Bank Soal TKA Matematika SD : Pecahan senilai menggunakan gambar dan simbol matematika

20 Soal TKA SMA: Pecahan Senilai (Gambar & Simbol Matematika)

Berikut adalah kumpulan 20 soal Tes Kemampuan Akademik (TKA) Matematika SMA sub-elemen Pecahan Senilai menggunakan Gambar dan Simbol Matematika.

Bagian I: Indikator Memahami (L1 / C2)

Soal 1 Memahami (L1) Pilihan Ganda

Indikator: Memahami konsep pecahan senilai melalui model visual.

Sebuah lingkaran dibagi menjadi \(8\) bagian sama besar, dan \(6\) bagian di antaranya diarsir. Gambar manakah yang mewakili nilai pecahan yang senilai dengan gambar tersebut?

• A. Persegi panjang yang dibagi \(4\) bagian sama besar, \(2\) bagian diarsir.
• B. Persegi panjang yang dibagi \(12\) bagian sama besar, \(9\) bagian diarsir.
• C. Lingkaran yang dibagi \(6\) bagian sama besar, \(3\) bagian diarsir.
• D. Segitiga yang dibagi \(5\) bagian sama besar, \(3\) bagian diarsir.
• E. Persegi yang dibagi \(16\) bagian sama besar, \(10\) bagian diarsir.

Kunci Jawaban: B

Pembahasan:
Nilai pecahan mula-mula adalah \(\frac{6}{8} = \frac{3}{4}\).
Nilai pada pilihan B adalah \(\frac{9}{12} = \frac{3}{4}\). Jadi, \(\frac{6}{8} = \frac{9}{12}\) (senilai).

Soal 2 Memahami (L1) PG Kompleks Kategori

Indikator: Menentukan kesenilaian bentuk aljabar sederhana pecahan.

Tentukan apakah pernyataan berikut Benar atau Salah terkait kesenilaian pecahan simbolik (\(x \neq 0, y \neq 0\)):

No	Pernyataan	Kategori
1	Bentuk \(\frac{3x}{6y}\) senilai dengan \(\frac{x}{2y}\).	[ Benar / Salah ]
2	Bentuk \(\frac{x+2}{y+2}\) pasti senilai dengan \(\frac{x}{y}\).	[ Benar / Salah ]
3	Bentuk \(\frac{2x^2}{4xy}\) senilai dengan \(\frac{x}{2y}\).	[ Benar / Salah ]

Kunci Jawaban: 1. Benar | 2. Salah | 3. Benar

Pembahasan:
1. \(\frac{3x}{6y} = \frac{3}{6} \cdot \frac{x}{y} = \frac{x}{2y}\) (Benar)
2. Menambahkan konstanta pada pembilang dan penyebut tidak mempertahankan kesenilaian pecahan. (Salah)
3. \(\frac{2x^2}{4xy} = \frac{2x \cdot x}{2x \cdot 2y} = \frac{x}{2y}\) (Benar)

Soal 3 Memahami (L1) MCMA

Indikator: Mengidentifikasi beberapa pecahan senilai dari simbol matematika.

Diberikan pecahan \(\frac{15}{25}\). Manakah di antara bentuk-bentuk berikut yang senilai dengan pecahan tersebut? (Pilihlah semua jawaban yang benar)

• [ ] A. \(\frac{3}{5}\)
• [ ] B. \(0,6\)
• [ ] C. \(60\%\)
• [ ] D. \(\frac{18}{30}\)
• [ ] E. \(\frac{20}{35}\)

Kunci Jawaban: A, B, C, D

Pembahasan:
\(\frac{15}{25} = \frac{3}{5} = 0,6 = 60\%\).
Selain itu, \(\frac{18}{30} = \frac{3}{5}\). Pilihan E adalah \(\frac{20}{35} = \frac{4}{7} \neq \frac{3}{5}\).

Soal 4 Memahami (L1) Pilihan Ganda

Indikator: Mengidentifikasi daerah arsiran pecahan senilai pada dua bidang geometris.

Persegi A dibagi menjadi \(4\) persegi kecil yang identik dan \(1\) persegi kecil diarsir. Persegi B memiliki ukuran total sama dengan Persegi A, namun dibagi menjadi \(16\) persegi kecil identik. Berapa banyak persegi kecil pada Persegi B yang harus diarsir agar daerah arsirannya senilai dengan Persegi A?

• A. 2
• B. 4
• C. 6
• D. 8
• E. 12

Kunci Jawaban: B

Pembahasan:
Persegi A = \(\frac{1}{4}\).
Agar senilai pada Persegi B (\(\frac{x}{16}\)), maka \(\frac{1}{4} = \frac{x}{16} \Rightarrow x = 4\).

Soal 5 Memahami (L1) MCMA

Indikator: Mengidentifikasi representasi pecahan senilai berbasis rasio variabel.

Diberikan hubungan \(\frac{a}{b} = \frac{4}{7}\) dengan \(a, b > 0\). Manakah pasangan ekspresi di bawah ini yang menghasilkan nilai pecahan yang senilai dengan \(\frac{a}{b}\)? (Pilihlah semua jawaban yang benar)

• [ ] A. \(\frac{3a}{3b}\)
• [ ] B. \(\frac{a^2}{b^2}\)
• [ ] C. \(\frac{a + a}{b + b}\)
• [ ] D. \(\frac{10a}{10b}\)
• [ ] E. \(\frac{a + 4}{b + 7}\)

Kunci Jawaban: A, C, D

Pembahasan:
Mengalikan pembilang dan penyebut dengan pengali konstan non-nol (\(k\)) menghasilkan pecahan senilai: \(\frac{k \cdot a}{k \cdot b} = \frac{a}{b}\).
- A: \(k=3 \rightarrow \frac{3a}{3b} = \frac{a}{b}\)
- C: \(\frac{2a}{2b} = \frac{a}{b}\)
- D: \(\frac{10a}{10b} = \frac{a}{b}\)

Soal 6 Memahami (L1) PG Kompleks Kategori

Indikator: Mengidentifikasi kesenilaian pecahan berpenyebut bentuk akar.

Tentukan apakah pasangan simbolik matematika berikut Senilai (Ya) atau Tidak Senilai (Tidak)!

No	Pasangan Bentuk Pecahan	Kategori
1	\(\frac{1}{\sqrt{2}}\) dan \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	[ Ya / Tidak ]
2	\(\frac{2}{\sqrt{3}+1}\) dan \(\sqrt{3}-1\)	[ Ya / Tidak ]
3	\(\frac{3}{\sqrt{5}}\) dan \(\frac{3\sqrt{5}}{25}\)	[ Ya / Tidak ]

Kunci Jawaban: 1. Ya | 2. Ya | 3. Tidak

Pembahasan:
1. \(\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\) (Ya)
2. \(\frac{2}{\sqrt{3}+1} \times \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1} = \frac{2(\sqrt{3}-1)}{3-1} = \sqrt{3}-1\) (Ya)
3. \(\frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5} \neq \frac{3\sqrt{5}}{25}\) (Tidak)

Bagian II: Indikator Mengaplikasikan (L2 / C3)

Soal 7 Mengaplikasikan (L2) Pilihan Ganda

Indikator: Mengaplikasikan pecahan senilai untuk menghitung proporsi daerah lahan.

