Lab Maya Integral Tentu

Kurikulum Merdeka • Fase F SMA

Simulasi Komputasi & Visualisasi Limit Riemann

MATEMATIKA TINGKAT LANJUT

LAB MAYA INTERAKTIF
INTEGRAL TENTU

Eksplorasi konsep fundamental kalkulus integral, pendekatan geometris Jumlah Riemann, Teorema Dasar Kalkulus, hingga visualisasi partisi luas daerah di bawah kurva secara interaktif dan presisi.

Audio & Animasi Aktif

Pengembang: Ahmad Isro'il, M.Pd

Interactive Definite Integral Visualizer v2.5

INTEGRAL TENTU & JUMLAH RIEMANN FASE F

Media Pembelajaran Interaktif Matematika

Landasan Teoretis: Integral Tentu & Jumlah Riemann

Fase F - Tingkat Lanjut

Integral tentu dari fungsi kontinu f(x) pada interval tertutup [a, b] secara geometris merepresentasikan akumulasi luas neto daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi y = f(x), sumbu-x, serta garis vertikal x = a dan x = b.

Definisi Limit Jumlah Riemann:

∫_a^b f(x) dx = lim_{n → ∞} ∑_i=1ⁿ f(x_i^*) Δx

• Lebar subinterval: Δx = (b - a) / n

• x_i^*: Titik sampel (kiri, kanan, atau tengah)

Teorema Dasar Kalkulus II (Fundamental Theorem of Calculus):

Jika f kontinu pada [a, b] dan F adalah antiturunan dari f sedemikian sehingga F'(x) = f(x), maka:

∫_a^b f(x) dx = [ F(x) ]_a^b = F(b) - F(a)

Intuisi Kunci: Semakin banyak partisi persegi panjang (n → ∞), galat hampiran akan mendekati nol dan nilai jumlah partisi tepat menyamai nilai analitik integral sejati!

4 Metode Aproksimasi Numerik

Jumlah Riemann Kiri (Left Sum) x_i^* = x_i-1

Tinggi tiap persegi panjang diambil dari nilai fungsi pada ujung batas kiri interval.

Jumlah Riemann Kanan (Right Sum) x_i^* = x_i

Tinggi tiap persegi panjang diambil dari nilai fungsi pada ujung batas kanan interval.

Aturan Titik Tengah (Midpoint) x_i^* = (x_i-1+x_i)/2

Tinggi diambil di titik tengah interval. Seringkali memiliki laju konvergensi galat yang lebih cepat.

Aturan Trapesium (Trapezoidal Rule) T_n = (L_n + R_n) / 2

Memanfaatkan trapesium untuk menghubungkan titik kurva secara linier, mereduksi over/under estimate.

Prosedur & Panduan Penyelidikan Laboratorium

Ikuti tahapan eksplorasi saintifik berikut untuk memahami hubungan limit partisi Riemann dengan integral tentu.

Langkah Eksplorasi: 1 - 5

01

Pilih Fungsi Target

Buka tab Simulasi, pilih salah satu preset fungsi matematis seperti kurva kuadratik f(x) = x² atau trigonometrik.

02

Tentukan Batas [a, b]

Geser slider batas bawah a dan batas atas b untuk menentukan daerah domain integral yang ingin dihitung.

03

Pilih Metode Aproksimasi

Ganti metode antara Ujung Kiri, Ujung Kanan, Titik Tengah, atau Trapesium untuk mengamati perbedaan luas partisi.

04

Variasikan Partisi (n)

Mulai dari n = 4, kemudian perbesar secara bertahap atau klik tombol "Animasi Limit n → ∞" untuk melihat konvergensi.

05

Analisis Nilai Galat

Bandingkan nilai hampiran dengan nilai analitik sejati. Catat bagaimana galat absolut mendekati nilai nol saat partisi semakin rapat.

Siap Menguji Pemahaman Anda?

Setelah mencoba prosedur di tab simulasi, kerjakan penyelidikan terarah di tab LKPD Digital untuk memperoleh skor pemahaman Anda.

