BANK SOAL MATEMATIKA KONTEKSTUAL
Materi: Dimensi Tiga (Jarak), Geometri Datar (Keliling & Luas), serta Bangun Ruang Sisi Lengkung
Indikator Soal:
- Menyelesaikan masalah kontekstual yang melibatkan jarak dua titik dalam bangun ruang.
- Perhitungan keliling gabungan bangun datar serta keterkaitan konsep keliling dan luas.
- Penerapan konsep volume bangun ruang (serta gabungannya) dan luas permukaan bangun ruang sisi lengkung.
A. Masalah Kontekstual Jarak Titik pada Bangun Ruang
Pilihan Ganda (PG)
1. Sebuah gudang berbentuk balok berukuran panjang $8\text{ m}$, lebar $6\text{ m}$, dan tinggi $5\text{ m}$. Seekor cicak berada di sudut lantai depan kiri (titik $A$), sedangkan sebuah lampu penerangan terpasang di sudut langit-langit belakang kanan (titik $G$). Jarak garis lurus terdekat antara cicak dan lampu tersebut adalah ...
Kunci Jawaban: A
Pembahasan:
Jarak dua titik sudut berseberangan (diagonal ruang balok) dihitung dengan:
$d = \sqrt{p^2 + l^2 + t^2} = \sqrt{8^2 + 6^2 + 5^2} = \sqrt{64 + 36 + 25} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}\text{ m}$.
Pembahasan:
Jarak dua titik sudut berseberangan (diagonal ruang balok) dihitung dengan:
$d = \sqrt{p^2 + l^2 + t^2} = \sqrt{8^2 + 6^2 + 5^2} = \sqrt{64 + 36 + 25} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}\text{ m}$.
Pilihan Ganda (PG)
2. Sebuah kamar tidur berbentuk kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $4\text{ m}$. Sebuah saklar diletakkan tepat di tengah-tengah rusuk tegak $DH$, sedangkan lampu dipasang tepat di titik tengah langit-langit kamar (titik pusat bidang $EFGH$). Jarak langsung antara saklar dan lampu tersebut adalah ...
Kunci Jawaban: A
Pembahasan:
Buat sistem koordinat Cartesius 3D dengan $D$ sebagai titik pusat origin $(0,0,0)$:
- Titik Saklar $P$ berada di tengah $DH \implies P(0, 0, 2)$.
- Titik Lampu $T$ berada di tengah bidang atas $EFGH \implies T(2, 2, 4)$.
Jarak $PT = \sqrt{(2-0)^2 + (2-0)^2 + (4-2)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4 + 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\text{ m}$.
*(Koreksi Opsi: Jawaban tepat $2\sqrt{3}\text{ m}$, sehingga pilihan B).*
Pembahasan:
Buat sistem koordinat Cartesius 3D dengan $D$ sebagai titik pusat origin $(0,0,0)$:
- Titik Saklar $P$ berada di tengah $DH \implies P(0, 0, 2)$.
- Titik Lampu $T$ berada di tengah bidang atas $EFGH \implies T(2, 2, 4)$.
Jarak $PT = \sqrt{(2-0)^2 + (2-0)^2 + (4-2)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4 + 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\text{ m}$.
*(Koreksi Opsi: Jawaban tepat $2\sqrt{3}\text{ m}$, sehingga pilihan B).*
PGK MCMA (Pilihan Lebih dari Satu)
3. Diberikan kerangka kubus ruangan $ABCD.EFGH$ dengan rusuk $6\text{ meter}$. Sebuah sensor pergerakan dipasang pada titik tertentu. Manakah dari pernyataan jarak antar titik berikut yang **BENAR**? (Pilihlah semua jawaban yang sesuai)
Kunci Jawaban: A, C, D, E
Pembahasan:
- A: Diagonal ruang kubus $= s\sqrt{3} = 6\sqrt{3}\text{ m}$ (Benar).
- B: Titik tengah $CG = M(6, 6, 3)$. Jarak dari $A(0,0,0) = \sqrt{6^2+6^2+3^2} = \sqrt{36+36+9} = \sqrt{81} = 9\text{ m}$ (Benar).
- C: Pusat alas $O(3,3,0)$, titik $E(0,0,6) \implies EO = \sqrt{3^2+3^2+6^2} = \sqrt{9+9+36} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}\text{ m}$ (Benar).
- D: Kedua jarak merupakan diagonal ruang kubus $= 6\sqrt{3}\text{ m}$ (Benar).
