Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar

Matematika SMP & SMA

Penjumlahan & Pengurangan Bentuk Akar: Materi, Contoh, dan Latihan Soal

Materi Pembelajaran • Operasi Aljabar Bentuk Akar

1. Konsep Dasar & Rumus Utama

Operasi penjumlahan dan pengurangan pada bentuk akar memiliki konsep yang serupa dengan penjumlahan aljabar suku sejenis (seperti \(2x + 3x = 5x\)).

Syarat Utama: Angka di dalam tanda akar (radikan) harus sama.

Rumus Penjumlahan:
\(a\sqrt{c} + b\sqrt{c} = (a + b)\sqrt{c}\)

Rumus Pengurangan:
\(a\sqrt{c} - b\sqrt{c} = (a - b)\sqrt{c}\)

• \(a\) dan \(b\) adalah koefisien (angka di luar akar).
• \(c\) adalah radikan (angka di dalam akar).
• Jika bentuk akar berbeda (misal: \(\sqrt{2} + \sqrt{3}\)), operasi tidak bisa digabungkan.

2. Menyederhanakan Akar yang Belum Sejenis

Jika angka di dalam akar belum sama, sederhanakan terlebih dahulu dengan memfaktorkannya menjadi perkalian bilangan kuadrat sempurna (\(4, 9, 16, 25, 36, \dots\)) dengan bilangan lain.

Contoh Penyederhanaan:

• \(\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}\)
• \(\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}\)
• \(\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3}\)

3. Latihan Soal & Pembahasan

Uji pemahamanmu dengan mengerjakan 5 latihan soal di bawah ini. Klik "Lihat Pembahasan" untuk mengecek jawabanmu!

1

Hasil sederhana dari \(7\sqrt{5} + 4\sqrt{5} - 3\sqrt{5}\) adalah...

A. \(8\sqrt{5}\)

B. \(7\sqrt{5}\)

C. \(9\sqrt{5}\)

D. \(6\sqrt{5}\)

Lihat Kunci Jawaban & Pembahasan

Jawaban: A

Pembahasan:

Karena seluruh suku sudah memiliki akar yang sejenis (\(\sqrt{5}\)), kita tinggal mengoperasikan angka di depan akarnya:

\(7\sqrt{5} + 4\sqrt{5} - 3\sqrt{5} = (7 + 4 - 3)\sqrt{5} = 8\sqrt{5}\)

2

Hasil dari \(\sqrt{48} + \sqrt{12} - \sqrt{27}\) adalah...

A. \(5\sqrt{3}\)

B. \(4\sqrt{3}\)

C. \(3\sqrt{3}\)

D. \(2\sqrt{3}\)

Lihat Kunci Jawaban & Pembahasan

Jawaban: C

Pembahasan:

Sederhanakan masing-masing bentuk akar ke dalam perkalian berbasis \(\sqrt{3}\):

• \(\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3}\)
• \(\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}\)
• \(\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3}\)

Gabungkan suku-suku tersebut:

\(4\sqrt{3} + 2\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = (4 + 2 - 3)\sqrt{3} = 3\sqrt{3}\)

3

Bentuk sederhana dari \(2\sqrt{50} - 3\sqrt{18} + \sqrt{98}\) adalah...

A. \(8\sqrt{2}\)

B. \(6\sqrt{2}\)

C. \(10\sqrt{2}\)

D. \(4\sqrt{2}\)

Lihat Kunci Jawaban & Pembahasan

Jawaban: A

Pembahasan:

Sederhanakan setiap akar ke dalam basis \(\sqrt{2}\):

• \(2\sqrt{50} = 2\sqrt{25 \times 2} = 2 \times 5\sqrt{2} = 10\sqrt{2}\)
• \(3\sqrt{18} = 3\sqrt{9 \times 2} = 3 \times 3\sqrt{2} = 9\sqrt{2}\)
• \(\sqrt{98} = \sqrt{49 \times 2} = 7\sqrt{2}\)

Hitung hasil akhirnya:

\(10\sqrt{2} - 9\sqrt{2} + 7\sqrt{2} = (10 - 9 + 7)\sqrt{2} = 8\sqrt{2}\)

4

Hasil sederhana dari \(5\sqrt{2} + 3\sqrt{3} - \sqrt{32} + 2\sqrt{27}\) adalah...

