriks memenuhi sifat $(PQ)^T = Q^T P^T$.
Pilihan Ganda Kompleks (MCMA)
4. Suatu konveksi memproduksi dua tipe seragam (Tipe A dan Tipe B) menggunakan dua jenis bahan kain (Katun dan Poliester). Kebutuhan kain per potong (dalam meter) disajikan oleh matriks material $M$, dan jumlah pesanan seragam pada Minggu I dan Minggu II disajikan oleh matriks produksi $P$: $$M = \begin{pmatrix} 2 & 1,5 \\ 1 & 2,5 \end{pmatrix} \begin{matrix} \text{Katun} \\ \text{Poliester} \end{matrix}, \quad P = \begin{pmatrix} 40 & 50 \\ 60 & 30 \end{pmatrix} \begin{matrix} \text{Minggu I} \\ \text{Minggu II} \end{matrix}$$ dimana baris matriks $M$ menunjukkan jenis bahan dan kolomnya menunjukkan Tipe Seragam (kolom 1: Tipe A, kolom 2: Tipe B). Sedangkan baris matriks $P$ menyatakan minggu produksi dan kolomnya menyatakan kuantitas tipe seragam.

Pilihlah semua interpretasi yang BENAR terkait hasil operasi matriks kebutuhan kain $K = M \times P^T$ atau perhitungan terkait! (Pilihan jawaban benar lebih dari satu)
Pilihan Ganda Kompleks (MCMA)
5. Diberikan fungsi polinomial berorde tiga $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 11x + 6$.
Manakah di antara nilai-nilai berikut yang merupakan nilai pembuat nol dari fungsi polinomial tersebut? (Pilihan jawaban benar lebih dari satu)
Pilihan Ganda Sederhana
6. Suatu polinomial $P(x) = x^4 + 2x^3 - ax^2 + bx - 8$ dibagi oleh $(x^2 - x - 2)$ bersisa $(3x - 2)$. Nilai dari operasi aljabar $2a + b$ adalah ...
Pilihan Ganda Sederhana
7. Sebuah perusahaan manufaktur mengestimasi total biaya operasional harian untuk memproduksi $x$ unit barang mengikuti model polinomial $C(x) = 0{,}5x^2 + 20x + 150$ (dalam ribuan rupiah). Karena terjadi lonjakan efisiensi dan perluasan pabrik, kapasitas produksi berlipat dan fungsi biaya operasional terbarukan menjadi $C_{\text{baru}}(x) = k \cdot C(x)$ dengan faktor skala $k = 4$. Jika pada suatu hari pabrik memproduksi 30 unit barang, total biaya operasional baru yang dikeluarkan adalah ...
Pilihan Ganda Kompleks (MCMA)
8. Sebuah kotak kemasan berbentuk balok memiliki panjang $(x + 4)\text{ cm}$, lebar $(x - 1)\text{ cm}$, dan tinggi $(x - 2)\text{ cm}$. Jika volume balok tersebut dirancang sebesar $140\text{ cm}^3$, manakah pernyataan berikut yang sesuai mengenai ukuran dimensi balok tersebut? (Pilihan jawaban benar lebih dari satu)
Pilihan Ganda Kompleks (Kategori)
9. Pertumbuhan populasi bakteri dalam suatu biakan laboratorium dinyatakan dengan model eksponensial: $$N(t) = 300 \cdot 2^{0{,}5t}$$ dengan $N(t)$ menyatakan jumlah bakteri setelah $t$ jam pengamatan. Tentukan kebenaran interpretasi model pertumbuhan tersebut!
Pernyataan Benar Salah
Jumlah populasi bakteri mula-mula saat pengamatan dimulai ($t = 0$) adalah 300 bakteri.
Populasi bakteri akan membelah diri menjadi dua kali lipat setiap 30 menit.
Setelah 6 jam, jumlah populasi bakteri mencapai 2.400 bakteri.
Pilihan Ganda Kompleks (MCMA)
10. Daya serap senyawa obat dalam tubuh pasien setelah $t$ jam penyuntikan dimodelkan oleh grafik fungsi eksponensial $C(t) = 80 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/4}\text{ mg/L}$. Pasien dinyatakan aman untuk menerima dosis tambahan apabila konsentrasi obat dalam darah berada di bawah $25\text{ mg/L}$.
Berdasarkan grafik dan karakteristik fungsi tersebut, manakah nilai waktu $t$ (dalam jam bulat) berikut yang memenuhi persyaratan aman untuk menerima dosis tambahan? (Pilihan jawaban benar lebih dari satu)
Pilihan Ganda Sederhana
