Matematika Dasar • Modul Pembelajaran

Pertemuan 8: Aplikasi Rasio – Kecepatan, Jarak, Waktu, dan Debit Air

Memahami hubungan perbandingan besaran terhadap satuan waktu dalam kehidupan sehari-hari.

Pada pertemuan sebelumnya, kita telah mempelajari konsep dasar perbandingan (rasio). Pada Pertemuan 8 ini, kita melangkah lebih jauh untuk melihat bagaimana rasio digunakan dalam besaran fisika sehari-hari, terutama yang berkaitan dengan waktu: yaitu Kecepatan (laju perubahan jarak) dan Debit Air (laju aliran volume zat cair).

1. Rasio Jarak terhadap Waktu (Kecepatan)

Kecepatan ($v$) pada dasarnya adalah rasio antara jarak tempuh ($s$) dengan waktu tempuh ($t$). Satuan yang umum digunakan adalah km/jam atau m/detik.

Rumus Utama (Segitiga J-K-W):

• Kecepatan ($v$): $v = \frac{s}{t}$
• Jarak ($s$): $s = v \times t$
• Waktu ($t$): $t = \frac{s}{v}$

Contoh Kasus 1:

Sebuah bus melaju dari Kota A ke Kota B menempuh jarak 180 km dalam waktu 3 jam. Berapakah kecepatan rata-rata bus tersebut?

Penyelesaian:
Diketahui: $s = 180\text{ km}$, $t = 3\text{ jam}$
Ditanya: $v = \dots?$
Jawab: $v = \frac{s}{t} = \frac{180}{3} = \mathbf{60\text{ km/jam}}$.

2. Rasio Volume terhadap Waktu (Debit Air)

Debit ($Q$) adalah perbandingan antara banyaknya volume zat cair ($V$) yang mengalir dengan selang waktu ($t$) yang dibutuhkan. Satuan yang sering dijumpai meliputi liter/menit, liter/detik, atau $m^3/\text{detik}$.

Rumus Utama (Segitiga V-D-W):

• Debit ($Q$): $Q = \frac{V}{t}$
• Volume ($V$): $V = Q \times t$
• Waktu ($t$): $t = \frac{V}{Q}$

💡 Catatan Konversi Penting: $1\text{ liter} = 1\text{ dm}^3 = 1.000\text{ cm}^3 = 1.000\text{ mL}$ • $1\text{ m}^3 = 1.000\text{ liter}$

Contoh Kasus 2:

Sebuah bak mandi memiliki kapasitas 240 liter. Jika bak tersebut diisi menggunakan selang air dengan debit 12 liter/menit, berapa lama waktu yang dibutuhkan hingga penuh?

Penyelesaian:
Diketahui: $V = 240\text{ liter}$, $Q = 12\text{ liter/menit}$
Ditanya: $t = \dots?$
Jawab: $t = \frac{V}{Q} = \frac{240}{12} = \mathbf{20\text{ menit}}$.

3. Tabel Perbandingan Konsep

Aspek	Kecepatan ($v$)	Debit ($Q$)
Definisi	Rasio jarak per satuan waktu	Rasio volume fluida per satuan waktu
Besaran Utama	Jarak ($s$) dan Waktu ($t$)	Volume ($V$) dan Waktu ($t$)
Satuan Umum	km/jam, m/detik	liter/menit, m³/detik
Rumus Pokok	$v = s / t$	$Q = V / t$

✍️ Uji Pemahaman Mandiri

1. Kereta api melaju sejauh 350 km dalam kurun waktu 5 jam. Tentukan kecepatan rata-rata kereta api tersebut.
2. Sebuah keran mampu mengalirkan air sebesar 30 liter dalam waktu 2 menit. Berapakah debit aliran air tersebut dalam satuan liter/detik?

LAIHAN SOAL MATEMATIKA KELAS X PENILAIAN SUMATIF TENGAH SEMESTER

Latihan Soal & Pembahasan Matematika Kelas X

Topik: Eksponen, Bentuk Akar, dan Merasionalkan Penyebut

A. Pilihan Ganda

Nomor 1

Bentuk sederhana dari operasi perkalian \( 3^4 \times 3^3 \) adalah ...