A. \(\sqrt{2} + 9\sqrt{3}\)

B. \(9\sqrt{2} + \sqrt{3}\)

C. \(\sqrt{2} + 6\sqrt{3}\)

D. \(2\sqrt{2} + 9\sqrt{3}\)

Lihat Kunci Jawaban & Pembahasan

Jawaban: A

Pembahasan:

Sederhanakan suku yang bisa disederhanakan:

• \(\sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2}\)
• \(2\sqrt{27} = 2\sqrt{9 \times 3} = 2 \times 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}\)

Kelompokkan suku yang memiliki akar sejenis:

\(= (5\sqrt{2} - 4\sqrt{2}) + (3\sqrt{3} + 6\sqrt{3})\)

\(= (5 - 4)\sqrt{2} + (3 + 6)\sqrt{3}\)

\(= \sqrt{2} + 9\sqrt{3}\)

5

Sebuah segitiga memiliki panjang sisi-sisi \(\sqrt{12}\text{ cm}\), \(\sqrt{27}\text{ cm}\), dan \(\sqrt{75}\text{ cm}\). Keliling segitiga tersebut adalah...

A. \(8\sqrt{3}\text{ cm}\)

B. \(10\sqrt{3}\text{ cm}\)

C. \(12\sqrt{3}\text{ cm}\)

D. \(14\sqrt{3}\text{ cm}\)

Lihat Kunci Jawaban & Pembahasan

Jawaban: B

Pembahasan:

\(\text{Keliling Segitiga} = \text{sisi}_1 + \text{sisi}_2 + \text{sisi}_3\)

\(\text{Keliling} = \sqrt{12} + \sqrt{27} + \sqrt{75}\)

Sederhanakan masing-masing akar:

\(= 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} + 5\sqrt{3}\)

\(= (2 + 3 + 5)\sqrt{3} = 10\sqrt{3}\text{ cm}\)

Diposting untuk Pembelajaran Matematika Interaktif • Dibuat dengan HTML, CSS, & MathJax

Bentuk Akar Hots

html_content = """

Matematika SMP & SMA

10 Soal Bentuk Akar Tingkat Menengah - Lanjut + Pembahasan Lengkap

Latihan Soal Matematika • Materi: Operasi, Merasionalkan, & Akar Bersarang

💡 Ringkasan Sifat & Rumus Penting

Untuk menyelesaikan soal-soal tingkat menengah hingga lanjut ini, gunakan sifat-sifat berikut:

• Operasi Aljabar: \(a\sqrt{c} \pm b\sqrt{c} = (a \pm b)\sqrt{c}\)
• Perkalian Sekawan: \((a + \sqrt{b})(a - \sqrt{b}) = a^2 - b\)
• Merasionalkan Penyebut: \(rac{c}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} imes rac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = rac{c(\sqrt{a} - \sqrt{b})}{a - b}\)
• Akar Bersarang: \(\sqrt{(a+b) \pm 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} \pm \sqrt{b}\) (dengan \(a > b\))

1

Hasil sederhana dari \(3\sqrt{12} + 2\sqrt{27} - \sqrt{75}\) adalah...

A. \(7\sqrt{3}\)

B. \(6\sqrt{3}\)

C. \(5\sqrt{3}\)

D. \(8\sqrt{3}\)

Lihat Kunci Jawaban & Pembahasan

Jawaban: A

Pembahasan:

Sederhanakan setiap suku ke bentuk akar sejenis (\(\sqrt{3}\)):

\(3\sqrt{12} = 3\sqrt{4 imes 3} = 3 imes 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3}\)

\(2\sqrt{27} = 2\sqrt{9 imes 3} = 2 imes 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}\)

\(\sqrt{75} = \sqrt{25 imes 3} = 5\sqrt{3}\)

Gabungkan seluruh suku:

\(6\sqrt{3} + 6\sqrt{3} - 5\sqrt{3} = (6 + 6 - 5)\sqrt{3} = 7\sqrt{3}\)

2

Hasil perkalian dari \(2\sqrt{6} imes \sqrt{15}\) adalah...