Tip: Gunakan headphone atau aktifkan speaker untuk mendengarkan umpan balik sonifikasi perubahan partisi secara real-time.

Visualisasi Bidang Kartesius & Partisi f(x) = x²

Hampiran Riemann

Kurva f(x)

x: 0.00 | y: 0.00

Hampiran Riemann (L_n) 2.6667

Integral Eksak (∫_a^b f(x)) 2.6667

Galat Mutlak (|E|) 0.0000

Galat Relatif (%) 0.00%

Panel Kontrol Simulasi

Interaktif

Pilihan Fungsi f(x): f(x) = x² (Parabola Dasar) f(x) = 2x + 1 (Linear) f(x) = -x² + 4 (Parabola Terbalik) f(x) = sin(x) + 1.2 (Trigonometri Positif) f(x) = 0.2x³ - x + 2 (Polinomial Kubik)

Batas Bawah (a): 0.0

Batas Atas (b): 2.0

Panjang Interval (ΔX total): 2.0

Partisi Subinterval (n): 6

n=1 n=25 n=50 n=100

Metode Jumlah Riemann:

LKPD Digital: Uji Konseptual & Eksplorasi Partisi

Jawab pertanyaan investigatif berikut berdasarkan pengamatan Anda di laboratorium maya.

Skor Anda: 0 / 100

1. Pada fungsi kurva naik monoton f(x) = x² untuk x ∈ [0, 2], bagaimanakah hubungan antara Jumlah Riemann Kiri (L_n) dengan nilai integral tentu analitik? Belum Diperiksa

Underestimate (L_n < ∫ f) Overestimate (L_n > ∫ f) Selalu sama persis

2. Hitung nilai eksak analitik dari ∫₀² (2x + 1) dx dengan Teorema Dasar Kalkulus: Belum Diperiksa

Petunjuk: Cari antiturunan F(x) = x² + x, lalu evaluasi F(2) - F(0).

3. Apa yang terjadi terhadap nilai Galat Mutlak (|E|) ketika jumlah partisi subinterval (n) mendekati tak hingga (n → ∞)? Belum Diperiksa

Mendekati 0 (Konvergen) Mendekati ∞ (Divergen) Konstan tak berubah

Periksa jawaban untuk melihat pembahasan dan konfirmasi penilaian.

Rubrik Capaian Pembelajaran (CP)

Elemen: Kalkulus Tingkat Lanjut

Peserta didik mampu memahami konsep integral tentu sebagai limit dari jumlah Riemann dan menerapkan Teorema Dasar Kalkulus untuk menentukan luas daerah bidang datar.

Kriteria Ketercapaian (KKTP):

• Mengidentifikasi hampiran bawah dan atas partisi.
• Menjelaskan dampak peningkatan jumlah n partisi.
• Menghitung luas daerah eksak menggunakan antiturunan.

Simpan hasil catatan Anda di lembar portofolio kelas setelah menyelesaikan modul simulasi ini.

Status Penyelesaian Siap Dikerjakan

Ahmad Isro'il, M.Pd

Ahmad Isro'il, M.Pd

Pendidik & Pengembang Media Pembelajaran

Profil Pengembang & Rekayasa Media

Dedikasi untuk Pembelajaran Matematika yang Bermakna & Interaktif

Laboratorium Maya Interaktif Integral Tentu (Definite Integral & Riemann Sum) ini dirancang secara khusus untuk mendukung pembelajaran matematika tingkat lanjut pada Kurikulum Merdeka Fase F SMA. Melalui visualisasi komputasional real-time, peserta didik dapat mengonstruksi pemahaman intuitif mengenai hubungan antara partisi berhingga menuju konsep limit integral sejati.