• A. \( 3^7 \)
• B. \( 3^{10} \)
• C. \( 3^{12} \)
• D. \( 9^7 \)
• E. \( 9^{12} \)

Kunci Jawaban: A

Pembahasan:
Sesuai sifat eksponen \( a^m \times a^n = a^{m+n} \):
\( 3^4 \times 3^3 = 3^{4+3} = 3^7 \).

Nomor 2

Hasil dari \( 7^8 : 7^5 \) adalah ...

• A. \( 7^1 \)
• B. \( 7^2 \)
• C. \( 7^3 \)
• D. \( 7^4 \)
• E. \( 7^{13} \)

Kunci Jawaban: C

Pembahasan:
Sesuai sifat eksponen \( a^m : a^n = a^{m-n} \):
\( 7^8 : 7^5 = 7^{8-5} = 7^3 \).

Nomor 3

Bentuk sederhana dari \( (2^3)^5 \) adalah ...

• A. \( 2^8 \)
• B. \( 2^{10} \)
• C. \( 2^{12} \)
• D. \( 2^{15} \)
• E. \( 6^5 \)

Kunci Jawaban: D

Pembahasan:
Sesuai sifat pemangkatan \( (a^m)^n = a^{m \times n} \):
\( (2^3)^5 = 2^{3 \times 5} = 2^{15} \).

Nomor 4

Nilai dari \( 3^{-4} \times 3^6 \) adalah ...

• A. \( \frac{1}{9} \)
• B. \( \frac{1}{3} \)
• C. 3
• D. 6
• E. 9

Kunci Jawaban: E

Pembahasan:
\( 3^{-4} \times 3^6 = 3^{-4+6} = 3^2 = 9 \).

Nomor 5

Bentuk sederhana dari \( \dfrac{p^7 q^5}{p^3 q^2} \) adalah ...

• A. \( p^4 q^3 \)
• B. \( p^3 q^4 \)
• C. \( p^4 q^2 \)
• D. \( p^{10} q^7 \)
• E. \( p^2 q^3 \)

Kunci Jawaban: A

Pembahasan:
\( \dfrac{p^7 q^5}{p^3 q^2} = p^{7-3} q^{5-2} = p^4 q^3 \).

Nomor 6

Bentuk sederhana dari \( \dfrac{x^{-3} y^4}{x^{-6} y^2} \) adalah ...

• A. \( x^{-9} y^2 \)
• B. \( x^{-3} y^2 \)
• C. \( x^3 y \)
• D. \( x^3 y^2 \)
• E. \( x^9 y^2 \)

Kunci Jawaban: D

Pembahasan:
\( x^{(-3) - (-6)} \cdot y^{4 - 2} = x^{-3 + 6} y^2 = x^3 y^2 \).

Nomor 7

Nilai dari \( 27^{\frac{2}{3}} \) adalah ...

• A. 3
• B. 6
• C. 9
• D. 18
• E. 27

Kunci Jawaban: C

Pembahasan:
Ubah 27 menjadi basis prima: \( 27 = 3^3 \).
\( 27^{\frac{2}{3}} = (3^3)^{\frac{2}{3}} = 3^{3 \times \frac{2}{3}} = 3^2 = 9 \).

Nomor 8

Bentuk akar paling sederhana dari \( \sqrt{50} \) adalah ...

• A. \( 2\sqrt{5} \)
• B. \( 5\sqrt{2} \)
• C. \( 25\sqrt{2} \)
• D. \( 5\sqrt{5} \)
• E. \( 10\sqrt{5} \)

Kunci Jawaban: B

Pembahasan:
Cari faktor kuadrat sempurna: \( 50 = 25 \times 2 \).
\( \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2} \).

Nomor 9

Hasil dari \( 2\sqrt{7} + 3\sqrt{28} \) adalah ...

• A. \( 5\sqrt{7} \)
• B. \( 6\sqrt{7} \)
• C. \( 8\sqrt{7} \)
• D. \( 11\sqrt{7} \)
• E. \( 14\sqrt{7} \)

Kunci Jawaban: C

Pembahasan:
Sederhanakan \( \sqrt{28} = \sqrt{4 \times 7} = 2\sqrt{7} \).
Maka: \( 2\sqrt{7} + 3(2\sqrt{7}) = 2\sqrt{7} + 6\sqrt{7} = 8\sqrt{7} \).

Nomor 10

Hasil dari \( \sqrt{18} \times \sqrt{2} \) adalah ...