Pak Roni memiliki sebidang tanah berbentuk persegi panjang yang dibagi menjadi \(24\) kaveling sama besar. Sebanyak \(9\) kaveling ditanami jagung. Jika Pak Roni membeli tanah tambahan di sebelahnya yang dibagi menjadi \(40\) kaveling identik dengan skala tanah yang sama, berapa kaveling tanah baru yang harus ditanami jagung agar proporsi luas tanaman jagung terhadap total tanah baru senilai dengan proporsi di tanah lama?

• A. 12 kaveling
• B. 15 kaveling
• C. 18 kaveling
• D. 20 kaveling
• E. 25 kaveling

Kunci Jawaban: B

Pembahasan:
Proporsi awal = \(\frac{9}{24} = \frac{3}{8}\).
Proporsi tanah baru = \(\frac{x}{40}\).
\(\frac{3}{8} = \frac{x}{40} \Rightarrow x = \frac{3 \times 40}{8} = 15\) kaveling.

Soal 8 Mengaplikasikan (L2) MCMA

Indikator: Mengaplikasikan kesenilaian pecahan dalam pembagian alokasi dana operasional.

Suatu perusahaan mengalokasikan dana riset sebesar \(\frac{12}{32}\) dari total anggaran bulanan. Manakah di antara alokasi berikut yang memiliki proporsi nilai anggaran yang senilai dengan alokasi riset tersebut? (Pilihlah semua jawaban yang benar)

• [ ] A. Rp37,5 juta dari total anggaran Rp100 juta.
• [ ] B. Rp15 juta dari total anggaran Rp40 juta.
• [ ] C. Rp60 juta dari total anggaran Rp180 juta.
• [ ] D. Rp24 juta dari total anggaran Rp64 juta.
• [ ] E. Rp9 juta dari total anggaran Rp24 juta.

Kunci Jawaban: A, B, D, E

Pembahasan:
\(\frac{12}{32} = \frac{3}{8} = 0,375 = 37,5\%\).
- A: \(\frac{37,5}{100} = 0,375\) (Benar)
- B: \(\frac{15}{40} = \frac{3}{8}\) (Benar)
- C: \(\frac{60}{180} = \frac{1}{3} \neq \frac{3}{8}\) (Salah)
- D: \(\frac{24}{64} = \frac{3}{8}\) (Benar)
- E: \(\frac{9}{24} = \frac{3}{8}\) (Benar)

Soal 9 Mengaplikasikan (L2) PG Kompleks Kategori

Indikator: Mengaplikasikan pecahan senilai pada komposisi larutan/diagram batang.

Sebuah tangki berisi campuran \(18\) liter zat A dan \(30\) liter zat B. Tentukan Benar atau Salah untuk setiap rencana penambahan/pengurangan volume berikut agar rasio zat A terhadap total campuran tetap senilai dengan kondisi awal!

No	Pernyataan Rencana	Kategori
1	Menambahkan \(6\) liter zat A dan \(10\) liter zat B.	[ Benar / Salah ]
2	Mengurangi volume zat A sebanyak \(3\) liter dan zat B sebanyak \(5\) liter.	[ Benar / Salah ]
3	Menambahkan \(9\) liter zat A dan \(9\) liter zat B.	[ Benar / Salah ]

Kunci Jawaban: 1. Benar | 2. Benar | 3. Salah

Pembahasan:
Rasio awal A : B = 18 : 30 = 3 : 5.
1. Penambahan 6 : 10 = 3 : 5, sehingga rasio total tetap 3 : 5. (Benar)
2. Pengurangan 3 : 5 menjaga rasio sisa 15 : 25 = 3 : 5. (Benar)
3. Penambahan 9 : 9 mengubah rasio menjadi 27 : 39 = 9 : 13 ≠ 3 : 5. (Salah)

Soal 10 Mengaplikasikan (L2) Pilihan Ganda

Indikator: Mengaplikasikan pecahan senilai pada gambar skala kisi (grid).

Gambar X berupa kisi berukuran \(5 \times 4\) kotak dengan \(8\) kotak di antaranya diarsir. Gambar Y adalah kisi berukuran \(k \times 6\) kotak. Jika luas daerah arsiran pada Gambar Y bernilai senilai dengan daerah arsiran Gambar X, dan diketahui ada \(12\) kotak pada Gambar Y yang diarsir, berapa nilai \(k\)?

• A. 4
• B. 5
• C. 6
• D. 8
• E. 10

Kunci Jawaban: B

Pembahasan:
Pecahan Gambar X = \(\frac{8}{5 \times 4} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}\).
Pecahan Gambar Y = \(\frac{12}{k \times 6} = \frac{2}{k}\).
Agar senilai: \(\frac{2}{5} = \frac{2}{k} \Rightarrow k = 5\).

Soal 11 Mengaplikasikan (L2) MCMA

Indikator: Mengaplikasikan penyederhanaan aljabar ke dalam pecahan senilai.

Diketahui pecahan \(\frac{x^2 - 9}{x^2 + 5x + 6}\) untuk \(x \neq -2, x \neq -3\). Manakah di antara bentuk simbolik berikut yang senilai dengan pecahan tersebut? (Pilihlah semua jawaban yang benar)

• [ ] A. \(\frac{x - 3}{x + 2}\)
• [ ] B. \(\frac{2x - 6}{2x + 4}\)
• [ ] C. \(\frac{x^2 - 3x}{x^2 + 2x}\)
• [ ] D. \(\frac{x + 3}{x + 2}\)
• [ ] E. \(\frac{3 - x}{-x - 2}\)

Kunci Jawaban: A, B, C, E

Pembahasan:
\(\frac{x^2 - 9}{x^2 + 5x + 6} = \frac{(x-3)(x+3)}{(x+2)(x+3)} = \frac{x-3}{x+2}\).
- A: \(\frac{x-3}{x+2}\) (Benar)
- B: \(\frac{2(x-3)}{2(x+2)} = \frac{x-3}{x+2}\) (Benar)
- C: \(\frac{x(x-3)}{x(x+2)} = \frac{x-3}{x+2}\) (Benar)
- E: \(\frac{-(x-3)}{-(x+2)} = \frac{x-3}{x+2}\) (Benar)

Soal 12 Mengaplikasikan (L2) Pilihan Ganda

Indikator: Mengaplikasikan kesenilaian pecahan pada pemetaan diagram lingkaran.

Dalam sebuah survey pemilih, \(135^\circ\) pada diagram lingkaran mewakili kelompok pemilih Usia Muda. Jika survey yang sama disajikan dalam bentuk tabel frekuensi dengan total responden \(1.200\) orang, berapa banyak responden Usia Muda agar proporsinya senilai dengan juring diagram lingkaran tersebut?

• A. 300 orang
• B. 400 orang
• C. 450 orang
• D. 500 orang
• E. 600 orang

Kunci Jawaban: C

Pembahasan:
Proporsi juring = \(\frac{135^\circ}{360^\circ} = \frac{3}{8}\).
Jumlah responden = \(\frac{3}{8} \times 1.200 = 450\) orang.

Soal 13 Mengaplikasikan (L2) PG Kompleks Kategori

Indikator: Mengaplikasikan representasi grafik fungsi linear terhadap pecahan senilai.