Mata Pelajaran & Fase Matematika Tingkat Lanjut - Fase F (Kelas XI/XII SMA)

Topik Bahasan Kalkulus: Jumlah Riemann & Teorema Dasar Kalkulus

Arsitektur Teknologi HTML5 Canvas Engine, Tailwind CSS, Web Audio API

Format Tampilan Rasio Tetap 16:9 Full Screen No-Scroll Experience

Lab Virtual Matematika SMA • 2026

Status Sistem: Siap | Metode Aktif: Riemann Ujung Kiri (L_n)

Resolusi: 16:9 Adaptif | ∫ f(x) dx ≈ ∑ f(x_i)Δx

Pemberitahuan

Matematika Dasar • Modul Pembelajaran

Pertemuan 8: Aplikasi Rasio – Kecepatan, Jarak, Waktu, dan Debit Air

Memahami hubungan perbandingan besaran terhadap satuan waktu dalam kehidupan sehari-hari.

Pada pertemuan sebelumnya, kita telah mempelajari konsep dasar perbandingan (rasio). Pada Pertemuan 8 ini, kita melangkah lebih jauh untuk melihat bagaimana rasio digunakan dalam besaran fisika sehari-hari, terutama yang berkaitan dengan waktu: yaitu Kecepatan (laju perubahan jarak) dan Debit Air (laju aliran volume zat cair).

1. Rasio Jarak terhadap Waktu (Kecepatan)

Kecepatan ($v$) pada dasarnya adalah rasio antara jarak tempuh ($s$) dengan waktu tempuh ($t$). Satuan yang umum digunakan adalah km/jam atau m/detik.

Rumus Utama (Segitiga J-K-W):

• Kecepatan ($v$): $v = \frac{s}{t}$
• Jarak ($s$): $s = v \times t$
• Waktu ($t$): $t = \frac{s}{v}$

Contoh Kasus 1:

Sebuah bus melaju dari Kota A ke Kota B menempuh jarak 180 km dalam waktu 3 jam. Berapakah kecepatan rata-rata bus tersebut?

Penyelesaian:
Diketahui: $s = 180\text{ km}$, $t = 3\text{ jam}$
Ditanya: $v = \dots?$
Jawab: $v = \frac{s}{t} = \frac{180}{3} = \mathbf{60\text{ km/jam}}$.

2. Rasio Volume terhadap Waktu (Debit Air)

Debit ($Q$) adalah perbandingan antara banyaknya volume zat cair ($V$) yang mengalir dengan selang waktu ($t$) yang dibutuhkan. Satuan yang sering dijumpai meliputi liter/menit, liter/detik, atau $m^3/\text{detik}$.

Rumus Utama (Segitiga V-D-W):

• Debit ($Q$): $Q = \frac{V}{t}$
• Volume ($V$): $V = Q \times t$
• Waktu ($t$): $t = \frac{V}{Q}$

💡 Catatan Konversi Penting: $1\text{ liter} = 1\text{ dm}^3 = 1.000\text{ cm}^3 = 1.000\text{ mL}$ • $1\text{ m}^3 = 1.000\text{ liter}$

Contoh Kasus 2:

Sebuah bak mandi memiliki kapasitas 240 liter. Jika bak tersebut diisi menggunakan selang air dengan debit 12 liter/menit, berapa lama waktu yang dibutuhkan hingga penuh?

Penyelesaian:
Diketahui: $V = 240\text{ liter}$, $Q = 12\text{ liter/menit}$
Ditanya: $t = \dots?$
Jawab: $t = \frac{V}{Q} = \frac{240}{12} = \mathbf{20\text{ menit}}$.

3. Tabel Perbandingan Konsep

Aspek	Kecepatan ($v$)	Debit ($Q$)
Definisi	Rasio jarak per satuan waktu	Rasio volume fluida per satuan waktu
Besaran Utama	Jarak ($s$) dan Waktu ($t$)	Volume ($V$) dan Waktu ($t$)
Satuan Umum	km/jam, m/detik	liter/menit, m³/detik
Rumus Pokok	$v = s / t$	$Q = V / t$

✍️ Uji Pemahaman Mandiri

1. Kereta api melaju sejauh 350 km dalam kurun waktu 5 jam. Tentukan kecepatan rata-rata kereta api tersebut.
2. Sebuah keran mampu mengalirkan air sebesar 30 liter dalam waktu 2 menit. Berapakah debit aliran air tersebut dalam satuan liter/detik?