• A. 4
• B. 6
• C. 8
• D. \( 6\sqrt{2} \)
• E. 36

Kunci Jawaban: B

Pembahasan:
\( \sqrt{18} \times \sqrt{2} = \sqrt{18 \times 2} = \sqrt{36} = 6 \).

Nomor 11

Hasil dari \( (\sqrt{7} + 3)(\sqrt{7} - 3) \) adalah ...

• A. \( -2 \)
• B. 2
• C. \( -1 \)
• D. 16
• E. \( 2\sqrt{7} \)

Kunci Jawaban: A

Pembahasan:
Bentuk selisih kuadrat \( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \):
\( (\sqrt{7})^2 - (3)^2 = 7 - 9 = -2 \).

Nomor 12

Bentuk sederhana dari \( 64^{\frac{1}{2}} \times 32^{-\frac{2}{5}} \) adalah ...

• A. 1
• B. 2
• C. 4
• D. 8
• E. 16

Kunci Jawaban: B

Pembahasan:
\( 64^{\frac{1}{2}} = \sqrt{64} = 8 \).
\( 32^{-\frac{2}{5}} = (2^5)^{-\frac{2}{5}} = 2^{-2} = \frac{1}{4} \).
Hasil kali: \( 8 \times \frac{1}{4} = 2 \).

Nomor 13

Bentuk sederhana dari \( \sqrt{x^6 y^4} \) untuk \( x, y > 0 \) adalah ...

• A. \( x^2 y \)
• B. \( x^3 y^2 \)
• C. \( x^4 y^2 \)
• D. \( x^{12} y^8 \)
• E. \( x^3 y^4 \)

Kunci Jawaban: B

Pembahasan:
\( \sqrt{x^6 y^4} = (x^6 y^4)^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{6}{2}} y^{\frac{4}{2}} = x^3 y^2 \).

Nomor 14

Bentuk rasional dari \( \dfrac{8}{\sqrt{2}} \) adalah ...

• A. \( 2\sqrt{2} \)
• B. \( 4\sqrt{2} \)
• C. \( 6\sqrt{2} \)
• D. \( 8\sqrt{2} \)
• E. 4

Kunci Jawaban: B

Pembahasan:
Kalikan dengan sekawan penyebut:
\( \dfrac{8}{\sqrt{2}} \times \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \dfrac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \).

Nomor 15

Bentuk rasional dari \( \dfrac{6}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} \) adalah ...

• A. \( 2(\sqrt{5} + \sqrt{2}) \)
• B. \( 3(\sqrt{5} + \sqrt{2}) \)
• C. \( 6(\sqrt{5} + \sqrt{2}) \)
• D. \( \sqrt{5} + \sqrt{2} \)
• E. \( 2(\sqrt{5} - \sqrt{2}) \)

Kunci Jawaban: A

Pembahasan:
\( \dfrac{6}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} \times \dfrac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} = \dfrac{6(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{5 - 2} = \dfrac{6(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{3} = 2(\sqrt{5} + \sqrt{2}) \).

Nomor 16

Bentuk rasional dari \( \dfrac{4}{3 - \sqrt{5}} \) adalah ...

• A. \( 3 - \sqrt{5} \)
• B. \( 3 + \sqrt{5} \)
• C. \( 2(3 + \sqrt{5}) \)
• D. \( 4(3 + \sqrt{5}) \)
• E. \( 1 + \sqrt{5} \)

Kunci Jawaban: B

Pembahasan:
\( \dfrac{4}{3 - \sqrt{5}} \times \dfrac{3 + \sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}} = \dfrac{4(3 + \sqrt{5})}{3^2 - (\sqrt{5})^2} = \dfrac{4(3 + \sqrt{5})}{9 - 5} = \dfrac{4(3 + \sqrt{5})}{4} = 3 + \sqrt{5} \).

Nomor 17

Bentuk rasional dari \( \dfrac{12}{\sqrt{6}} \) adalah ...

• A. \( \sqrt{6} \)
• B. \( 2\sqrt{6} \)
• C. \( 3\sqrt{6} \)
• D. \( 4\sqrt{6} \)
• E. \( 6\sqrt{2} \)

Kunci Jawaban: B

Pembahasan:
\( \dfrac{12}{\sqrt{6}} \times \dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \dfrac{12\sqrt{6}}{6} = 2\sqrt{6} \).

Nomor 18

Bentuk rasional dari pecahan \( \dfrac{6}{\sqrt{7} + 1} \) adalah ...