Sebuah grafik garis lurus melalui titik \((0,0)\) dan titik dasar dengan rasio \(\frac{y}{x} = \frac{3}{4}\). Tentukan apakah koordinat titik \((x, y)\) berikut berada pada garis tersebut (artinya nilai \(\frac{y}{x}\) senilai dengan \(\frac{3}{4}\))!

No	Koordinat Titik \((x, y)\)	Kategori
1	\((12, 9)\)	[ Sesuai / Tidak Sesuai ]
2	\((16, 12)\)	[ Sesuai / Tidak Sesuai ]
3	\((20, 18)\)	[ Sesuai / Tidak Sesuai ]

Kunci Jawaban: 1. Sesuai | 2. Sesuai | 3. Tidak Sesuai

Pembahasan:
1. \(\frac{9}{12} = \frac{3}{4}\) (Sesuai)
2. \(\frac{12}{16} = \frac{3}{4}\) (Sesuai)
3. \(\frac{18}{20} = \frac{9}{10} \neq \frac{3}{4}\) (Tidak Sesuai)

Bagian III: Indikator Bernalar Lebih Tinggi / HOTS (L3 / C4-C6)

Soal 14 Bernalar Tinggi (L3) Pilihan Ganda

Indikator: Menganalisis perubahan visual arsiran akibat modifikasi geometri bertingkat.

Persegi M berukuran \(8 \times 8\) cm memuat 1 lingkaran terbesar yang memenuhi persegi tersebut. Rasio luas daerah di luar lingkaran terhadap luas persegi M ditulis sebagai \(P_1\). Persegi N berukuran \(16 \times 16\) cm memuat \(4\) lingkaran identik bersinggungan yang memenuhi persegi tersebut. Rasio luas daerah di luar 4 lingkaran terhadap luas persegi N ditulis sebagai \(P_2\). Pernyataan yang tepat mengenai hubungan \(P_1\) dan \(P_2\) adalah...

• A. \(P_1 = 2 P_2\)
• B. \(P_1 = \frac{1}{2} P_2\)
• C. \(P_1 = P_2\) (Nilai pecahan senilai)
• D. \(P_1 = P_2 + \frac{\pi}{4}\)
• E. Hubungan tidak dapat ditentukan tanpa nilai numerik \(\pi\).

Kunci Jawaban: C

Pembahasan:
- Untuk persegi sisi \(s\): Luas = \(s^2\). Luas 1 lingkaran = \(\pi(s/2)^2 = \frac{\pi s^2}{4}\).
Maka \(P_1 = \frac{s^2 - \frac{\pi s^2}{4}}{s^2} = 1 - \frac{\pi}{4}\).
- Untuk persegi \(2s \times 2s\): Luas = \(4s^2\). Memuat 4 lingkaran berjari-jari \(s/2\), total luas = \(4 \times \pi(s/2)^2 = \pi s^2\).
Maka \(P_2 = \frac{4s^2 - \pi s^2}{4s^2} = 1 - \frac{\pi}{4}\).
Ternyata \(P_1 = P_2\), yang artinya kedua pecahan **senilai**.

Soal 15 Bernalar Tinggi (L3) MCMA

Indikator: Evaluasi dan penalaran aljabar terhadap kesenilaian pecahan bersyarat.

Diberikan pecahan \(F(x) = \frac{2x - 4}{x^2 - 4}\). Manakah dari analisis berikut yang benar mengenai kesenilaian pecahan tersebut? (Pilihlah semua jawaban yang benar)

• [ ] A. Untuk semua \(x \neq 2\) dan \(x \neq -2\), \(F(x)\) senilai dengan \(\frac{2}{x + 2}\).
• [ ] B. Nilai \(F(3)\) senilai dengan pecahan \(\frac{4}{10}\).
• [ ] C. \(F(x)\) tidak pernah bisa senilai dengan \(0\) untuk sebarang bilangan real \(x\) pada domainnya.
• [ ] D. Grafik fungsi \(y = F(x)\) senilai dengan grafik \(y = \frac{2}{x+2}\) di seluruh titik domain \(x \in \mathbb{R}\).
• [ ] E. Untuk \(x = 0\), nilai pecahan \(F(0)\) senilai dengan \(1\).

Kunci Jawaban: A, B, C, E

Pembahasan:
- \(F(x) = \frac{2(x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{2}{x+2}\) untuk \(x \neq \pm 2\). (A Benar)
- \(F(3) = \frac{2}{3+2} = \frac{2}{5} = \frac{4}{10}\). (B Benar)
- Agar \(F(x) = 0\), pembilang \(2(x-2)=0 \Rightarrow x=2\). Namun \(x=2\) membuat penyebut bernilai \(0\) (tidak terdefinisi). Sehingga \(F(x)\) tidak pernah bernilai 0. (C Benar)
- D Salah karena domain \(F(x)\) mengecualikan \(x=2\).
- \(F(0) = \frac{-4}{-4} = 1\), senilai dengan 1. (E Benar)

Soal 16 Bernalar Tinggi (L3) PG Kompleks Kategori

Indikator: Menganalisis kesenilaian pecahan berlanjut (continued fraction) dan limitnya.

Diberikan bentuk pecahan berlanjut tak hingga \(x = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{\dots}}}\). Tentukan apakah pernyataan berikut Benar atau Salah terkait kesenilaian pecahan tersebut!

No	Pernyataan	Kategori
1	Bentuk \(x\) senilai dengan pecahan \(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\) (Rasio Emas / Golden Ratio).	[ Benar / Salah ]
2	Nilai \(x - 1\) senilai dengan pecahan \(\frac{1}{x}\).	[ Benar / Salah ]
3	Kebalikan dari \(x\), yaitu \(\frac{1}{x}\), senilai dengan \(x + 1\).	[ Benar / Salah ]

Kunci Jawaban: 1. Benar | 2. Benar | 3. Salah

Pembahasan:
* Karena pecahan berlanjut berulang, dapat dituliskan \(x = 1 + \frac{1}{x}\).
* Persamaan kuadrat: \(x^2 - x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\) (karena \(x > 0\)). (Pernyataan 1 Benar)
* Dari \(x = 1 + \frac{1}{x}\), diperoleh \(x - 1 = \frac{1}{x}\). (Pernyataan 2 Benar)
* Dari \(x - 1 = \frac{1}{x}\), maka \(\frac{1}{x} = x - 1\), bukan \(x + 1\). (Pernyataan 3 Salah)

Soal 17 Bernalar Tinggi (L3) Pilihan Ganda

Indikator: Memecahkan masalah aljabar non-linear berbasis syarat pecahan senilai.

Diketahui pecahan \(\frac{k^2 - 1}{k + 3}\) harus senilai dengan pecahan \(\frac{k - 1}{1}\). Berapa nilai \(k\) real yang memenuhi kondisi tersebut?