LAIHAN SOAL MATEMATIKA KELAS X PENILAIAN SUMATIF TENGAH SEMESTER

Latihan Soal & Pembahasan Matematika Kelas X

Topik: Eksponen, Bentuk Akar, dan Merasionalkan Penyebut

A. Pilihan Ganda

Nomor 1

Bentuk sederhana dari operasi perkalian \( 3^4 \times 3^3 \) adalah ...

• A. \( 3^7 \)
• B. \( 3^{10} \)
• C. \( 3^{12} \)
• D. \( 9^7 \)
• E. \( 9^{12} \)

Kunci Jawaban: A

Pembahasan:
Sesuai sifat eksponen \( a^m \times a^n = a^{m+n} \):
\( 3^4 \times 3^3 = 3^{4+3} = 3^7 \).

Nomor 2

Hasil dari \( 7^8 : 7^5 \) adalah ...

• A. \( 7^1 \)
• B. \( 7^2 \)
• C. \( 7^3 \)
• D. \( 7^4 \)
• E. \( 7^{13} \)

Kunci Jawaban: C

Pembahasan:
Sesuai sifat eksponen \( a^m : a^n = a^{m-n} \):
\( 7^8 : 7^5 = 7^{8-5} = 7^3 \).

Nomor 3

Bentuk sederhana dari \( (2^3)^5 \) adalah ...

• A. \( 2^8 \)
• B. \( 2^{10} \)
• C. \( 2^{12} \)
• D. \( 2^{15} \)
• E. \( 6^5 \)

Kunci Jawaban: D

Pembahasan:
Sesuai sifat pemangkatan \( (a^m)^n = a^{m \times n} \):
\( (2^3)^5 = 2^{3 \times 5} = 2^{15} \).

Nomor 4

Nilai dari \( 3^{-4} \times 3^6 \) adalah ...

• A. \( \frac{1}{9} \)
• B. \( \frac{1}{3} \)
• C. 3
• D. 6
• E. 9

Kunci Jawaban: E

Pembahasan:
\( 3^{-4} \times 3^6 = 3^{-4+6} = 3^2 = 9 \).

Nomor 5

Bentuk sederhana dari \( \dfrac{p^7 q^5}{p^3 q^2} \) adalah ...

• A. \( p^4 q^3 \)
• B. \( p^3 q^4 \)
• C. \( p^4 q^2 \)
• D. \( p^{10} q^7 \)
• E. \( p^2 q^3 \)

Kunci Jawaban: A

Pembahasan:
\( \dfrac{p^7 q^5}{p^3 q^2} = p^{7-3} q^{5-2} = p^4 q^3 \).

Nomor 6

Bentuk sederhana dari \( \dfrac{x^{-3} y^4}{x^{-6} y^2} \) adalah ...

• A. \( x^{-9} y^2 \)
• B. \( x^{-3} y^2 \)
• C. \( x^3 y \)
• D. \( x^3 y^2 \)
• E. \( x^9 y^2 \)

Kunci Jawaban: D

Pembahasan:
\( x^{(-3) - (-6)} \cdot y^{4 - 2} = x^{-3 + 6} y^2 = x^3 y^2 \).

Nomor 7

Nilai dari \( 27^{\frac{2}{3}} \) adalah ...

• A. 3
• B. 6
• C. 9
• D. 18
• E. 27

Kunci Jawaban: C

Pembahasan:
Ubah 27 menjadi basis prima: \( 27 = 3^3 \).
\( 27^{\frac{2}{3}} = (3^3)^{\frac{2}{3}} = 3^{3 \times \frac{2}{3}} = 3^2 = 9 \).

Nomor 8

Bentuk akar paling sederhana dari \( \sqrt{50} \) adalah ...

• A. \( 2\sqrt{5} \)
• B. \( 5\sqrt{2} \)
• C. \( 25\sqrt{2} \)
• D. \( 5\sqrt{5} \)
• E. \( 10\sqrt{5} \)

Kunci Jawaban: B

Pembahasan:
Cari faktor kuadrat sempurna: \( 50 = 25 \times 2 \).
\( \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2} \).

