Kumpulan Soal Kontekstual Barisan & Deret Geometri
Latihan Soal Matematika Matematika SMA/SMK Berbasis HOTS (Higher Order Thinking Skills)
BAGIAN I: Pilihan Ganda Biasa
(Soal 1 - 4)
Soal 01
Pilihan Ganda
Sebuah jenis bakteri membelah diri menjadi 2 setiap 20 menit. Jika pada awal pengamatan terdapat 10 bakteri, berapa jumlah bakteri setelah 2 jam?
Soal 02
Pilihan Ganda
Sebuah bola dijatuhkan secara vertikal dari ketinggian 12 meter dan memantul kembali dengan ketinggian \(\frac{3}{4}\) dari tinggi sebelumnya secara berulang. Panjang total lintasan bola sampai berhenti adalah...
Soal 03
Pilihan Ganda
Sebuah mesin produksi dibeli seharga Rp20.000.000,00. Karena penyusutan fungsi, nilai jual mesin tersebut mengalami penurunan sebesar 10% setiap tahun dari harga tahun sebelumnya. Nilai mesin pada akhir tahun ke-3 adalah...
Soal 04
Pilihan Ganda
Seutas tali dipotong menjadi 5 bagian sedemikian rupa sehingga panjang masing-masing potongan membentuk barisan geometri. Jika panjang potongan terpendek adalah 4 cm dan potongan terpanjang adalah 64 cm, maka panjang tali semula sebelum dipotong adalah...
BAGIAN II: Pilihan Ganda Kompleks - Kategori
(Soal 5 - 7)
Soal 05
PGK Kategori
Jumlah penduduk di suatu wilayah perbatasan berkembang mengikuti pola barisan geometri. Pada tahun 2021 (tahun ke-1), jumlah penduduk tercatat 100 jiwa, dan pada tahun 2023 (tahun ke-3) meningkat menjadi 400 jiwa. Berdasarkan informasi tersebut, tentukan apakah setiap pernyataan berikut Benar atau Salah!
| No. | Pernyataan | Benar | Salah |
|---|---|---|---|
| 1 | Rasio pertambahan penduduk per tahun di wilayah tersebut adalah 2. | ||
| 2 | Jumlah penduduk desa pada tahun 2022 adalah 250 jiwa. | ||
| 3 | Pada tahun 2024, jumlah penduduk diprediksi mencapai 800 jiwa. | ||
| 4 | Total akumulasi jumlah penduduk selama 4 tahun (2021–2024) adalah 1.500 jiwa. |
Soal 06
PGK Kategori
Seorang pasien mendapat suntikan obat dengan dosis awal 800 mg. Setiap 4 jam, obat meluruh dan tersisa sebesar 50% dari dosis periode sebelumnya di dalam tubuh. Tentukan kategori Sesuai atau Tidak Sesuai untuk setiap pernyataan berikut!
| No. | Pernyataan | Sesuai | Tidak Sesuai |
|---|---|---|---|
| 1 | Sisa obat di dalam tubuh pasien setelah 8 jam adalah 200 mg. | ||
| 2 | Rasio sisa obat di dalam tubuh setiap periodenya adalah \(\frac{1}{2}\). | ||
| 3 | Setelah 12 jam, dosis obat yang tersisa masih lebih dari 150 mg. | ||
| 4 | Sisa obat pada jam ke-16 setelah penyuntikan adalah 25 mg. |
Soal 07
PGK Kategori
Seorang karyawan baru mendapatkan gaji bulan pertama sebesar Rp4.000.000,00. Kinerjanya yang sangat baik membuat perusahaan memberikan kenaikan gaji berkala sebesar 10% setiap bulan dari gaji bulan sebelumnya selama 4 bulan pertama. Tentukan apakah setiap pernyataan berikut Benar atau Salah!