A. \(6\sqrt{10}\)

B. \(30\sqrt{2}\)

C. \(18\sqrt{5}\)

D. \(10\sqrt{6}\)

Lihat Kunci Jawaban & Pembahasan

Jawaban: A

Pembahasan:

\(2\sqrt{6} imes \sqrt{15} = 2\sqrt{6 imes 15} = 2\sqrt{90}\)

Sederhanakan \(\sqrt{90}\):

\(2\sqrt{90} = 2\sqrt{9 imes 10} = 2 imes 3\sqrt{10} = 6\sqrt{10}\)

3

Hasil dari \((3\sqrt{2} - 2\sqrt{3})(3\sqrt{2} + 2\sqrt{3})\) adalah...

A. \(6\)

B. \(12\)

C. \(18\)

D. \(30\)

Lihat Kunci Jawaban & Pembahasan

Jawaban: A

Pembahasan:

Gunakan rumus selisih kuadrat: \((a - b)(a + b) = a^2 - b^2\)

\(a = 3\sqrt{2} \implies a^2 = (3\sqrt{2})^2 = 9 imes 2 = 18\)

\(b = 2\sqrt{3} \implies b^2 = (2\sqrt{3})^2 = 4 imes 3 = 12\)

Maka: \(18 - 12 = 6\)

4

Hasil penjabaran dari \((2\sqrt{5} - \sqrt{3})^2\) adalah...

A. \(23 - 4\sqrt{15}\)

B. \(17 - 4\sqrt{15}\)

C. \(23 - 2\sqrt{15}\)

D. \(17 + 4\sqrt{15}\)

Lihat Kunci Jawaban & Pembahasan

Jawaban: A

Pembahasan:

Gunakan rumus kuadrat binomial: \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)

\(a^2 = (2\sqrt{5})^2 = 4 imes 5 = 20\)

\(2ab = 2(2\sqrt{5})(\sqrt{3}) = 4\sqrt{15}\)

\(b^2 = (\sqrt{3})^2 = 3\)

Maka: \(20 - 4\sqrt{15} + 3 = 23 - 4\sqrt{15}\)

5

Bentuk rasional penyebut dari \(rac{12}{\sqrt{6}}\) adalah...

A. \(2\sqrt{6}\)

B. \(6\sqrt{2}\)

C. \(3\sqrt{6}\)

D. \(4\sqrt{6}\)

Lihat Kunci Jawaban & Pembahasan

Jawaban: A

Pembahasan:

Kalikan pembilang dan penyebut dengan \(\sqrt{6}\):

\(rac{12}{\sqrt{6}} imes rac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = rac{12\sqrt{6}}{6} = 2\sqrt{6}\)

6

Merasionalkan bentuk \(rac{8}{3 + \sqrt{5}}\) menghasilkan...

A. \(6 - 2\sqrt{5}\)

B. \(6 + 2\sqrt{5}\)

C. \(3 - 2\sqrt{5}\)

D. \(4 - 2\sqrt{5}\)

Lihat Kunci Jawaban & Pembahasan

Jawaban: A

Pembahasan:

Kalikan dengan sekawan penyebutnya yaitu \((3 - \sqrt{5})\):

\(rac{8}{3 + \sqrt{5}} imes rac{3 - \sqrt{5}}{3 - \sqrt{5}} = rac{8(3 - \sqrt{5})}{3^2 - (\sqrt{5})^2}\)

\(= rac{8(3 - \sqrt{5})}{9 - 5} = rac{8(3 - \sqrt{5})}{4} = 2(3 - \sqrt{5}) = 6 - 2\sqrt{5}\)

7

Bentuk sederhana dari \(rac{\sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}\) adalah...

A. \(rac{3 + \sqrt{15}}{2}\)

B. \(rac{3 - \sqrt{15}}{2}\)

C. \(rac{\sqrt{15} - 3}{2}\)

D. \(3 + \sqrt{15}\)

Lihat Kunci Jawaban & Pembahasan

Jawaban: A

Pembahasan:

Kalikan dengan sekawan penyebut yaitu \((\sqrt{5} + \sqrt{3})\):

\(rac{\sqrt{3}(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})} = rac{\sqrt{15} + 3}{5 - 3} = rac{3 + \sqrt{15}}{2}\)

8

Jika \(2^{x + 1} = \sqrt{32}\), maka nilai \(x\) yang memenuhi adalah...