11. Ketinggian permukaan air (dalam meter) di sebuah pelabuhan karena pasang surut air laut setelah $t$ jam dihitung dari tengah malam dimodelkan oleh fungsi: $$h(t) = 4 + 3\cos\left(\frac{\pi}{6}t\right)$$ Berdasarkan model tersebut, kesimpulan yang tepat mengenai karakteristik pasang surut air laut di pelabuhan tersebut adalah ...
BAGIAN 2: GEOMETRI DAN PENGUKURAN
Pilihan Ganda Kompleks (MCMA)
12. Diberikan balok $ABCD.EFGH$ yang diletakkan pada sistem koordinat Cartesius tiga dimensi dengan titik asal $A(0,0,0)$, titik $B(6,0,0)$, titik $D(0,4,0)$, dan titik $E(0,0,3)$.
Vektor posisi dinyatakan dalam format $\vec{v} = (x, y, z)$. Manakah di antara representasi vektor berikut yang merupakan vektor diagonal ruang dari balok tersebut? (Pilihan jawaban benar lebih dari satu)
Pilihan Ganda Sederhana
13. Pada bangun datar jajargenjang $ABCD$, titik sudut dinyatakan oleh vektor posisi $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, dan $\vec{d}$. Titik $P$ membagi diagonal $AC$ dengan perbandingan $AP : PC = 2 : 1$, sedangkan titik $Q$ membagi sisi $CD$ dengan perbandingan $CQ : QD = 1 : 2$. Jika vektor $\vec{PQ}$ dapat dinyatakan dalam bentuk relasi $\vec{PQ} = m\,\vec{a} + n\,\vec{b} + k\,\vec{c}$, maka nilai $m + n + k$ adalah ...
Pilihan Ganda Sederhana
14. Sebuah wahana nirawak (*drone*) bergerak sepanjang lintasan lurus dari stasiun pengawas $A(2, -1, 5)$ menuju stasiun $B(14, 11, -7)$. Di antara lintasan tersebut, terdapat titik *waypoint* $R$ sedemikian sehingga $\vec{AR} : \vec{RB} = 1 : 3$. Panjang lintasan (jarak) dari titik asal koordinat $O(0,0,0)$ ke titik *waypoint* $R$ adalah ...
Pilihan Ganda Kompleks (MCMA)
15. Diberikan persamaan lingkaran dasar $L_1: x^2 + y^2 - 6x + 8y - 11 = 0$.
Manakah di antara persamaan-persamaan lingkaran berikut yang sepusat (konsentris) dengan lingkaran $L_1$? (Pilihan jawaban benar lebih dari satu)
Pilihan Ganda Kompleks (MCMA)
16. Diketahui sebuah lingkaran memiliki persamaan $x^2 + y^2 = 20$. Dibuat garis-garis singgung pada lingkaran tersebut yang tegak lurus terhadap garis $2x + y - 7 = 0$.
Manakah di antara koordinat berikut yang merupakan titik singgung dari garis-garis singgung tersebut? (Pilihan jawaban benar lebih dari satu)
Pilihan Ganda Kompleks (Kategori)
17. Garis lurus $g: 2x - 3y + 6 = 0$ ditransformasikan oleh rotasi sebesar $90^\circ$ berlawanan arah jarum jam dengan pusat $O(0,0)$, kemudian dilanjutkan dengan refleksi terhadap sumbu-$X$, menghasilkan garis bayangan $g'$. Tentukan kebenaran dari setiap pernyataan berikut!
Pernyataan Benar Salah
Persamaan garis bayangan hasil komposisi transformasi tersebut adalah $3x - 2y + 6 = 0$.
Titik $(0, 3)$ terletak pada garis bayangan $g'$.
Gradien garis mula-mula $g$ sama dengan gradien garis bayangan akhir $g'$.
BAGIAN 3: KALKULUS
Pilihan Ganda Sederhana
18. Nilai dari limit fungsi aljabar pecahan rasional berikut: $$\lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 3x^2 + 4}{x^2 - 4x + 4}$$ adalah ...
Pilihan Ganda Sederhana
19. Efektivitas penyebaran pesan edukasi kesehatan di suatu wilayah setelah $t$ hari rilis diproyeksikan memenuhi rasio: $$E(t) = \frac{8t^2 + 5t - 3}{2t^2 - t + 7}$$ Untuk jangka waktu yang sangat panjang di masa mendatang ($t \to \infty$), kecenderungan nilai efektivitas pesan tersebut akan mendekati ...
Pilihan Ganda Kompleks (MCMA)
20. Diketahui nilai limit fungsi trigonometri memenuhi persamaan berikut: $$\lim_{x \to 0} \frac{a \sin(bx)}{x \cos(2x)} = 12$$ di mana $a$ dan $b$ merupakan bilangan bulat positif.
Manakah pasangan parameter $(a, b)$ berikut yang memenuhi persamaan limit tersebut? (Pilihan jawaban benar lebih dari satu)
Diposting oleh di No comments:
Subscribe to: Posts (Atom)

Popular Posts

Total Pageviews