BANK SOAL MATEMATIKA TRIGONOMETRI
Materi: Menentukan Perbandingan Trigonometri dari Perbandingan Lainnya
Indikator Soal:
- Menentukan nilai perbandingan trigonometri jika diketahui nilai perbandingan trigonometri lainnya pada sudut lancip (Kuadran I).
- Menentukan nilai perbandingan trigonometri pada sudut berelasi/berada di berbagai kuadran (Kuadran II, III, dan IV).
- Penerapan konsep perbandingan trigonometri dalam konteks geometri dan kehidupan sehari-hari.
Pilihan Ganda (PG)
1. Perhatikan segitiga siku-siku di atas. Diketahui nilai $\sin \theta = \frac{3}{5}$ dengan $\theta$ merupakan sudut lancip. Nilai dari $\tan \theta + \cos \theta$ adalah ...
Kunci Jawaban: A
Pembahasan:
Diketahui $\sin \theta = \frac{\text{depan}}{\text{miring}} = \frac{3}{5}$.
Maka sisi depan $= 3$ dan sisi miring $= 5$.
Sisi samping $= \sqrt{\text{miring}^2 - \text{depan}^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$.
Dengan demikian:
- $\cos \theta = \frac{\text{samping}}{\text{miring}} = \frac{4}{5}$
- $\tan \theta = \frac{\text{depan}}{\text{samping}} = \frac{3}{4}$
Maka, $\tan \theta + \cos \theta = \frac{3}{4} + \frac{4}{5} = \frac{15 + 16}{20} = \frac{31}{20}$.
Pembahasan:
Diketahui $\sin \theta = \frac{\text{depan}}{\text{miring}} = \frac{3}{5}$.
Maka sisi depan $= 3$ dan sisi miring $= 5$.
Sisi samping $= \sqrt{\text{miring}^2 - \text{depan}^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$.
Dengan demikian:
- $\cos \theta = \frac{\text{samping}}{\text{miring}} = \frac{4}{5}$
- $\tan \theta = \frac{\text{depan}}{\text{samping}} = \frac{3}{4}$
Maka, $\tan \theta + \cos \theta = \frac{3}{4} + \frac{4}{5} = \frac{15 + 16}{20} = \frac{31}{20}$.
Pilihan Ganda (PG)
2. Sudut $\alpha$ terletak pada Kuadran II seperti ditunjukkan pada diagram Kartesius di atas. Jika diketahui $\cos \alpha = -\frac{12}{13}$, maka nilai dari $\csc \alpha \cdot \tan \alpha$ adalah ...
Kunci Jawaban: A
Pembahasan:
Pada Kuadran II ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$):
- Nilai $x$ negatif, $y$ positif, dan $r$ selalu positif.
- $\cos \alpha = \frac{x}{r} = -\frac{12}{13} \implies x = -12, r = 13$.
- $y = \sqrt{r^2 - x^2} = \sqrt{13^2 - (-12)^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5$ (karena di Kuadran II, $y > 0$).
Perbandingan trigonometri lainnya:
- $\sin \alpha = \frac{y}{r} = \frac{5}{13} \implies \csc \alpha = \frac{1}{\sin \alpha} = \frac{13}{5}$
- $\tan \alpha = \frac{y}{x} = -\frac{5}{12}$
Maka: $\csc \alpha \cdot \tan \alpha = \frac{13}{5} \times \left(-\frac{5}{12}\right) = -\frac{13}{12}$.
(Catatan Singkat: $\csc \alpha \cdot \tan \alpha = \frac{1}{\sin \alpha} \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{1}{\cos \alpha} = \sec \alpha = -\frac{13}{12}$).
Pembahasan:
Pada Kuadran II ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$):
- Nilai $x$ negatif, $y$ positif, dan $r$ selalu positif.
- $\cos \alpha = \frac{x}{r} = -\frac{12}{13} \implies x = -12, r = 13$.
- $y = \sqrt{r^2 - x^2} = \sqrt{13^2 - (-12)^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5$ (karena di Kuadran II, $y > 0$).
Perbandingan trigonometri lainnya:
- $\sin \alpha = \frac{y}{r} = \frac{5}{13} \implies \csc \alpha = \frac{1}{\sin \alpha} = \frac{13}{5}$
- $\tan \alpha = \frac{y}{x} = -\frac{5}{12}$
Maka: $\csc \alpha \cdot \tan \alpha = \frac{13}{5} \times \left(-\frac{5}{12}\right) = -\frac{13}{12}$.
(Catatan Singkat: $\csc \alpha \cdot \tan \alpha = \frac{1}{\sin \alpha} \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{1}{\cos \alpha} = \sec \alpha = -\frac{13}{12}$).
PGK MCMA (Pilihan Lebih dari Satu)
3. Diberikan sudut lancip $\theta$ dengan nilai $\tan \theta = \frac{4}{3}$ seperti ditunjukkan pada segitiga di atas. Manakah dari pernyataan perbandingan trigonometri berikut yang **BENAR**? (Pilihlah semua jawaban yang benar)
Kunci Jawaban: A, B, C, D, E (Semua Benar)
Pembahasan:
Dari $\tan \theta = \frac{4}{3} \implies \text{depan} = 4, \text{samping} = 3$.
$\text{miring} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$.