Nomor 9

Hasil dari \( 2\sqrt{7} + 3\sqrt{28} \) adalah ...

• A. \( 5\sqrt{7} \)
• B. \( 6\sqrt{7} \)
• C. \( 8\sqrt{7} \)
• D. \( 11\sqrt{7} \)
• E. \( 14\sqrt{7} \)

Kunci Jawaban: C

Pembahasan:
Sederhanakan \( \sqrt{28} = \sqrt{4 \times 7} = 2\sqrt{7} \).
Maka: \( 2\sqrt{7} + 3(2\sqrt{7}) = 2\sqrt{7} + 6\sqrt{7} = 8\sqrt{7} \).

Nomor 10

Hasil dari \( \sqrt{18} \times \sqrt{2} \) adalah ...

• A. 4
• B. 6
• C. 8
• D. \( 6\sqrt{2} \)
• E. 36

Kunci Jawaban: B

Pembahasan:
\( \sqrt{18} \times \sqrt{2} = \sqrt{18 \times 2} = \sqrt{36} = 6 \).

Nomor 11

Hasil dari \( (\sqrt{7} + 3)(\sqrt{7} - 3) \) adalah ...

• A. \( -2 \)
• B. 2
• C. \( -1 \)
• D. 16
• E. \( 2\sqrt{7} \)

Kunci Jawaban: A

Pembahasan:
Bentuk selisih kuadrat \( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \):
\( (\sqrt{7})^2 - (3)^2 = 7 - 9 = -2 \).

Nomor 12

Bentuk sederhana dari \( 64^{\frac{1}{2}} \times 32^{-\frac{2}{5}} \) adalah ...

• A. 1
• B. 2
• C. 4
• D. 8
• E. 16

Kunci Jawaban: B

Pembahasan:
\( 64^{\frac{1}{2}} = \sqrt{64} = 8 \).
\( 32^{-\frac{2}{5}} = (2^5)^{-\frac{2}{5}} = 2^{-2} = \frac{1}{4} \).
Hasil kali: \( 8 \times \frac{1}{4} = 2 \).

Nomor 13

Bentuk sederhana dari \( \sqrt{x^6 y^4} \) untuk \( x, y > 0 \) adalah ...

• A. \( x^2 y \)
• B. \( x^3 y^2 \)
• C. \( x^4 y^2 \)
• D. \( x^{12} y^8 \)
• E. \( x^3 y^4 \)

Kunci Jawaban: B

Pembahasan:
\( \sqrt{x^6 y^4} = (x^6 y^4)^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{6}{2}} y^{\frac{4}{2}} = x^3 y^2 \).

Nomor 14

Bentuk rasional dari \( \dfrac{8}{\sqrt{2}} \) adalah ...

• A. \( 2\sqrt{2} \)
• B. \( 4\sqrt{2} \)
• C. \( 6\sqrt{2} \)
• D. \( 8\sqrt{2} \)
• E. 4

Kunci Jawaban: B

Pembahasan:
Kalikan dengan sekawan penyebut:
\( \dfrac{8}{\sqrt{2}} \times \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \dfrac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \).

Nomor 15

Bentuk rasional dari \( \dfrac{6}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} \) adalah ...

• A. \( 2(\sqrt{5} + \sqrt{2}) \)
• B. \( 3(\sqrt{5} + \sqrt{2}) \)
• C. \( 6(\sqrt{5} + \sqrt{2}) \)
• D. \( \sqrt{5} + \sqrt{2} \)
• E. \( 2(\sqrt{5} - \sqrt{2}) \)

Kunci Jawaban: A

Pembahasan:
\( \dfrac{6}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} \times \dfrac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} = \dfrac{6(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{5 - 2} = \dfrac{6(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{3} = 2(\sqrt{5} + \sqrt{2}) \).

Nomor 16

Bentuk rasional dari \( \dfrac{4}{3 - \sqrt{5}} \) adalah ...