| No. | Pernyataan | Benar | Salah |
|---|---|---|---|
| 1 | Gaji karyawan tersebut pada bulan kedua adalah Rp4.400.000,00. | ||
| 2 | Kenaikan gaji dari bulan kedua ke bulan ketiga adalah sebesar Rp440.000,00. | ||
| 3 | Gaji karyawan pada bulan ke-4 mencapai lebih dari Rp5.500.000,00. | ||
| 4 | Total pendapatan kumulatif karyawan selama 3 bulan pertama adalah Rp13.240.000,00. |
BAGIAN III: Pilihan Ganda Kompleks - MCMA
(Soal 8 - 10)
Soal 08
MCMA (Jawaban Lebih Dari 1)
Seorang pengusaha mendapatkan keuntungan bisnis tahunan yang membentuk barisan geometri. Pada tahun pertama, ia memperoleh keuntungan sebesar Rp3.000.000,00, sedangkan pada tahun ketiga keuntungannya menjadi Rp12.000.000,00 (dengan rasio bernilai positif).
Pilihlah semua pernyataan yang benar di bawah ini!
Pilihlah semua pernyataan yang benar di bawah ini!
Soal 09
MCMA (Jawaban Lebih Dari 1)
Sebuah bola dipantulkan vertikal dari ketinggian \(H\) meter dan selalu memantul kembali dengan tinggi \(\frac{2}{3}\) dari tinggi sebelumnya hingga bola akhirnya berhenti bergerak.
Manakah dari pernyataan berikut yang benar? (Pilihlah semua jawaban yang sesuai)
Manakah dari pernyataan berikut yang benar? (Pilihlah semua jawaban yang sesuai)
Soal 10
MCMA (Jawaban Lebih Dari 1)
Tarif sewa sebuah tempat usaha mengalami kenaikan bertahap dengan pola geometri setiap 2 tahun sekali. Pada periode 2 tahun pertama, tarif sewa adalah Rp10.000.000,00/tahun. Pada periode 2 tahun kedua, tarif naik menjadi Rp12.000.000,00/tahun.
Pilihlah semua pernyataan yang benar terkait tarif sewa tahunan tersebut!
Pilihlah semua pernyataan yang benar terkait tarif sewa tahunan tersebut!
🔑 Kunci Jawaban & Pembahasan Lengkap
Soal 1
Jawaban: B (640)
Pembahasan:
Suku pertama \(a = 10\), rasio pembelahan \(r = 2\).
Banyaknya periode pembelahan selama 2 jam (120 menit) dengan interval 20 menit adalah \(n = \frac{120}{20} = 6\).
Jumlah bakteri pada periode ke-6 (yang merupakan suku ke-7 barisan) adalah:
\(U_7 = a \cdot r^6 = 10 \cdot 2^6 = 10 \cdot 64 = 640\) bakteri.
Suku pertama \(a = 10\), rasio pembelahan \(r = 2\).
Banyaknya periode pembelahan selama 2 jam (120 menit) dengan interval 20 menit adalah \(n = \frac{120}{20} = 6\).
Jumlah bakteri pada periode ke-6 (yang merupakan suku ke-7 barisan) adalah:
\(U_7 = a \cdot r^6 = 10 \cdot 2^6 = 10 \cdot 64 = 640\) bakteri.
Soal 2
Jawaban: D (84 meter)
Pembahasan:
Tinggi awal \(h = 12\), rasio pantulan \(r = \frac{a}{b} = \frac{3}{4}\).
Menggunakan rumus cepat panjang lintasan bola memantul hingga berhenti:
\(S = h \cdot \left(\frac{b + a}{b - a}\right) = 12 \cdot \left(\frac{4 + 3}{4 - 3}\right) = 12 \cdot 7 = 84\) meter.
Tinggi awal \(h = 12\), rasio pantulan \(r = \frac{a}{b} = \frac{3}{4}\).
Menggunakan rumus cepat panjang lintasan bola memantul hingga berhenti:
\(S = h \cdot \left(\frac{b + a}{b - a}\right) = 12 \cdot \left(\frac{4 + 3}{4 - 3}\right) = 12 \cdot 7 = 84\) meter.
Soal 3
Jawaban: B (Rp14.580.000,00)
Pembahasan:
Harga awal \(a = 20.000.000\), tingkat penyusutan = \(10\%\), sehingga rasio nilai sisa \(r = 1 - 0,10 = 0,9\).