• A. \( \sqrt{7} + 1 \)
• B. \( \sqrt{7} - 1 \)
• C. \( 2(\sqrt{7} - 1) \)
• D. \( 3(\sqrt{7} - 1) \)
• E. \( 6(\sqrt{7} - 1) \)

Kunci Jawaban: B

Pembahasan:
\( \dfrac{6}{\sqrt{7} + 1} \times \dfrac{\sqrt{7} - 1}{\sqrt{7} - 1} = \dfrac{6(\sqrt{7} - 1)}{(\sqrt{7})^2 - 1^2} = \dfrac{6(\sqrt{7} - 1)}{7 - 1} = \dfrac{6(\sqrt{7} - 1)}{6} = \sqrt{7} - 1 \).

Nomor 19

Pengamatan Pembelahan Bakteri

Dalam suatu penelitian di laboratorium, terdapat kultur awal sebanyak 300 sel amuba. Amuba tersebut berkembang biak dengan cara membelah diri menjadi tiga kali lipat setiap 2 jam sekali. Banyak amuba setelah 6 jam masa inkubasi adalah ...

• A. 900 sel
• B. 2.700 sel
• C. 8.100 sel
• D. 12.000 sel
• E. 24.300 sel

Kunci Jawaban: C

Pembahasan:
Banyak periode pembelahan: \( n = \dfrac{6 \text{ jam}}{2 \text{ jam}} = 3 \).
Model pertumbuhan: \( P_n = P_0 \times r^n \)
\( P_3 = 300 \times 3^3 = 300 \times 27 = 8.100 \text{ sel} \).

Nomor 20

Pemasangan Keramik Lapangan Futsal Mini

Sebuah yayasan olahraga membangun lantai lapangan multifungsi berbentuk persegi dengan luas total \( 300\text{ m}^2 \). Panjang sisi lapangan tersebut dalam bentuk akar paling sederhana adalah ...

• A. \( 10\sqrt{3}\text{ m} \)
• B. \( 15\sqrt{2}\text{ m} \)
• C. \( 30\sqrt{3}\text{ m} \)
• D. \( 5\sqrt{6}\text{ m} \)
• E. \( 100\sqrt{3}\text{ m} \)

Kunci Jawaban: A

Pembahasan:
Luas persegi: \( L = s^2 \implies s = \sqrt{L} \).
\( s = \sqrt{300} = \sqrt{100 \times 3} = 10\sqrt{3}\text{ m} \).

B. Pilihan Ganda Kompleks (Jawaban Lebih dari Satu)

Nomor 21

Manakah dari pernyataan-pernyataan eksponen berikut yang bernilai BENAR? (Pilihlah semua yang sesuai)

• [ ] A. \( 3^2 \times 3^5 = 3^7 \)
• [ ] B. \( 6^8 : 6^2 = 6^4 \)
• [ ] C. \( (4^3)^2 = 4^6 \)
• [ ] D. \( 5^{-2} = \dfrac{1}{25} \)
• [ ] E. \( 2^4 \times 2^3 = 4^7 \)

Kunci Jawaban: A, C, dan D

Pembahasan:
• (A) \( 3^{2+5} = 3^7 \) (BENAR)
• (B) \( 6^{8-2} = 6^6 \neq 6^4 \) (SALAH)
• (C) \( 4^{3 \times 2} = 4^6 \) (BENAR)
• (D) \( 5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25} \) (BENAR)
• (E) Basis sama, eksponen dijumlahkan: \( 2^{4+3} = 2^7 \neq 4^7 \) (SALAH)

Nomor 22

Bentuk-bentuk berikut ini yang senilai dengan \( \sqrt{72} \) adalah ... (Pilihlah semua yang sesuai)

• [ ] A. \( 6\sqrt{2} \)
• [ ] B. \( 2\sqrt{18} \)
• [ ] C. \( 3\sqrt{8} \)
• [ ] D. \( 4\sqrt{3} \)
• [ ] E. \( \sqrt{36 \times 2} \)

Kunci Jawaban: A, B, C, dan E

Pembahasan:
• \( \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2} \) (A & E Benar)
• \( 2\sqrt{18} = 2\sqrt{9 \times 2} = 2(3\sqrt{2}) = 6\sqrt{2} \) (B Benar)
• \( 3\sqrt{8} = 3\sqrt{4 \times 2} = 3(2\sqrt{2}) = 6\sqrt{2} \) (C Benar)
• \( 4\sqrt{3} = \sqrt{16 \times 3} = \sqrt{48} \neq \sqrt{72} \) (D Salah)

Nomor 23

Pilihlah seluruh hasil operasi perasionalan penyebut pecahan yang BENAR!