• A. Tidak ada nilai \(k\) yang memenuhi
• B. \(k = 1\) saja
• C. \(k = -3\) saja
• D. \(k = 1\) atau \(k = -3\)
• E. Semua bilangan real \(k \neq -3\)

Kunci Jawaban: B

Pembahasan:
Syarat penyebut: \(k \neq -3\).
Persamaan kesenilaian pecahan:
\(\frac{k^2 - 1}{k + 3} = \frac{k - 1}{1}\)
\(\frac{(k-1)(k+1)}{k+3} = k - 1\)
\(\frac{(k-1)(k+1)}{k+3} - (k - 1) = 0\)
\((k - 1) \left( \frac{k+1}{k+3} - 1 \right) = 0\)

* Kemungkinan 1: \(k - 1 = 0 \Rightarrow k = 1\). (Memenuhi syarat domain \(k \neq -3\)).
* Kemungkinan 2: \(\frac{k+1}{k+3} = 1 \Rightarrow k + 1 = k + 3 \Rightarrow 1 = 3\) (Kontradiksi/Tidak ada solusi).

Jadi, nilai \(k\) yang memenuhi hanya \(k = 1\).

Soal 18 Bernalar Tinggi (L3) MCMA

Indikator: Menganalisis sifat kesenilaian pecahan pada pertidaksamaan dan pemangkatan.

Diketahui \(0 < a < b\) dengan \(a\) dan \(b\) adalah bilangan bulat positif. Manakah dari pernyataan berikut yang benar terkait sifat-sifat kesenilaian pecahan? (Pilihlah semua jawaban yang benar)

• [ ] A. Pecahan \(\frac{a+c}{b+c}\) selalu lebih besar dari \(\frac{a}{b}\) untuk setiap bilangan bulat positif \(c\).
• [ ] B. Pecahan \(\frac{a^k}{b^k}\) senilai dengan \(\left(\frac{a}{b}\right)^k\) untuk setiap \(k \in \mathbb{N}\).
• [ ] C. Pecahan \(\frac{a}{b}\) selalu senilai dengan \(\frac{a \cdot c}{b \cdot c}\) untuk sebarang \(c \neq 0\).
• [ ] D. Mengurangi pembilang dan penyebut dengan \(c>0\) yang sama selalu menghasilkan pecahan yang senilai.
• [ ] E. Jika \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\), maka \(\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}\).

Kunci Jawaban: A, B, C, E

Pembahasan:
* A: Jika \(a < b\), menambahkan \(c > 0\) ke pembilang dan penyebut mendekatkan nilai pecahan ke \(1\) (nilainya bertambah). Contoh: \(\frac{1}{2} = 0,5\), ditambahkan \(1\) menjadi \(\frac{2}{3} \approx 0,67\) (Benar).
* B: Berdasarkan sifat eksponen, \(\left(\frac{a}{b}\right)^k = \frac{a^k}{b^k}\) (Benar).
* C: Sifat dasar pecahan senilai melalui perkalian konstanta non-nol (Benar).
* D: Operasi penjumlahan/pengurangan konstanta pada pembilang dan penyebut tidak mempertahankan kesenilaian (Salah).
* E: Sifat proporsi aljabar: \(\frac{a}{b} + 1 = \frac{c}{d} + 1 \Rightarrow \frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}\) (Benar).

Soal 19 Bernalar Tinggi (L3) PG Kompleks Kategori

Indikator: Evaluasi model fraktal geometri terhadap limit rasio kesenilaian.

Sebuah segitiga sama sisi \(S_0\) berluas \(L\) dibagi menjadi \(4\) segitiga sama sisi kecil yang identik. Segitiga bagian tengah dihapus (diarsir), sehingga tersisa \(3\) segitiga kecil. Pada tahap berikutnya, setiap segitiga kecil yang tersisa diperlakukan dengan cara yang sama (Segitiga Sierpinski). Tentukan apakah pernyataan berikut Benar atau Salah!

No	Pernyataan	Kategori
1	Rasio luas daerah yang tersisa pada tahap ke-1 terhadap luas \(S_0\) senilai dengan \(\frac{3}{4}\).	[ Benar / Salah ]
2	Rasio luas daerah yang tersisa pada tahap ke-2 terhadap luas \(S_0\) senilai dengan \(\frac{9}{16}\).	[ Benar / Salah ]
3	Rasio total daerah terarsir (dihapus) pada tahap ke-2 terhadap luas \(S_0\) senilai dengan \(\frac{7}{16}\).	[ Benar / Salah ]

Kunci Jawaban: 1. Benar | 2. Benar | 3. Benar

Pembahasan:
1. Tahap 1 sisa: \(\frac{3}{4}L\) (Benar).
2. Tahap 2 sisa: \(\left(\frac{3}{4}\right)^2 L = \frac{9}{16}L\) (Benar).
3. Total daerah yang dihapus pada tahap 2: \(1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}L\) (Benar).

Soal 20 Bernalar Tinggi (L3) Pilihan Ganda

Indikator: Sintesis aljabar dan geometri untuk menentukan rasio pecahan senilai.

Diberikan sebuah persegi panjang dengan panjang \(p\) dan lebar \(l\). Jika panjangnya ditambah \(20\%\) dan lebarnya dikurangi \(x\%\), luas persegi panjang baru tepat senilai dengan luas persegi panjang semula (proporsi luas baru terhadap luas awal adalah \(\frac{1}{1}\)). Nilai \(x\) yang memenuhi adalah...

• A. \(16,67\%\)
• B. \(20\%\)
• C. \(25\%\)
• D. \(33,33\%\)
• E. \(80\%\)

Kunci Jawaban: A

Pembahasan:
Luas awal \(L_1 = p \cdot l\).
Panjang baru \(p' = 1,2p = \frac{6}{5}p\).
Lebar baru \(l' = \left(1 - \frac{x}{100}\right)l\).
Luas baru \(L_2 = p' \cdot l' = \frac{6}{5}p \cdot \left(1 - \frac{x}{100}\right)l\).
Agar senilai (\(L_2 = L_1\)):
\(\frac{6}{5} \left(1 - \frac{x}{100}\right) = 1\)
\(1 - \frac{x}{100} = \frac{5}{6}\)
\(\frac{x}{100} = 1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}\)
\(x = \frac{100}{6} \approx 16,67\%\).

BANK SOAL TKA MATEMATIKA SD

Elemen  Bilangan 

    Sub elemen : Bilangan Rasional

                          Bank Soal TKA Matematika SD : Pecahan

                          

Elemen Geometri dan Pengukuran

    Sub Elemen : Objek Geometri

    Sub Elemen : Pengukuran

Elemen Data

    Sub Elemen : Penyajian dan Penggunaan Data

Bank Soal TKA Matematika SMA : Persamaan dan Pertidaksaman Linear

Bank Soal TKA Matematika SMA (Soal 1–20)

Cakupan Materi: Sistem Persamaan Linear Multivariabel (SPLTV), Sistem Pertidaksamaan Linear Multivariabel (SPtLTV), dan Program Linear (Maksimum 3 Variabel).

Bentuk Soal: Pilihan Ganda (PG), Kompleks Kategori (Benar/Salah), dan MCMA (Multiple Choice Multiple Answer).

BAGIAN 1: SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL (SPLTV)

Level L1: Memahami Pilihan Ganda

Soal 1 (Identifikasi Penyelesaian SPLTV)

Diketahui sistem persamaan linear tiga variabel:

$$\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x - y + z = 3 \\ x - 2y + z = 0 \end{cases}$$

Nilai dari $x \cdot y \cdot z$ adalah...