A. \(rac{3}{2}\)

B. \(rac{5}{2}\)

C. \(2\)

D. \(3\)

Lihat Kunci Jawaban & Pembahasan

Jawaban: A

Pembahasan:

Ubah ruas kanan menjadi bentuk eksponen basis 2:

\(\sqrt{32} = \sqrt{2^5} = 2^{rac{5}{2}}\)

Maka persamaannya menjadi:

\(2^{x + 1} = 2^{rac{5}{2}}\)

\(x + 1 = rac{5}{2} \implies x = rac{5}{2} - 1 = rac{3}{2}\)

9

Bentuk sederhana dari akar bersarang \(\sqrt{7 + 2\sqrt{10}}\) adalah...

A. \(\sqrt{5} + \sqrt{2}\)

B. \(\sqrt{5} - \sqrt{2}\)

C. \(\sqrt{7} + \sqrt{10}\)

D. \(5 + \sqrt{2}\)

Lihat Kunci Jawaban & Pembahasan

Jawaban: A

Pembahasan:

Gunakan rumus penyederhanaan akar bersarang: \(\sqrt{(a+b) + 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}\)

Cari dua bilangan \(a\) dan \(b\) sedemikian sehingga:

\(a + b = 7\)

\(a imes b = 10\)

Bilangan yang memenuhi adalah \(a = 5\) dan \(b = 2\).

Sehingga: \(\sqrt{7 + 2\sqrt{10}} = \sqrt{5} + \sqrt{2}\)

10

Sebuah persegi panjang memiliki ukuran panjang \((4 + \sqrt{3}) ext{ cm}\) dan lebar \((4 - \sqrt{3}) ext{ cm}\). Luas persegi panjang tersebut adalah...

A. \(13 ext{ cm}^2\)

B. \(19 ext{ cm}^2\)

C. \(16 ext{ cm}^2\)

D. \(7 ext{ cm}^2\)

Lihat Kunci Jawaban & Pembahasan

Jawaban: A

Pembahasan:

\( ext{Luas} = p imes l\)

\( ext{Luas} = (4 + \sqrt{3})(4 - \sqrt{3})\)

Gunakan bentuk selisih kuadrat \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\):

\( ext{Luas} = 4^2 - (\sqrt{3})^2 = 16 - 3 = 13 ext{ cm}^2\)

Template soal matematika interaktif dengan MathJax & CSS responsif modern. Siap di-copy ke Blogger/WordPress!

""" # Fix common corrupted backslash escapes in math symbols # Form feed \x0c followed by 'rac' -> \frac # Tab \t followed by 'imes' -> \times # Tab \t followed by 'ext' -> \text fixed = html_content.replace('\x0crac', '\\frac').replace('\trag', '\\frac').replace('\times', '\\times').replace('\text', '\\text') # Wait, python string replacement: import re # Let's inspect raw string characters if any: # Replace formfeed + rac fixed = re.sub(r'[\x0c]rac', r'\\frac', html_content) # Replace tab + imes fixed = re.sub(r'\times', r'\\times', fixed) # Replace tab + ext fixed = re.sub(r'\text', r'\\text', fixed) print("Check if any \\frac, \\times, \\text are remaining missing backslashes...") # Check if there are remaining 'rac', 'imes', 'ext' without backslash inside \( ... \) print("Matches for suspicious patterns:") print(re.findall(r'\\?\w*rac', fixed))

Bentuk Akar Sederhana

Matematika SMP & SMA

10 Soal Menyederhanakan Bentuk Akar (Tingkat Dasar) + Pembahasan

Latihan Soal Matematika • Materi: Bentuk Akar (Radikal)

💡 Konsep Dasar Menyederhanakan Akar

Untuk menyederhanakan bentuk akar kuadrat \(\sqrt{N}\), cari faktor perkalian dari \(N\) yang salah satunya merupakan bilangan kuadrat sempurna (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, dst.).

Gunakan sifat: \(\sqrt{a times b} = \sqrt{a} times \sqrt{b}\)

1

Bentuk sederhana dari \(\sqrt{12}\) adalah...

A. \(2\sqrt{3}\)

B. \(3\sqrt{2}\)

C. \(4\sqrt{3}\)

D. \(2\sqrt{6}\)

Lihat Kunci Jawaban & Pembahasan

Jawaban: A

Pembahasan:

\(\sqrt{12} = \sqrt{4 imes 3} = \sqrt{4} imes \sqrt{3} = 2\sqrt{3}\)

2

Bentuk sederhana dari \(\sqrt{18}\) adalah...