• [ ] A. \( \dfrac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \)
• [ ] B. \( \dfrac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \)
• [ ] C. \( \dfrac{1}{2 - \sqrt{3}} = 2 + \sqrt{3} \)
• [ ] D. \( \dfrac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \sqrt{5} + \sqrt{3} \)
• [ ] E. \( \dfrac{3}{\sqrt{7}} = \dfrac{3\sqrt{7}}{7} \)

Kunci Jawaban: A, B, C, dan E

Pembahasan:
• (A) \( \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \) (Benar)
• (B) \( \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \) (Benar)
• (C) \( \frac{2+\sqrt{3}}{4-3} = 2+\sqrt{3} \) (Benar)
• (D) Sekawan dari penyebut adalah tanda minus: seharusnya \( \frac{2(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{5-3} = \sqrt{5}-\sqrt{3} \) (Salah)
• (E) \( \frac{3\sqrt{7}}{7} \) (Benar)

Nomor 24

Tabungan Berbunga Majemuk

Pak Rahmad mendepositokan modal sebesar Rp2.000.000,00 di bank dengan bunga majemuk sebesar 10% per tahun. Total tabungan setelah \( t \) tahun dimodelkan dengan:

\( M_t = 2.000.000(1,1)^t \)

Manakah pernyataan yang sesuai dengan model keuangan di atas? (Pilih semua yang benar)

• [ ] A. Faktor pengali pertumbuhan tahunan adalah 1,1.
• [ ] B. Total tabungan setelah 1 tahun adalah Rp2.200.000,00.
• [ ] C. Total tabungan setelah 2 tahun adalah Rp2.400.000,00.
• [ ] D. Total tabungan setelah 2 tahun adalah Rp2.420.000,00.
• [ ] E. Tabungan mengalami penurunan nilai dari tahun ke tahun.

Kunci Jawaban: A, B, dan D

Pembahasan:
• (A) Basis eksponen adalah 1,1, mewakili faktor pertumbuhan \( (1 + 0,10) \) (Benar)
• (B) \( M_1 = 2.000.000 \times 1,1 = 2.200.000 \) (Benar)
• (C) Salah karena tidak memperhitungkan bunga majemuk.
• (D) \( M_2 = 2.000.000 \times 1,21 = 2.420.000 \) (Benar)
• (E) Salah, nilai tabungan terus meningkat karena faktor pertumbuhan > 1.

C. Soal Isian & Pemecahan Masalah

Nomor 25

Tentukan nilai kebenaran dari masing-masing pernyataan berikut!

Pernyataan	Benar	Salah
\( 4^3 \times 4^2 = 4^6 \)	◯	◯
\( 5^6 : 5^2 = 5^4 \)	◯	◯
\( 9^{\frac{1}{2}} = 3 \)	◯	◯

Kunci Jawaban:

1. \( 4^3 \times 4^2 = 4^{3+2} = 4^5 \neq 4^6 \) → Salah
2. \( 5^6 : 5^2 = 5^{6-2} = 5^4 \) → Benar
3. \( 9^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3 \) → Benar

Nomor 26

Analisis Bentuk Akar \( \sqrt{108} \)

Berikan tanda centang (✓) pada kolom Sesuai jika pernyataan benar, atau Tidak Sesuai jika salah!

Pernyataan	Sesuai	Tidak Sesuai
Bentuk paling sederhana dari \( \sqrt{108} \) adalah \( 6\sqrt{3} \).	[   ]	[   ]
Jika \( \sqrt{108} \) dibagi dengan \( \sqrt{3} \), hasilnya adalah bilangan ganjil.	[   ]	[   ]
Nilai \( \sqrt{108} \) ekuivalen (senilai) dengan bentuk \( 2\sqrt{27} \).	[   ]	[   ]

Kunci Jawaban:

1. \( \sqrt{108} = \sqrt{36 \times 3} = 6\sqrt{3} \) → Sesuai
2. \( \dfrac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 6 \) (6 merupakan bilangan genap) → Tidak Sesuai
3. \( 2\sqrt{27} = 2\sqrt{9 \times 3} = 2(3\sqrt{3}) = 6\sqrt{3} \) → Sesuai

Nomor 27

Hitunglah nilai eksak dari operasi perpangkatan pecahan berikut:

\( 16^{\frac{3}{4}} = \dots \)

Jawaban: 8

Pembahasan:
Ubah basis 16 menjadi \( 2^4 \):
\( 16^{\frac{3}{4}} = (2^4)^{\frac{3}{4}} = 2^{4 \times \frac{3}{4}} = 2^3 = 8 \).