• A. \( 3 - \sqrt{5} \)
• B. \( 3 + \sqrt{5} \)
• C. \( 2(3 + \sqrt{5}) \)
• D. \( 4(3 + \sqrt{5}) \)
• E. \( 1 + \sqrt{5} \)

Kunci Jawaban: B

Pembahasan:
\( \dfrac{4}{3 - \sqrt{5}} \times \dfrac{3 + \sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}} = \dfrac{4(3 + \sqrt{5})}{3^2 - (\sqrt{5})^2} = \dfrac{4(3 + \sqrt{5})}{9 - 5} = \dfrac{4(3 + \sqrt{5})}{4} = 3 + \sqrt{5} \).

Nomor 17

Bentuk rasional dari \( \dfrac{12}{\sqrt{6}} \) adalah ...

• A. \( \sqrt{6} \)
• B. \( 2\sqrt{6} \)
• C. \( 3\sqrt{6} \)
• D. \( 4\sqrt{6} \)
• E. \( 6\sqrt{2} \)

Kunci Jawaban: B

Pembahasan:
\( \dfrac{12}{\sqrt{6}} \times \dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \dfrac{12\sqrt{6}}{6} = 2\sqrt{6} \).

Nomor 18

Bentuk rasional dari pecahan \( \dfrac{6}{\sqrt{7} + 1} \) adalah ...

• A. \( \sqrt{7} + 1 \)
• B. \( \sqrt{7} - 1 \)
• C. \( 2(\sqrt{7} - 1) \)
• D. \( 3(\sqrt{7} - 1) \)
• E. \( 6(\sqrt{7} - 1) \)

Kunci Jawaban: B

Pembahasan:
\( \dfrac{6}{\sqrt{7} + 1} \times \dfrac{\sqrt{7} - 1}{\sqrt{7} - 1} = \dfrac{6(\sqrt{7} - 1)}{(\sqrt{7})^2 - 1^2} = \dfrac{6(\sqrt{7} - 1)}{7 - 1} = \dfrac{6(\sqrt{7} - 1)}{6} = \sqrt{7} - 1 \).

Nomor 19

Pengamatan Pembelahan Bakteri

Dalam suatu penelitian di laboratorium, terdapat kultur awal sebanyak 300 sel amuba. Amuba tersebut berkembang biak dengan cara membelah diri menjadi tiga kali lipat setiap 2 jam sekali. Banyak amuba setelah 6 jam masa inkubasi adalah ...

• A. 900 sel
• B. 2.700 sel
• C. 8.100 sel
• D. 12.000 sel
• E. 24.300 sel

Kunci Jawaban: C

Pembahasan:
Banyak periode pembelahan: \( n = \dfrac{6 \text{ jam}}{2 \text{ jam}} = 3 \).
Model pertumbuhan: \( P_n = P_0 \times r^n \)
\( P_3 = 300 \times 3^3 = 300 \times 27 = 8.100 \text{ sel} \).

Nomor 20

Pemasangan Keramik Lapangan Futsal Mini

Sebuah yayasan olahraga membangun lantai lapangan multifungsi berbentuk persegi dengan luas total \( 300\text{ m}^2 \). Panjang sisi lapangan tersebut dalam bentuk akar paling sederhana adalah ...

• A. \( 10\sqrt{3}\text{ m} \)
• B. \( 15\sqrt{2}\text{ m} \)
• C. \( 30\sqrt{3}\text{ m} \)
• D. \( 5\sqrt{6}\text{ m} \)
• E. \( 100\sqrt{3}\text{ m} \)

Kunci Jawaban: A

Pembahasan:
Luas persegi: \( L = s^2 \implies s = \sqrt{L} \).
\( s = \sqrt{300} = \sqrt{100 \times 3} = 10\sqrt{3}\text{ m} \).