Nilai mesin di akhir tahun ke-3:
\(M_3 = a \cdot r^3 = 20.000.000 \cdot (0,9)^3 = 20.000.000 \cdot 0,729 = \text{Rp}14.580.000,00\).
Harga awal \(a = 20.000.000\), tingkat penyusutan = \(10\%\), sehingga rasio nilai sisa \(r = 1 - 0,10 = 0,9\).
Nilai mesin di akhir tahun ke-3:
\(M_3 = a \cdot r^3 = 20.000.000 \cdot (0,9)^3 = 20.000.000 \cdot 0,729 = \text{Rp}14.580.000,00\).
Soal 4
Jawaban: B (124 cm)
Pembahasan:
Banyak potongan \(n = 5\), potongan terpendek \(a = 4\), potongan terpanjang \(U_5 = 64\).
Mencari rasio \(r\):
\(U_5 = a \cdot r^4 \implies 64 = 4 \cdot r^4 \implies r^4 = 16 \implies r = 2\).
Panjang tali semula (\(S_5\)):
\(S_5 = \frac{a(r^5 - 1)}{r - 1} = \frac{4(2^5 - 1)}{2 - 1} = 4 \cdot (32 - 1) = 4 \cdot 31 = 124\) cm.
Banyak potongan \(n = 5\), potongan terpendek \(a = 4\), potongan terpanjang \(U_5 = 64\).
Mencari rasio \(r\):
\(U_5 = a \cdot r^4 \implies 64 = 4 \cdot r^4 \implies r^4 = 16 \implies r = 2\).
Panjang tali semula (\(S_5\)):
\(S_5 = \frac{a(r^5 - 1)}{r - 1} = \frac{4(2^5 - 1)}{2 - 1} = 4 \cdot (32 - 1) = 4 \cdot 31 = 124\) cm.
Soal 5
Jawaban: 1-Benar, 2-Salah, 3-Benar, 4-Benar
Pembahasan:
Diketahui \(U_1 = a = 100\), \(U_3 = 400\).
- Pernyataan 1: \(U_3 = a \cdot r^2 \implies 400 = 100 \cdot r^2 \implies r^2 = 4 \implies r = 2\). (BENAR)
- Pernyataan 2: Penduduk tahun 2022 (\(U_2\)) = \(a \cdot r = 100 \cdot 2 = 200\) jiwa. (SALAH)
- Pernyataan 3: Penduduk tahun 2024 (\(U_4\)) = \(a \cdot r^3 = 100 \cdot 8 = 800\) jiwa. (BENAR)
- Pernyataan 4: Accumulation (\(S_4\)) = \(100 + 200 + 400 + 800 = 1.500\) jiwa. (BENAR)
Diketahui \(U_1 = a = 100\), \(U_3 = 400\).
- Pernyataan 1: \(U_3 = a \cdot r^2 \implies 400 = 100 \cdot r^2 \implies r^2 = 4 \implies r = 2\). (BENAR)
- Pernyataan 2: Penduduk tahun 2022 (\(U_2\)) = \(a \cdot r = 100 \cdot 2 = 200\) jiwa. (SALAH)
- Pernyataan 3: Penduduk tahun 2024 (\(U_4\)) = \(a \cdot r^3 = 100 \cdot 8 = 800\) jiwa. (BENAR)
- Pernyataan 4: Accumulation (\(S_4\)) = \(100 + 200 + 400 + 800 = 1.500\) jiwa. (BENAR)
Soal 6
Jawaban: 1-Sesuai, 2-Sesuai, 3-Tidak Sesuai, 4-Tidak Sesuai
Pembahasan:
Dosis awal = 800 mg, rasio meluruh \(r = 50\% = 0,5\). Interval meluruh = 4 jam.