A. \(2\sqrt{3}\)

B. \(3\sqrt{2}\)

C. \(9\sqrt{2}\)

D. \(3\sqrt{3}\)

Lihat Kunci Jawaban & Pembahasan

Jawaban: B

Pembahasan:

\(\sqrt{18} = \sqrt{9 imes 2} = \sqrt{9} imes \sqrt{2} = 3\sqrt{2}\)

3

Bentuk sederhana dari \(\sqrt{32}\) adalah...

A. \(2\sqrt{8}\)

B. \(4\sqrt{2}\)

C. \(8\sqrt{2}\)

D. \(4\sqrt{8}\)

Lihat Kunci Jawaban & Pembahasan

Jawaban: B

Pembahasan:

\(\sqrt{32} = \sqrt{16 imes 2} = \sqrt{16} imes \sqrt{2} = 4\sqrt{2}\)

4

Bentuk sederhana dari \(\sqrt{50}\) adalah...

A. \(5\sqrt{2}\)

B. \(2\sqrt{5}\)

C. \(25\sqrt{2}\)

D. \(5\sqrt{5}\)

Lihat Kunci Jawaban & Pembahasan

Jawaban: A

Pembahasan:

\(\sqrt{50} = \sqrt{25 imes 2} = \sqrt{25} imes \sqrt{2} = 5\sqrt{2}\)

5

Bentuk sederhana dari \(\sqrt{75}\) adalah...

A. \(3\sqrt{5}\)

B. \(5\sqrt{3}\)

C. \(15\sqrt{5}\)

D. \(5\sqrt{5}\)

Lihat Kunci Jawaban & Pembahasan

Jawaban: B

Pembahasan:

\(\sqrt{75} = \sqrt{25 imes 3} = \sqrt{25} imes \sqrt{3} = 5\sqrt{3}\)

6

Bentuk sederhana dari \(\sqrt{48}\) adalah...

A. \(4\sqrt{3}\)

B. \(3\sqrt{4}\)

C. \(2\sqrt{12}\)

D. \(16\sqrt{3}\)

Lihat Kunci Jawaban & Pembahasan

Jawaban: A

Pembahasan:

\(\sqrt{48} = \sqrt{16 imes 3} = \sqrt{16} imes \sqrt{3} = 4\sqrt{3}\)

7

Bentuk sederhana dari \(\sqrt{20}\) adalah...

A. \(4\sqrt{5}\)

B. \(2\sqrt{5}\)

C. \(5\sqrt{2}\)

D. \(2\sqrt{10}\)

Lihat Kunci Jawaban & Pembahasan

Jawaban: B

Pembahasan:

\(\sqrt{20} = \sqrt{4 imes 5} = \sqrt{4} imes \sqrt{5} = 2\sqrt{5}\)

8

Bentuk sederhana dari \(\sqrt{72}\) adalah...

A. \(6\sqrt{2}\)

B. \(2\sqrt{6}\)

C. \(3\sqrt{8}\)

D. \(12\sqrt{2}\)

Lihat Kunci Jawaban & Pembahasan

Jawaban: A

Pembahasan:

\(\sqrt{72} = \sqrt{36 imes 2} = \sqrt{36} imes \sqrt{2} = 6\sqrt{2}\)

9

Bentuk sederhana dari \(\sqrt{80}\) adalah...

A. \(4\sqrt{5}\)

B. \(5\sqrt{4}\)

C. \(8\sqrt{10}\)

D. \(2\sqrt{20}\)

Lihat Kunci Jawaban & Pembahasan

Jawaban: A

Pembahasan:

\(\sqrt{80} = \sqrt{16 imes 5} = \sqrt{16} imes \sqrt{5} = 4\sqrt{5}\)

10

Bentuk sederhana dari \(\sqrt{108}\) adalah...

A. \(6\sqrt{3}\)

B. \(3\sqrt{6}\)

C. \(18\sqrt{3}\)

D. \(6\sqrt{6}\)

Lihat Kunci Jawaban & Pembahasan

Jawaban: A

Pembahasan:

\(\sqrt{108} = \sqrt{36 imes 3} = \sqrt{36} imes \sqrt{3} = 6\sqrt{3}\)

high-quality math blog post template with clean CSS & MathJax. Ready to be pasted into WordPress, Blogger, or any custom CMS.