B. Pilihan Ganda Kompleks (Jawaban Lebih dari Satu)

Nomor 21

Manakah dari pernyataan-pernyataan eksponen berikut yang bernilai BENAR? (Pilihlah semua yang sesuai)

• [ ] A. \( 3^2 \times 3^5 = 3^7 \)
• [ ] B. \( 6^8 : 6^2 = 6^4 \)
• [ ] C. \( (4^3)^2 = 4^6 \)
• [ ] D. \( 5^{-2} = \dfrac{1}{25} \)
• [ ] E. \( 2^4 \times 2^3 = 4^7 \)

Kunci Jawaban: A, C, dan D

Pembahasan:
• (A) \( 3^{2+5} = 3^7 \) (BENAR)
• (B) \( 6^{8-2} = 6^6 \neq 6^4 \) (SALAH)
• (C) \( 4^{3 \times 2} = 4^6 \) (BENAR)
• (D) \( 5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25} \) (BENAR)
• (E) Basis sama, eksponen dijumlahkan: \( 2^{4+3} = 2^7 \neq 4^7 \) (SALAH)

Nomor 22

Bentuk-bentuk berikut ini yang senilai dengan \( \sqrt{72} \) adalah ... (Pilihlah semua yang sesuai)

• [ ] A. \( 6\sqrt{2} \)
• [ ] B. \( 2\sqrt{18} \)
• [ ] C. \( 3\sqrt{8} \)
• [ ] D. \( 4\sqrt{3} \)
• [ ] E. \( \sqrt{36 \times 2} \)

Kunci Jawaban: A, B, C, dan E

Pembahasan:
• \( \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2} \) (A & E Benar)
• \( 2\sqrt{18} = 2\sqrt{9 \times 2} = 2(3\sqrt{2}) = 6\sqrt{2} \) (B Benar)
• \( 3\sqrt{8} = 3\sqrt{4 \times 2} = 3(2\sqrt{2}) = 6\sqrt{2} \) (C Benar)
• \( 4\sqrt{3} = \sqrt{16 \times 3} = \sqrt{48} \neq \sqrt{72} \) (D Salah)

Nomor 23

Pilihlah seluruh hasil operasi perasionalan penyebut pecahan yang BENAR!

• [ ] A. \( \dfrac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \)
• [ ] B. \( \dfrac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \)
• [ ] C. \( \dfrac{1}{2 - \sqrt{3}} = 2 + \sqrt{3} \)
• [ ] D. \( \dfrac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \sqrt{5} + \sqrt{3} \)
• [ ] E. \( \dfrac{3}{\sqrt{7}} = \dfrac{3\sqrt{7}}{7} \)

Kunci Jawaban: A, B, C, dan E

Pembahasan:
• (A) \( \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \) (Benar)
• (B) \( \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \) (Benar)
• (C) \( \frac{2+\sqrt{3}}{4-3} = 2+\sqrt{3} \) (Benar)
• (D) Sekawan dari penyebut adalah tanda minus: seharusnya \( \frac{2(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{5-3} = \sqrt{5}-\sqrt{3} \) (Salah)
• (E) \( \frac{3\sqrt{7}}{7} \) (Benar)

Nomor 24

Tabungan Berbunga Majemuk

Pak Rahmad mendepositokan modal sebesar Rp2.000.000,00 di bank dengan bunga majemuk sebesar 10% per tahun. Total tabungan setelah \( t \) tahun dimodelkan dengan:

\( M_t = 2.000.000(1,1)^t \)

Manakah pernyataan yang sesuai dengan model keuangan di atas? (Pilih semua yang benar)

• [ ] A. Faktor pengali pertumbuhan tahunan adalah 1,1.
• [ ] B. Total tabungan setelah 1 tahun adalah Rp2.200.000,00.
• [ ] C. Total tabungan setelah 2 tahun adalah Rp2.400.000,00.
• [ ] D. Total tabungan setelah 2 tahun adalah Rp2.420.000,00.
• [ ] E. Tabungan mengalami penurunan nilai dari tahun ke tahun.

Kunci Jawaban: A, B, dan D

Pembahasan:
• (A) Basis eksponen adalah 1,1, mewakili faktor pertumbuhan \( (1 + 0,10) \) (Benar)
• (B) \( M_1 = 2.000.000 \times 1,1 = 2.200.000 \) (Benar)
• (C) Salah karena tidak memperhitungkan bunga majemuk.
• (D) \( M_2 = 2.000.000 \times 1,21 = 2.420.000 \) (Benar)
• (E) Salah, nilai tabungan terus meningkat karena faktor pertumbuhan > 1.