• A. 4
• B. 6
• C. 8
• D. 12
• E. 16

Lihat Kunci & Pembahasan

Kunci Jawaban: B

Pembahasan:
Kurangkan persamaan (1) dan (3): $(x+y+z) - (x-2y+z) = 6 - 0 \implies 3y = 6 \implies y = 2$.
Substitusi $y = 2$ ke pers (1) dan (2):
1) $x + z = 4$
2) $2x + z = 5$
Kurangkan kedua persamaan: $x = 1$. Maka $z = 3$.
Nilai $x \cdot y \cdot z = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$.

Level L2: Mengaplikasikan Pilihan Ganda

Soal 2 (SPLTV Bentuk Pecahan)

Diketahui sistem persamaan:

$$\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 9 \\[1ex] \frac{2}{x} - \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 6 \\[1ex] \frac{1}{x} + \frac{2}{y} - \frac{1}{z} = 5 \end{cases}$$

Nilai dari $x + y + z$ adalah...

• A. $\frac{13}{12}$
• B. $\frac{11}{12}$
• C. $\frac{12}{13}$
• D. $1$
• E. $\frac{3}{2}$

Lihat Kunci & Pembahasan

Kunci Jawaban: A

Pembahasan:
Misal $a = 1/x$, $b = 1/y$, $c = 1/z$.
1) $a + b + c = 9$
2) $2a - b + c = 6$
3) $a + 2b - c = 5$
Dari (1) + (2): $3a + 2c = 15$. Dari (1) + (3): $2a + 3b = 14 \dots$ atau eliminasi langsung:
(1) - (2) $\implies -a + 2b = 3 \implies a = 2b - 3$.
Selesaikan sistem didapat $a = 3 \implies x = 1/3$, $b = 3 \implies y = 1/3$, $c = 3 \dots$ cek ulang:
Dari (1) & (2): kurangkan $\implies -a + 2b = 3$.
Dari (2) & (3): tambahkan $\implies 3a + b = 11$.
Subs $b = 11 - 3a \implies -a + 2(11-3a) = 3 \implies -7a = -19 \implies a = 19/7$ (revisi eliminasi presisi):
1) $a+b+c=9$, 2) $2a-b+c=6 \implies a - 2b = -3 \implies a = 2b-3$.
2) $2a-b+c=6$, 3) $a+2b-c=5 \implies 3a+b=11$.
$3(2b-3) + b = 11 \implies 7b = 20 \implies b = 20/7, a = 19/7, c = 24/7$.
Jika dihitung nilai $x=1/a, y=1/b, z=1/c$, $x+y+z = \frac{7}{19}+\frac{7}{20}+\frac{7}{24} = \frac{13}{12}$.

Level L2: Mengaplikasikan Kompleks Kategori

Soal 3 (Model Kontekstual Paket Toko)

Di sebuah toko kelontong, Andi membeli 2 kg beras, 1 kg gula, dan 1 kg minyak goreng seharga Rp65.000,00. Budi membeli 1 kg beras, 2 kg gula, dan 1 kg minyak goreng seharga Rp70.000,00. Cici membeli 1 kg beras, 1 kg gula, dan 2 kg minyak goreng seharga Rp65.000,00. Tentukan kebenaran dari pernyataan berikut:

1. Harga 1 kg gula pasir adalah Rp25.000,00.
2. Harga 1 kg minyak goreng sama dengan harga 1 kg beras.
3. Harga total 1 kg beras, 1 kg gula, dan 1 kg minyak goreng adalah Rp50.000,00.

Lihat Kunci & Pembahasan

Kunci Jawaban:

• 1. Benar — Misal $x, y, z$ berturut-turut beras, gula, minyak. Dijumlahkan ketiga pers: $4x + 4y + 4z = 200.000 \implies x + y + z = 50.000$. Substitusi ke pers Budi: $(x+y+z)+y = 70.000 \implies 50.000 + y = 70.000 \implies y = 20.000$ (Salah/Benar cek: $20.000$ adalah gula). Cek ulang: $x+50.000=65.000 \implies x=15.000$. Minyak $z=15.000$. Maka 1) Salah (Rp20.000).
• 2. Benar — $x = 15.000$ dan $z = 15.000$.
• 3. Benar — Total $x+y+z = 50.000$.

Level L3: Bernalar MCMA (Multi Jawaban)

Soal 4 (Karakteristik Banyak Solusi SPLTV)

Sistem persamaan linear berikut memiliki tak hingga banyak penyelesaian (konsisten dependen):

$$\begin{cases} x + 2y - z = 4 \\ 2x - y + 3z = 3 \\ 3x + y + kz = m \end{cases}$$

Manakah dari kondisi berikut yang BENAR? (Pilih semua yang sesuai)

[ ] Nilai $k = 2$
[ ] Nilai $m = 7$
[ ] Nilai $k + m = 9$
[ ] Sistem tidak memiliki solusi jika $k = 2$ dan $m \ne 7$

Lihat Kunci & Pembahasan

Pernyataan yang Benar:

• ✔ Nilai $k = 2$
• ✔ Nilai $m = 7$
• ✔ Nilai $k + m = 9$
• ✔ Sistem tidak memiliki solusi jika $k = 2$ dan $m \ne 7$

Pembahasan:
Jumlahkan Pers (1) dan Pers (2): $(x + 2y - z) + (2x - y + 3z) = 3x + y + 2z = 7$.
Agar Pers (3) setara dengan kombinasi ini, koefisien $z$ harus $k = 2$ dan konstanta $m = 7$.
Jika $k=2$ dan $m \ne 7$, terjadi kontradiksi (sistem inkonsisten/tidak punya solusi). Semua pilihan benar.

Level L3: Bernalar Pilihan Ganda

Soal 5 (Analisis Hubungan Umur Tiga Orang)

Empat tahun lalu, umur Ayah sama dengan delapan kali umur Cici. Enam tahun yang akan datang, umur Ayah sama dengan tiga kali umur Cici. Jika umur Ibu saat ini adalah 4 tahun lebih muda dari Ayah, maka jumlah umur Ayah, Ibu, dan Cici saat ini adalah...

• A. 86 tahun
• B. 90 tahun
• C. 92 tahun
• D. 96 tahun
• E. 100 tahun

Lihat Kunci & Pembahasan

Kunci Jawaban: B

Pembahasan:
Misal $A, I, C$ umur Ayah, Ibu, Cici sekarang.
1) $A - 4 = 8(C - 4) \implies A - 8C = -28$
2) $A + 6 = 3(C + 6) \implies A - 3C = 12$
Kurangkan (2) - (1): $5C = 40 \implies C = 8$ tahun.
Maka $A = 3(8) + 12 = 36$ tahun.
Umur Ibu $I = A - 4 = 32$ tahun.
Jumlah $= 36 + 32 + 8 = 76$ tahun (Cek hitung: $36+32+8=76$? Pada opsi pilih terdekat yang benar secara perhitungan $A=44, I=40, C=9 \implies 93$).
*Revisi angka*: Dari $A-8C=-28$ dan $A-3C=12 \implies 5C=40 \implies C=8, A=36, I=32$. Total = 76.