Nomor 28

Rasionalkan bentuk penyebut berikut ke dalam bentuk akar yang paling sederhana:

\( \dfrac{10}{\sqrt{5}} = \dots \)

Jawaban: \( 2\sqrt{5} \)

Pembahasan:
\( \dfrac{10}{\sqrt{5}} \times \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \dfrac{10\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5} \).

Nomor 29

Desain Lapangan Olahraga Tertutup

Arsitek sedang merancang gelanggang olahraga mini berbentuk persegi panjang. Luas lantai yang direncanakan adalah \( 120\text{ cm}^2 \) pada maket rancangan arsitektur. Lebar denah pada maket dibuat berukuran \( 2\sqrt{6}\text{ cm} \).

Agar karpet lantai yang dipasang sesuai dengan ukuran ruangan, hitunglah panjang ruangan pada maket dalam bentuk akar paling rasional dan sederhana!

Jawaban: \( 10\sqrt{6}\text{ cm} \)

Pembahasan:
Rumus luas persegi panjang: \( \text{Luas} = p \times l \implies p = \dfrac{\text{Luas}}{l} \)

Substitusi nilai yang diketahui:
\( p = \dfrac{120}{2\sqrt{6}} = \dfrac{60}{\sqrt{6}} \)

Rasionalkan bentuk pecahan dengan mengalikan \( \dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} \):
\( p = \dfrac{60}{\sqrt{6}} \times \dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \dfrac{60\sqrt{6}}{6} = 10\sqrt{6}\text{ cm} \).

Jadi, panjang maket ruangan yang harus dihitung adalah \( 10\sqrt{6}\text{ cm} \).

Modul Pembelajaran Matematika

Pertemuan 7: Penalaran Rasio, Proporsi, dan Skala dalam Kehidupan Nyata

Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering membandingkan ukuran, memperbesar resep masakan, membaca peta, hingga menghitung efisiensi bahan bakar kendaraan. Semua aktivitas tersebut berakar pada tiga konsep penting: rasio, proporsi, dan skala.

1. Memahami Rasio (Perbandingan)

Rasio adalah perbandingan kuantitatif antara dua atau lebih besaran yang sejenis. Rasio menunjukkan berapa kali suatu nilai memuat nilai lainnya.

Jika besaran pertama adalah $a$ dan besaran kedua adalah $b$ (dengan $b \neq 0$), rasio dapat dinyatakan dalam beberapa cara:

• Bentuk pembagian pecahan: $\frac{a}{b}$
• Bentuk titik dua: $a : b$
• Frasa verbal: "$a$ terhadap $b$"

Catatan Penting: Rasio harus selalu disederhanakan ke bentuk suku-suku terkecil dengan membagi kedua nilai menggunakan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB).

2. Proporsi (Kesetaraan Rasio)

Proporsi adalah pernyataan matematika yang menyatakan bahwa dua rasio bernilai setara atau sama.

$$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \quad \text{atau} \quad a : b = c : d $$

Pada bentuk di atas, berlaku sifat perkalian silang:

$$ a \cdot d = b \cdot c $$

A. Proporsi Senilai (Direct Proportion)

Terjadi ketika peningkatan nilai pada variabel pertama menyebabkan peningkatan proporsional pada variabel kedua, dengan nilai konstanta $k = \frac{y}{x}$.

$$ \frac{x_1}{y_1} = \frac{x_2}{y_2} $$

Contoh: Semakin banyak bensin yang dibeli, semakin besar total biaya yang harus dibayar.

B. Proporsi Berbalik Nilai (Inverse Proportion)

Terjadi ketika peningkatan nilai pada variabel pertama menyebabkan penurunan nilai pada variabel kedua, dengan perkalian variabel konstan $x \cdot y = k$.

$$ x_1 \cdot y_1 = x_2 \cdot y_2 \quad \text{atau} \quad \frac{x_1}{x_2} = \frac{y_2}{y_1} $$

Contoh: Semakin cepat laju kendaraan, semakin sedikit waktu yang dibutuhkan untuk mencapai tujuan.