C. Soal Isian & Pemecahan Masalah

Nomor 25

Tentukan nilai kebenaran dari masing-masing pernyataan berikut!

Pernyataan	Benar	Salah
\( 4^3 \times 4^2 = 4^6 \)	◯	◯
\( 5^6 : 5^2 = 5^4 \)	◯	◯
\( 9^{\frac{1}{2}} = 3 \)	◯	◯

Kunci Jawaban:

1. \( 4^3 \times 4^2 = 4^{3+2} = 4^5 \neq 4^6 \) → Salah
2. \( 5^6 : 5^2 = 5^{6-2} = 5^4 \) → Benar
3. \( 9^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3 \) → Benar

Nomor 26

Analisis Bentuk Akar \( \sqrt{108} \)

Berikan tanda centang (✓) pada kolom Sesuai jika pernyataan benar, atau Tidak Sesuai jika salah!

Pernyataan	Sesuai	Tidak Sesuai
Bentuk paling sederhana dari \( \sqrt{108} \) adalah \( 6\sqrt{3} \).	[   ]	[   ]
Jika \( \sqrt{108} \) dibagi dengan \( \sqrt{3} \), hasilnya adalah bilangan ganjil.	[   ]	[   ]
Nilai \( \sqrt{108} \) ekuivalen (senilai) dengan bentuk \( 2\sqrt{27} \).	[   ]	[   ]

Kunci Jawaban:

1. \( \sqrt{108} = \sqrt{36 \times 3} = 6\sqrt{3} \) → Sesuai
2. \( \dfrac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 6 \) (6 merupakan bilangan genap) → Tidak Sesuai
3. \( 2\sqrt{27} = 2\sqrt{9 \times 3} = 2(3\sqrt{3}) = 6\sqrt{3} \) → Sesuai

Nomor 27

Hitunglah nilai eksak dari operasi perpangkatan pecahan berikut:

\( 16^{\frac{3}{4}} = \dots \)

Jawaban: 8

Pembahasan:
Ubah basis 16 menjadi \( 2^4 \):
\( 16^{\frac{3}{4}} = (2^4)^{\frac{3}{4}} = 2^{4 \times \frac{3}{4}} = 2^3 = 8 \).

Nomor 28

Rasionalkan bentuk penyebut berikut ke dalam bentuk akar yang paling sederhana:

\( \dfrac{10}{\sqrt{5}} = \dots \)

Jawaban: \( 2\sqrt{5} \)

Pembahasan:
\( \dfrac{10}{\sqrt{5}} \times \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \dfrac{10\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5} \).

Nomor 29

Desain Lapangan Olahraga Tertutup

Arsitek sedang merancang gelanggang olahraga mini berbentuk persegi panjang. Luas lantai yang direncanakan adalah \( 120\text{ cm}^2 \) pada maket rancangan arsitektur. Lebar denah pada maket dibuat berukuran \( 2\sqrt{6}\text{ cm} \).

Agar karpet lantai yang dipasang sesuai dengan ukuran ruangan, hitunglah panjang ruangan pada maket dalam bentuk akar paling rasional dan sederhana!

Jawaban: \( 10\sqrt{6}\text{ cm} \)

Pembahasan:
Rumus luas persegi panjang: \( \text{Luas} = p \times l \implies p = \dfrac{\text{Luas}}{l} \)

Substitusi nilai yang diketahui:
\( p = \dfrac{120}{2\sqrt{6}} = \dfrac{60}{\sqrt{6}} \)

Rasionalkan bentuk pecahan dengan mengalikan \( \dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} \):
\( p = \dfrac{60}{\sqrt{6}} \times \dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \dfrac{60\sqrt{6}}{6} = 10\sqrt{6}\text{ cm} \).

Jadi, panjang maket ruangan yang harus dihitung adalah \( 10\sqrt{6}\text{ cm} \).