- Pernyataan 1: 8 jam = 2 periode (\(n=2\)). Sisa obat = \(800 \cdot (0,5)^2 = 200\) mg. (SESUAI)
- Pernyataan 2: Rasio peluruhan setiap 4 jam adalah \(\frac{1}{2}\). (SESUAI)
- Pernyataan 3: 12 jam = 3 periode (\(n=3\)). Sisa obat = \(800 \cdot (0,5)^3 = 100\) mg (kurang dari 150 mg). (TIDAK SESUAI)
- Pernyataan 4: 16 jam = 4 periode (\(n=4\)). Sisa obat = \(800 \cdot (0,5)^4 = 50\) mg (bukan 25 mg). (TIDAK SESUAI)
Dosis awal = 800 mg, rasio meluruh \(r = 50\% = 0,5\). Interval meluruh = 4 jam.
- Pernyataan 1: 8 jam = 2 periode (\(n=2\)). Sisa obat = \(800 \cdot (0,5)^2 = 200\) mg. (SESUAI)
- Pernyataan 2: Rasio peluruhan setiap 4 jam adalah \(\frac{1}{2}\). (SESUAI)
- Pernyataan 3: 12 jam = 3 periode (\(n=3\)). Sisa obat = \(800 \cdot (0,5)^3 = 100\) mg (kurang dari 150 mg). (TIDAK SESUAI)
- Pernyataan 4: 16 jam = 4 periode (\(n=4\)). Sisa obat = \(800 \cdot (0,5)^4 = 50\) mg (bukan 25 mg). (TIDAK SESUAI)
Soal 7
Jawaban: 1-Benar, 2-Benar, 3-Salah, 4-Benar
Pembahasan:
Gaji bulan ke-1 (\(a\)) = Rp4.000.000,00, rasio (\(r\)) = \(1 + 0,10 = 1,1\).
- Pernyataan 1: Bulan ke-2 (\(U_2\)) = \(4.000.000 \times 1,1 = \text{Rp}4.400.000,00\). (BENAR)
- Pernyataan 2: Bulan ke-3 (\(U_3\)) = \(4.400.000 \times 1,1 = \text{Rp}4.840.000,00\). Kenaikan = \(4.840.000 - 4.400.000 = \text{Rp}440.000,00\). (BENAR)
- Pernyataan 3: Bulan ke-4 (\(U_4\)) = \(4.840.000 \times 1,1 = \text{Rp}5.324.000,00\) (kurang dari Rp5.500.000,00). (SALAH)
- Pernyataan 4: Total 3 bulan (\(S_3\)) = \(4.000.000 + 4.400.000 + 4.840.000 = \text{Rp}13.240.000,00\). (BENAR)
Gaji bulan ke-1 (\(a\)) = Rp4.000.000,00, rasio (\(r\)) = \(1 + 0,10 = 1,1\).
- Pernyataan 1: Bulan ke-2 (\(U_2\)) = \(4.000.000 \times 1,1 = \text{Rp}4.400.000,00\). (BENAR)
- Pernyataan 2: Bulan ke-3 (\(U_3\)) = \(4.400.000 \times 1,1 = \text{Rp}4.840.000,00\). Kenaikan = \(4.840.000 - 4.400.000 = \text{Rp}440.000,00\). (BENAR)
- Pernyataan 3: Bulan ke-4 (\(U_4\)) = \(4.840.000 \times 1,1 = \text{Rp}5.324.000,00\) (kurang dari Rp5.500.000,00). (SALAH)
- Pernyataan 4: Total 3 bulan (\(S_3\)) = \(4.000.000 + 4.400.000 + 4.840.000 = \text{Rp}13.240.000,00\). (BENAR)
Soal 8
Jawaban Benar: A, C, D
Pembahasan:
\(a = 3.000.000\), \(U_3 = 12.000.000\).
\(U_3 = a \cdot r^2 \implies 12 = 3 \cdot r^2 \implies r^2 = 4 \implies r = 2\).
- A. Benar, rasionya adalah 2.
- B. Salah, keuntungan tahun ke-2 (\(U_2\)) = \(3.000.000 \cdot 2 = \text{Rp}6.000.000,00\).
- C. Benar, keuntungan tahun ke-4 (\(U_4\)) = \(12.000.000 \cdot 2 = \text{Rp}24.000.000,00\).