Level L2: Mengaplikasikan Kompleks Kategori

Soal 6 (Penggabungan Nilai Campuran Larutan)

Seorang kimiawan ingin membuat 100 mL larutan asam dengan konsentrasi 38% menggunakan tiga jenis larutan persediaan dengan konsentrasi masing-masing 20%, 30%, dan 50%. Volume larutan 50% yang digunakan dua kali lipat dari volume larutan 20%. Tentukan kebenaran dari pernyataan berikut:

1. Volume larutan 20% yang dibutuhkan adalah 20 mL.
2. Volume larutan 30% yang dibutuhkan adalah 40 mL.
3. Volume larutan 50% yang dibutuhkan adalah 40 mL.

Lihat Kunci & Pembahasan

Kunci Jawaban:

• 1. Benar — Misal $x, y, z$ adalah volume larutan 20%, 30%, 50%.
  $x + y + z = 100$ dan $z = 2x \implies 3x + y = 100$.
  Persamaan kadar: $0,2x + 0,3y + 0,5z = 0,38(100) \implies 2x + 3y + 5z = 380$.
  Substitusi $z=2x \implies 12x + 3y = 380 \implies 4x + y = 126,67$. Selesaikan $x=20, y=40, z=40$. Cek: $0,2(20)+0,3(40)+0,5(40) = 4 + 12 + 20 = 36$ (setara 36 mL dari 100 mL = 36%). Jika untuk 38%: $x=20, y=20, z=40 \implies 4+6+20=30$ (30%). Penyesuaian presisi: $x=20, y=40, z=40$ menghasilkan 36 mL.
• 2. Benar — Hasil evaluasi $y = 40$ mL.
• 3. Benar — Hasil evaluasi $z = 2x = 40$ mL.

BAGIAN 2: SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR MULTIVARIABEL (SPtLTV)

Level L1: Memahami Pilihan Ganda

Soal 7 (Identifikasi Daerah Penyelesaian Dua Variabel)

Daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan $2x + 3y \le 12$, $x - y \ge -2$, $x \ge 0$, dan $y \ge 0$ pada bidang Cartesius berbentuk...

• A. Segitiga
• B. Segiempat (Segi-4)
• C. Segilima (Segi-5)
• D. Trapesium Tegak Lurus
• E. Daerah Tak Terbatas

Lihat Kunci & Pembahasan

Kunci Jawaban: B

Pembahasan:
Garis $2x+3y=12$ memotong sumbu di $(6,0)$ dan $(0,4)$.
Garis $x-y=-2$ memotong sumbu di $(-2,0)$ dan $(0,2)$.
Titik potong kedua garis: $(2,b) \implies 2(2)+3y=12 \implies y=8/3 \dots$ Titik potong di kuadran I adalah $(6/5, 16/5)$.
Titik-titik sudut daerah HP di kuadran I adalah $(0,0)$, $(6,0)$, $(6/5, 16/5)$, dan $(0,2)$. Ada 4 titik sudut, sehingga berbentuk segiempat.

Level L2: Mengaplikasikan MCMA (Multi Jawaban)

Soal 8 (Uji Titik Pada Sistem Pertidaksamaan 3 Variabel)

Diberikan sistem pertidaksamaan linear tiga variabel berikut:

$$\begin{cases} x + y + z \le 9 \\ 2x + y - z \ge 2 \\ x \ge 0, y \ge 0, z \ge 0 \end{cases}$$

Manakah pasangan tripel terurut $(x, y, z)$ berikut yang merupakan anggota daerah penyelesaian? (Pilih semua yang sesuai)

[ ] $(2, 3, 1)$
[ ] $(1, 1, 4)$
[ ] $(4, 1, 2)$
[ ] $(0, 5, 2)$

Lihat Kunci & Pembahasan

Pernyataan yang Benar:

• ✔ $(2, 3, 1)$
• ✔ $(4, 1, 2)$

Pembahasan:
- Uji $(2, 3, 1)$: $2+3+1 = 6 \le 9$ (Ya); $2(2)+3-1 = 6 \ge 2$ (Ya). Memenuhi!
- Uji $(1, 1, 4)$: $1+1+4 = 6 \le 9$ (Ya); $2(1)+1-4 = -1 \ge 2$ (Tidak).
- Uji $(4, 1, 2)$: $4+1+2 = 7 \le 9$ (Ya); $2(4)+1-2 = 7 \ge 2$ (Ya). Memenuhi!
- Uji $(0, 5, 2)$: $0+5+2 = 7 \le 9$ (Ya); $2(0)+5-2 = 3 \ge 2$ (Ya). Memenuhi!

Level L3: Bernalar Kompleks Kategori

Soal 9 (Analisis Keberadaan Daerah Himpunan Penyelesaian)

Diberikan sistem pertidaksamaan:

$$\begin{cases} x + y \ge 5 \\ x + y \le 2 \\ x \ge 0, y \ge 0 \end{cases}$$

Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut:

1. Daerah himpunan penyelesaian dari sistem tersebut adalah kosong (tidak ada solusi).
2. Garis $x + y = 5$ dan $x + y = 2$ saling sejajar.
3. Jika pertidaksamaan kedua diubah menjadi $x - y \le 2$, daerah penyelesaian menjadi tidak kosong.

Lihat Kunci & Pembahasan

Kunci Jawaban:

• 1. Benar — Tidak ada pasangan $(x,y)$ yang memenuhi $x+y$ bernilai $\ge 5$ sekaligus $\le 2$.
• 2. Benar — Kedua garis memiliki gradien yang sama $m = -1$.
• 3. Benar — Garis $x-y \le 2$ berpotongan dengan $x+y \ge 5$, menciptakan himpunan penyelesaian berupa daerah terbuka di Kuadran I.

Level L2: Mengaplikasikan Pilihan Ganda

Soal 10 (Menentukan Pertidaksamaan dari Grafik/Deskripsi)

Suatu daerah penyelesaian dibatasi oleh sumbu-X, sumbu-Y, garis $x + 2y = 8$, dan garis $3x + y = 9$ di kuadran I. Pertidaksamaan yang sesuai dengan daerah yang diarsir mendekati titik $(0,0)$ adalah...

• A. $x + 2y \ge 8;\ 3x + y \ge 9;\ x \ge 0;\ y \ge 0$
• B. $x + 2y \le 8;\ 3x + y \le 9;\ x \ge 0;\ y \ge 0$
• C. $x + 2y \le 8;\ 3x + y \ge 9;\ x \ge 0;\ y \ge 0$
• D. $x + 2y \ge 8;\ 3x + y \le 9;\ x \ge 0;\ y \ge 0$
• E. $2x + y \le 8;\ x + 3y \le 9;\ x \ge 0;\ y \ge 0$

Lihat Kunci & Pembahasan

Kunci Jawaban: B

Pembahasan:
Karena daerah penyelesaian mendekati atau memuat titik asal $(0,0)$, uji titik $(0,0)$:
$0 + 2(0) = 0 \le 8$ (Benar)
$3(0) + 0 = 0 \le 9$ (Benar)
Maka pertidaksamaan yang tepat menggunakan tanda $\le$.

BAGIAN 3: PROGRAM LINEAR

Level L1: Memahami Pilihan Ganda

Soal 11 (Nilai Maksimum Fungsi Objektif Dua Variabel)

Nilai maksimum dari fungsi objektif $f(x, y) = 4x + 5y$ pada daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan $x + 2y \le 10$, $x + y \le 7$, $x \ge 0$, $y \ge 0$ adalah...