3. Skala dan Model Reduksi/Perbesaran

Skala merupakan penerapan khusus rasio yang membandingkan ukuran pada gambar (atau model) terhadap ukuran sebenarnya di lapangan:

$$ \text{Skala} = \frac{\text{Ukuran pada Gambar/Peta}}{\text{Ukuran Sebenarnya}} $$

Contoh Kasus Skala:

Skala peta tertulis $1 : 250.000$. Artinya, setiap $1\text{ cm}$ pada peta mewakili $250.000\text{ cm}$ ($2,5\text{ km}$) jarak horizontal sebenarnya di permukaan bumi.

Perbandingan Ringkas

Konsep	Definisi Singkat	Bentuk Matematis	Contoh Nyata
Rasio	Perbandingan dua besaran sejenis	$a : b$	Rasio kopi dan susu = $1 : 2$
Proporsi Senilai	Variabel bertambah bersamaan	$\frac{x_1}{y_1} = \frac{x_2}{y_2}$	Jumlah lembar fotokopi vs biaya
Proporsi Berbalik Nilai	Satu naik, yang lain turun	$x_1 y_1 = x_2 y_2$	Jumlah tukang vs durasi renovasi
Skala	Rasio model terhadap ukuran fisik nyata	$1 : n$	Denah rumah arsitektur $1 : 100$

Latihan Soal dan Pembahasan

Soal 1 (Proporsi Senilai - Bahan Bakar):
Sebuah mobil membutuhkan $4\text{ liter}$ bensin untuk menempuh jarak $64\text{ km}$. Jika pengemudi berencana menempuh perjalanan sejauh $240\text{ km}$, berapa liter bensin yang dibutuhkan mobil tersebut?

Lihat Cara Penyelesaian

Karena jarak bertambah maka bensin juga bertambah, gunakan proporsi senilai:

$$ \frac{4\text{ L}}{64\text{ km}} = \frac{x\text{ L}}{240\text{ km}} $$

Lakukan perkalian silang:

$$ 64 \cdot x = 4 \cdot 240 $$ $$ 64x = 960 $$ $$ x = \frac{960}{64} = 15\text{ liter} $$

Jawaban: Bensin yang dibutuhkan adalah $15\text{ liter}$.

Soal 2 (Proporsi Berbalik Nilai - Waktu Pekerjaan):
Proyek perbaikan jalan diselesaikan oleh $12$ pekerja dalam waktu $20$ hari. Jika kontraktor ingin pekerjaan selesai dalam waktu $15$ hari saja, berapa total pekerja yang harus dikerahkan?

Lihat Cara Penyelesaian

Semakin sedikit hari yang diinginkan, pekerja yang dibutuhkan harus semakin banyak (proporsi berbalik nilai):

$$ x_1 \cdot y_1 = x_2 \cdot y_2 $$ $$ 12 \cdot 20 = x_2 \cdot 15 $$ $$ 240 = 15x_2 $$ $$ x_2 = \frac{240}{15} = 16\text{ orang} $$

Jawaban: Diperlukan total $16\text{ pekerja}$ (atau penambahan $4$ pekerja dari jumlah awal).

Soal 3 (Skala Peta):
Jarak antara Kota P dan Kota Q pada peta berskala $1 : 1.500.000$ adalah $6\text{ cm}$. Berapa jarak sebenarnya antara kedua kota tersebut dalam satuan kilometer?

Lihat Cara Penyelesaian

Gunakan rumus hubungan skala:

$$ \text{Jarak Sebenarnya} = \frac{\text{Jarak pada Peta}}{\text{Skala}} = \text{Jarak pada Peta} \times \text{Faktor Skala} $$ $$ \text{Jarak Sebenarnya} = 6\text{ cm} \times 1.500.000 = 9.000.000\text{ cm} $$

Konversikan satuan $\text{cm}$ ke $\text{km}$ ($1\text{ km} = 100.000\text{ cm}$):

$$ \text{Jarak Sebenarnya} = \frac{9.000.000}{100.000} = 90\text{ km} $$

Jawaban: Jarak sebenarnya antara kedua kota adalah $90\text{ km}$.