- D. Benar, total 4 tahun (\(S_4\)) = \(3 + 6 + 12 + 24 = \text{Rp}45.000.000,00\).
- E. Salah, selisih \(U_3 - U_1 = 12.000.000 - 3.000.000 = \text{Rp}9.000.000,00\).
\(a = 3.000.000\), \(U_3 = 12.000.000\).
\(U_3 = a \cdot r^2 \implies 12 = 3 \cdot r^2 \implies r^2 = 4 \implies r = 2\).
- A. Benar, rasionya adalah 2.
- B. Salah, keuntungan tahun ke-2 (\(U_2\)) = \(3.000.000 \cdot 2 = \text{Rp}6.000.000,00\).
- C. Benar, keuntungan tahun ke-4 (\(U_4\)) = \(12.000.000 \cdot 2 = \text{Rp}24.000.000,00\).
- D. Benar, total 4 tahun (\(S_4\)) = \(3 + 6 + 12 + 24 = \text{Rp}45.000.000,00\).
- E. Salah, selisih \(U_3 - U_1 = 12.000.000 - 3.000.000 = \text{Rp}9.000.000,00\).
Soal 9
Jawaban Benar: A, B, D
Pembahasan:
- A. Benar, karena rasio \(r = \frac{2}{3}\) berada pada kisaran \(-1 < r < 1\), deret ini konvergen.
- B. Benar, panjang lintasan total \(S_\infty = H \cdot \frac{3+2}{3-2} = 5H\).
- C. Salah, pantulan ke-1 = \(\frac{2}{3}H\), pantulan ke-2 = \(\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3}H = \frac{4}{9}H\).
- D. Benar, lintasan turun adalah deret geometri tak hingga dengan suku pertama \(H\) dan rasio \(\frac{2}{3}\): \(S_{\text{turun}} = \frac{H}{1 - 2/3} = 3H\).
- E. Salah, secara teoritis matematik bola memantul hingga tak hingga kali.
- A. Benar, karena rasio \(r = \frac{2}{3}\) berada pada kisaran \(-1 < r < 1\), deret ini konvergen.
- B. Benar, panjang lintasan total \(S_\infty = H \cdot \frac{3+2}{3-2} = 5H\).
- C. Salah, pantulan ke-1 = \(\frac{2}{3}H\), pantulan ke-2 = \(\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3}H = \frac{4}{9}H\).
- D. Benar, lintasan turun adalah deret geometri tak hingga dengan suku pertama \(H\) dan rasio \(\frac{2}{3}\): \(S_{\text{turun}} = \frac{H}{1 - 2/3} = 3H\).
- E. Salah, secara teoritis matematik bola memantul hingga tak hingga kali.
Soal 10
Jawaban Benar: A, B, D
Pembahasan:
Sewa Periode 1 (\(U_1\)) = Rp10.000.000,00.
Sewa Periode 2 (\(U_2\)) = Rp12.000.000,00.
- A. Benar, rasio \(r = \frac{U_2}{U_1} = \frac{12.000.000}{10.000.000} = 1,2\).
- B. Benar, kenaikan = \(1,2 - 1 = 0,2 = 20\%\).
- C & D. (D Benar), Sewa Periode 3 (\(U_3\)) = \(12.000.000 \times 1,2 = \text{Rp}14.400.000,00\).
- E. Salah, tarif sewa selalu mengalami kenaikan.
Sewa Periode 1 (\(U_1\)) = Rp10.000.000,00.
Sewa Periode 2 (\(U_2\)) = Rp12.000.000,00.
- A. Benar, rasio \(r = \frac{U_2}{U_1} = \frac{12.000.000}{10.000.000} = 1,2\).
- B. Benar, kenaikan = \(1,2 - 1 = 0,2 = 20\%\).
- C & D. (D Benar), Sewa Periode 3 (\(U_3\)) = \(12.000.000 \times 1,2 = \text{Rp}14.400.000,00\).
- E. Salah, tarif sewa selalu mengalami kenaikan.
No comments:
Post a Comment
Note: Only a member of this blog may post a comment.