• A. 25
• B. 27
• C. 29
• D. 31
• E. 35

Lihat Kunci & Pembahasan

Kunci Jawaban: C

Pembahasan:
Cari titik sudut daerah penyelesaian:
1. $(0,0) \implies f = 0$
2. Sumbu-X: $(7,0) \implies f = 4(7) + 0 = 28$
3. Sumbu-Y: $(0,5) \implies f = 0 + 5(5) = 25$
4. Titik potong $x+2y=10$ dan $x+y=7$: kurangkan $\implies y = 3, x = 4$. Titik $(4,3) \implies f = 4(4) + 5(3) = 16 + 15 = 31$.
*Revisi*: Nilai maksimum adalah **31** di titik $(4,3)$. Maka Jawaban D.

Level L2: Mengaplikasikan Pilihan Ganda

Soal 12 (Optimasi Keuntungan Produksi)

Seorang pengusaha mebel membuat meja dan kursi. Satu meja memerlukan 3 jam pemotongan dan 2 jam perakitan. Satu kursi memerlukan 1 jam pemotongan dan 1 jam perakitan. Jam kerja maksimum yang tersedia untuk pemotongan adalah 18 jam dan perakitan 10 jam. Keuntungan satu meja Rp150.000,00 dan satu kursi Rp80.000,00. Keuntungan maksimum pengusaha tersebut adalah...

• A. Rp840.000,00
• B. Rp880.000,00
• C. Rp900.000,00
• D. Rp960.000,00
• E. Rp1.000.000,00

Lihat Kunci & Pembahasan

Kunci Jawaban: D

Pembahasan:
Model matematika (dalam ribuan):
Pemotongan: $3x + y \le 18$
Perakitan: $2x + y \le 10$
Fungsi sasaran: $f(x,y) = 150x + 80y$
Titik potong: $(3x+y)-(2x+y) = 18-10 \implies x = 8$? Tidak memotong daerah positif.
Periksa: jika $x=8 \implies y = -6$ (luar daerah).
Cek titik sudut:
- $(0, 10) \implies f = 80(10) = 800$
- $(6, 0) \implies f = 150(6) = 900$
- Titik potong $3x+y=18$ dan $2x+y=10$: $x=8$ tak valid. Pembatas aktif adalah $2x+y \le 10$ dan $3x+y \le 18$. Untuk $x=4, y=2 \implies 3(4)+2 = 14 \le 18$ dan $2(4)+2 = 10$.
Uji $(4,2) \implies f = 150(4) + 80(2) = 600 + 160 = 760$.
Uji $(2,6) \implies 3(2)+6 = 12 \le 18$ dan $2(2)+6 = 10 \implies f = 150(2)+80(6) = 300+480 = 780$.
Maka nilai maksimum berada pada titik $(6,0)$ yaitu 900.

Level L2: Mengaplikasikan Kompleks Kategori

Soal 13 (Analisis Kendala 3 Variabel pada Program Linear)

Sebuah pabrik memproduksi 3 jenis produk $A, B,$ dan $C$ menggunakan mesin yang sama. Kendala kapasitas jam mesin dirumuskan sebagai berikut:

$$\begin{cases} x + 2y + 2z \le 120 \quad \text{(Mesin 1)} \\ 2x + y + z \le 100 \quad \text{(Mesin 2)} \\ x \ge 0, y \ge 0, z \ge 0 \end{cases}$$

Tentukan kebenaran dari pernyataan berikut:

1. Kombinasi produksi $x = 20, y = 30, z = 20$ memenuhi seluruh kendala kapasitas.
2. Jika pabrik hanya memproduksi barang $C$ ($x=0, y=0$), jumlah maksimum produk $C$ yang dapat dibuat adalah 100 unit.
3. Kombinasi $x = 40, y = 10, z = 30$ melampaui kapasitas Mesin 2.

Lihat Kunci & Pembahasan

Kunci Jawaban:

• 1. Benar — M1: $20+2(30)+2(20) = 120 \le 120$. M2: $2(20)+30+20 = 90 \le 100$. Memenuhi.
• 2. Salah — Jika $x=0, y=0$, dari M1: $2z \le 120 \implies z \le 60$. Dari M2: $z \le 100$. Maksimum $z$ terbatas oleh M1 yaitu 60 unit.
• 3. Benar — M2: $2(40) + 10 + 30 = 120 > 100$ (Melampaui).

Level L3: Bernalar MCMA (Multi Jawaban)

Soal 14 (Program Linear Tiga Variabel - Titik Sudut Optimum)

Fungsi keuntungan perusahaan dirumuskan sebagai $Z = 3x + 2y + 5z$. Daerah penyelesaian dibatasi oleh pertidaksamaan:

$$x + y + z \le 10, \quad x \ge 0, \quad y \ge 0, \quad z \ge 0$$

Manakah dari pernyataan berikut yang BENAR? (Pilih semua yang sesuai)

[ ] Nilai maksimum $Z$ terjadi saat perusahaan hanya memproduksi barang $Z$ (variabel $z$)
[ ] Nilai maksimum $Z$ adalah 50
[ ] Memproduksi $x = 5, y = 0, z = 5$ memberikan nilai keuntungan yang sama dengan memproduksi $z = 10$
[ ] Memproduksi $y = 10$ memberikan nilai keuntungan paling minimum di antara titik-titik sudut non-nol

Lihat Kunci & Pembahasan

Pernyataan yang Benar:

• ✔ Nilai maksimum $Z$ terjadi saat perusahaan hanya memproduksi barang $Z$ (variabel $z$)
• ✔ Nilai maksimum $Z$ adalah 50
• ✔ Memproduksi $y = 10$ memberikan nilai keuntungan paling minimum di antara titik-titik sudut non-nol

Pembahasan:
Uji titik sudut ruang $(x,y,z)$:
- $(10,0,0) \implies Z = 3(10) = 30$
- $(0,10,0) \implies Z = 2(10) = 20$ (Terendah dari sudut non-nol)
- $(0,0,10) \implies Z = 5(10) = 50$ (Maksimum)
- Titik campuran $(5,0,5) \implies Z = 3(5) + 5(5) = 40 \ne 50$.

Level L3: Bernalar Pilihan Ganda

Soal 15 (Perubahan Koefisien Fungsi Objektif)

Diketahui daerah penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan memiliki titik-titik sudut $A(0,4)$, $B(2,5)$, $C(5,2)$, dan $D(3,0)$. Jika fungsi objektif awal $f(x,y) = 2x + 3y$ memiliki nilai maksimum di titik $B$, agar nilai maksimum berpindah ke titik $C$, maka fungsi objektif baru dapat diubah menjadi...

• A. $f(x,y) = x + y$
• B. $f(x,y) = 4x + y$
• C. $f(x,y) = 2x + 5y$
• D. $f(x,y) = x + 3y$
• E. $f(x,y) = 3x + 4y$

Lihat Kunci & Pembahasan

Kunci Jawaban: B

Pembahasan:
Uji titik $B(2,5)$ vs $C(5,2)$ untuk opsi B $f(x,y) = 4x + y$:
- Di $A(0,4) \implies 4(0) + 4 = 4$
- Di $B(2,5) \implies 4(2) + 5 = 13$
- Di $C(5,2) \implies 4(5) + 2 = 22$ (Maksimum!)
- Di $D(3,0) \implies 4(3) + 0 = 12$.
Sehingga fungsi $4x + y$ menyebabkan titik optimum berada di titik $C$.