- A: $\sin \theta = \frac{4}{5}$ (Benar)
- B: $\cos \theta = \frac{3}{5}$ (Benar)
- C: $\sin^2 \theta - \cos^2 \theta = \left(\frac{4}{5}\right)^2 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{16}{25} - \frac{9}{25} = \frac{7}{25}$ (Benar)
- D: $\frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} = \frac{4/5}{1 + 3/5} = \frac{4/5}{8/5} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ (Benar)
- E: $\sec \theta = \frac{5}{3}$ dan $\csc \theta = \frac{5}{4} \implies \sec \theta + \csc \theta = \frac{5}{3} + \frac{5}{4} = \frac{20 + 15}{12} = \frac{35}{12}$ (Benar).
Pembahasan:
Dari $\tan \theta = \frac{4}{3} \implies \text{depan} = 4, \text{samping} = 3$.
$\text{miring} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$.
- A: $\sin \theta = \frac{4}{5}$ (Benar)
- B: $\cos \theta = \frac{3}{5}$ (Benar)
- C: $\sin^2 \theta - \cos^2 \theta = \left(\frac{4}{5}\right)^2 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{16}{25} - \frac{9}{25} = \frac{7}{25}$ (Benar)
- D: $\frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} = \frac{4/5}{1 + 3/5} = \frac{4/5}{8/5} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ (Benar)
- E: $\sec \theta = \frac{5}{3}$ dan $\csc \theta = \frac{5}{4} \implies \sec \theta + \csc \theta = \frac{5}{3} + \frac{5}{4} = \frac{20 + 15}{12} = \frac{35}{12}$ (Benar).
PGK Kategori (Benar / Salah)
4. Titik $Q(-8, -15)$ berada di terminal sudut $\beta$ pada Kuadran III seperti pada gambar di atas. Tentukan apakah pernyataan nilai perbandingan trigonometri berikut **BENAR** atau **SALAH**!
| Pernyataan Perbandingan Trigonometri Sudut $\beta$ | Benar | Salah |
|---|---|---|
| Nilai dari $\sin \beta$ adalah $-\frac{15}{17}$. | ||
| Nilai dari $\tan \beta$ bernilai negatif karena berada di Kuadran III. | ||
| Nilai dari $\sec \beta + \tan \beta$ adalah $-\frac{1}{4}$. |
Kunci Jawaban:
1. Benar ($x = -8, y = -15 \implies r = \sqrt{(-8)^2 + (-15)^2} = \sqrt{64 + 225} = 17$. Maka $\sin \beta = \frac{y}{r} = -\frac{15}{17}$)
2. Salah (Di Kuadran III, $x < 0$ dan $y < 0$, sehingga $\tan \beta = \frac{y}{x} = \frac{-15}{-8} = +\frac{15}{8}$ bernilai positif)
3. Benar ($\sec \beta = \frac{r}{x} = -\frac{17}{8}$ dan $\tan \beta = \frac{15}{8} \implies \sec \beta + \tan \beta = -\frac{17}{8} + \frac{15}{8} = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4}$)
1. Benar ($x = -8, y = -15 \implies r = \sqrt{(-8)^2 + (-15)^2} = \sqrt{64 + 225} = 17$. Maka $\sin \beta = \frac{y}{r} = -\frac{15}{17}$)
2. Salah (Di Kuadran III, $x < 0$ dan $y < 0$, sehingga $\tan \beta = \frac{y}{x} = \frac{-15}{-8} = +\frac{15}{8}$ bernilai positif)
3. Benar ($\sec \beta = \frac{r}{x} = -\frac{17}{8}$ dan $\tan \beta = \frac{15}{8} \implies \sec \beta + \tan \beta = -\frac{17}{8} + \frac{15}{8} = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4}$)
Pilihan Ganda (PG)
5. Sebuah jalan bukit yang menanjak memiliki kemiringan sudut $\alpha$ terhadap bidang horizontal. Diketahui nilai sinus dari sudut kemiringan tersebut adalah $\sin \alpha = \frac{7}{25}$. Nilai dari ekspresi $\frac{1 - \cos \alpha}{\tan \alpha}$ adalah ...
Kunci Jawaban: A
Pembahasan:
Dari $\sin \alpha = \frac{7}{25} \implies \text{depan} = 7, \text{miring} = 25$.
$\text{samping} = \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{625 - 49} = \sqrt{576} = 24$.
Maka diperoleh:
- $\cos \alpha = \frac{\text{samping}}{\text{miring}} = \frac{24}{25}$
- $\tan \alpha = \frac{\text{depan}}{\text{samping}} = \frac{7}{24}$
Substitusi ke ekspresi:
$$\frac{1 - \cos \alpha}{\tan \alpha} = \frac{1 - \frac{24}{25}}{\frac{7}{24}} = \frac{\frac{1}{25}}{\frac{7}{24}} = \frac{1}{25} \times \frac{24}{7} = \frac{24}{175}$$
Pembahasan:
Dari $\sin \alpha = \frac{7}{25} \implies \text{depan} = 7, \text{miring} = 25$.
$\text{samping} = \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{625 - 49} = \sqrt{576} = 24$.
Maka diperoleh:
- $\cos \alpha = \frac{\text{samping}}{\text{miring}} = \frac{24}{25}$
- $\tan \alpha = \frac{\text{depan}}{\text{samping}} = \frac{7}{24}$
Substitusi ke ekspresi:
$$\frac{1 - \cos \alpha}{\tan \alpha} = \frac{1 - \frac{24}{25}}{\frac{7}{24}} = \frac{\frac{1}{25}}{\frac{7}{24}} = \frac{1}{25} \times \frac{24}{7} = \frac{24}{175}$$
No comments:
Post a Comment
Note: Only a member of this blog may post a comment.