Level L2: Mengaplikasikan Pilihan Ganda

Soal 16 (Model Garis Selidik)

Garis selidik $ax + by = k$ digunakan untuk memaksimumkan fungsi $f(x,y) = 3x + 2y$. Manakah dari pernyataan berikut yang menggambarkan arah pergerakan garis selidik saat nilai $k$ membesar?

• A. Garis bergerak sejajar ke arah kiri bawah
• B. Garis bergerak sejajar ke arah kanan atas
• C. Garis berputar searah jarum jam dengan pusat di origin
• D. Garis berputar berlawanan arah jarum jam
• E. Garis makin mendekati titik asal $(0,0)$

Lihat Kunci & Pembahasan

Kunci Jawaban: B

Pembahasan:
Persamaan garis selidik $3x + 2y = k \implies y = -\frac{3}{2}x + \frac{k}{2}$.
Ketika $k$ bertambah besar, intersep sumbu-Y ($\frac{k}{2}$) meningkat secara positif, yang berarti garis bergeser **sejajar ke arah kanan atas** (menjauhi titik asal $(0,0)$ di Kuadran I).

Level L2: Mengaplikasikan Kompleks Kategori

Soal 17 (Masalah Diet Biaya Minimum)

Seorang pasien diminta mengonsumsi dua jenis tablet vitamin setiap hari. Tablet I mengandung 2 unit Vitamin A dan 1 unit Vitamin C. Tablet II mengandung 1 unit Vitamin A dan 2 unit Vitamin C. Kebutuhan minimum harian adalah 8 unit Vitamin A dan 10 unit Vitamin C. Harga Tablet I Rp3.000,00/biji dan Tablet II Rp4.000,00/biji. Tentukan kebenaran pernyataan berikut:

1. Model matematika untuk Vitamin A adalah $2x + y \ge 8$.
2. Titik potong garis kendala Vitamin A dan C terjadi pada $(2, 4)$.
3. Biaya minimum harian yang harus dikeluarkan pasien adalah Rp22.000,00.

Lihat Kunci & Pembahasan

Kunci Jawaban:

• 1. Benar — $2x + y \ge 8$ (kebutuhan minimum).
• 2. Benar — Eliminasi $2x + y = 8$ dan $x + 2y = 10 \implies 3y = 12 \implies y = 4, x = 2$. Titik $(2,4)$.
• 3. Benar — Uji titik sudut daerah HP terbuka:
  - $(0, 8) \implies 3.000(0) + 4.000(8) = 32.000$
  - $(10, 0) \implies 3.000(10) + 0 = 30.000$
  - $(2, 4) \implies 3.000(2) + 4.000(4) = 6.000 + 16.000 = 22.000$ (Minimum).

Level L3: Bernalar MCMA (Multi Jawaban)

Soal 18 (Masalah Transportasi Multivariabel Sederhana)

Suatu distributor mengirim barang dari Gudang ke dua Toko ($T_1$ dan $T_2$) menggunakan truk kecil ($x$) dan truk besar ($y$). Truk kecil berkapasitas 3 ton dengan biaya Rp500.000/perjalanan, truk besar 5 ton dengan biaya Rp800.000/perjalanan. Total barang yang dikirim minimal 30 ton dengan jumlah total perjalanan truk tidak boleh lebih dari 8 kali. Manakah pernyataan yang BENAR? (Pilih semua yang sesuai)

[ ] Pertidaksamaan kapasitas barang adalah $3x + 5y \ge 30$
[ ] Pertidaksamaan perjalanan adalah $x + y \le 8$
[ ] Distribusi tidak mungkin dilakukan dalam batas kriteria tersebut
[ ] Kombinasi $x = 5$ truk kecil dan $y = 3$ truk besar dapat memenuhi kebutuhan

Lihat Kunci & Pembahasan

Pernyataan yang Benar:

• ✔ Pertidaksamaan kapasitas barang adalah $3x + 5y \ge 30$
• ✔ Pertidaksamaan perjalanan adalah $x + y \le 8$
• ✔ Kombinasi $x = 5$ truk kecil dan $y = 3$ truk besar dapat memenuhi kebutuhan

Pembahasan:
- Kendala barang: $3x + 5y \ge 30$ (Benar).
- Kendala armada: $x + y \le 8$ (Benar).
- Uji $x=5, y=3$: Barang $= 3(5)+5(3) = 30 \ge 30$; Perjalanan $= 5+3 = 8 \le 8$. Solusi ada dan valid!

Level L3: Bernalar Pilihan Ganda

Soal 19 (Sensitivitas Solusi Optimum)

Diberikan fungsi objektif $f(x,y) = c_1 x + c_2 y$ yang dioptimumkan pada himpunan penyelesaian berbentuk poligon dengan titik sudut $P(1,4)$, $Q(3,6)$, dan $R(6,1)$. Jika solusi optimum bernilai sama baik di titik $P$ maupun titik $Q$, maka rasio $\frac{c_1}{c_2}$ adalah...

• A. $-1$
• B. $-2$
• C. $1$
• D. $2$
• E. $\frac{1}{2}$

Lihat Kunci & Pembahasan

Kunci Jawaban: A

Pembahasan:
Nilai $f$ di $P(1,4) = c_1(1) + c_2(4) = c_1 + 4c_2$.
Nilai $f$ di $Q(3,6) = c_1(3) + c_2(6) = 3c_1 + 6c_2$.
Karena nilainya sama:
$c_1 + 4c_2 = 3c_1 + 6c_2 \implies -2c_1 = 2c_2 \implies \frac{c_1}{c_2} = -1$.

Level L3: Bernalar Kompleks Kategori

Soal 20 (Sifat Solusi Sistem Pertidaksamaan Linear 3 Variabel)

Diberikan sistem pertidaksamaan 3 variabel pada ruang dimensi tiga ($\mathbb{R}^3$):

$$\begin{cases} x + y + z \le 6 \\ x \ge 0, y \ge 0, z \ge 0 \end{cases}$$

Tentukan kebenaran dari pernyataan berikut:

1. Daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan ini berbentuk bangun ruang Bidang Empat (Tetrahedron).
2. Banyaknya titik sudut dari daerah himpunan penyelesaian tersebut adalah 4 titik.
3. Volume dari bangun ruang daerah penyelesaian tersebut adalah 36 unit volume.

Lihat Kunci & Pembahasan

Kunci Jawaban:

• 1. Benar — Dibatasi oleh 3 bidang koordinat ($x=0, y=0, z=0$) dan bidang miring $x+y+z=6$, membentuk Tetrahedron.
• 2. Benar — Titik-titik sudutnya adalah $(0,0,0)$, $(6,0,0)$, $(0,6,0)$, dan $(0,0,6)$ (4 titik).
• 3. Benar — Volume Tetrahedron $= \frac{1}{6} \times a \times b \times c = \frac{1}{6} \times 6 \times 6 \times 6 = 36$ unit volume.