- E: Titik tengah $AB = (3, 0, 0)$, titik tengah $GH = (3, 6, 6)$. Jarak $= \sqrt{0^2 + 6^2 + 6^2} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}\text{ m}$ (Benar).
Pembahasan:
- A: Diagonal ruang kubus $= s\sqrt{3} = 6\sqrt{3}\text{ m}$ (Benar).
- B: Titik tengah $CG = M(6, 6, 3)$. Jarak dari $A(0,0,0) = \sqrt{6^2+6^2+3^2} = \sqrt{36+36+9} = \sqrt{81} = 9\text{ m}$ (Benar).
- C: Pusat alas $O(3,3,0)$, titik $E(0,0,6) \implies EO = \sqrt{3^2+3^2+6^2} = \sqrt{9+9+36} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}\text{ m}$ (Benar).
- D: Kedua jarak merupakan diagonal ruang kubus $= 6\sqrt{3}\text{ m}$ (Benar).
- E: Titik tengah $AB = (3, 0, 0)$, titik tengah $GH = (3, 6, 6)$. Jarak $= \sqrt{0^2 + 6^2 + 6^2} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}\text{ m}$ (Benar).
PGK Kategori (Benar / Salah)
4. Tentukan nilai **BENAR** atau **SALAH** pada perhitungan jarak posisi sensor/titik dalam ruang berukuran balok $ABCD.EFGH$ dengan panjang $p = 12\text{ m}$, lebar $l = 4\text{ m}$, dan tinggi $t = 3\text{ m}$!
| Pernyataan Jarak Antar Titik | Benar | Salah |
|---|---|---|
| Jarak dari titik $A$ ke titik sudut diagonal ruang $G$ adalah $13\text{ m}$. | ||
| Jarak dari titik $A$ ke titik $C$ pada alas lantai adalah $4\sqrt{10}\text{ m}$. | ||
| Jarak dari titik $E$ ke titik tengah alas $ABCD$ adalah $\sqrt{40}\text{ m}$. |
Kunci Jawaban:
1. Benar ($\sqrt{12^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{144 + 16 + 9} = \sqrt{169} = 13\text{ m}$)
2. Benar ($AC = \sqrt{12^2 + 4^2} = \sqrt{160} = 4\sqrt{10}\text{ m}$)
3. Salah (Pusat alas $O$, $AO = \frac{1}{2}AC = 2\sqrt{10}$. $EO = \sqrt{AE^2 + AO^2} = \sqrt{3^2 + (2\sqrt{10})^2} = \sqrt{9 + 40} = \sqrt{49} = 7\text{ m}$).
1. Benar ($\sqrt{12^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{144 + 16 + 9} = \sqrt{169} = 13\text{ m}$)
2. Benar ($AC = \sqrt{12^2 + 4^2} = \sqrt{160} = 4\sqrt{10}\text{ m}$)
3. Salah (Pusat alas $O$, $AO = \frac{1}{2}AC = 2\sqrt{10}$. $EO = \sqrt{AE^2 + AO^2} = \sqrt{3^2 + (2\sqrt{10})^2} = \sqrt{9 + 40} = \sqrt{49} = 7\text{ m}$).
B. Keliling Gabungan Bangun Datar & Keterkaitan Keliling-Luas
Pilihan Ganda (PG)
5. Denah sebuah lintasan lari di taman kota terdiri dari sebuah persegi panjang dengan panjang $100\text{ m}$ dan lebar $70\text{ m}$, serta dua buah setengah lingkaran yang terpasang pada kedua sisi lebarnya. Keliling total lintasan lari tersebut adalah ... ($\pi = \frac{22}{7}$)
Kunci Jawaban: A
Pembahasan:
Keliling gabungan hanya menghitung garis luar pembatas lintasan:
- 2 x Sisi Lurus $= 2 \times 100\text{ m} = 200\text{ m}$.
- 2 x Setengah Lingkaran $= 1\text{ Lingkaran Penuh}$ dengan diameter $d = 70\text{ m}$.
Keliling Lingkaran $= \pi \times d = \frac{22}{7} \times 70 = 220\text{ m}$.
Keliling Total $= 200 + 220 = 420\text{ m}$.
Pembahasan:
Keliling gabungan hanya menghitung garis luar pembatas lintasan:
- 2 x Sisi Lurus $= 2 \times 100\text{ m} = 200\text{ m}$.
- 2 x Setengah Lingkaran $= 1\text{ Lingkaran Penuh}$ dengan diameter $d = 70\text{ m}$.
Keliling Lingkaran $= \pi \times d = \frac{22}{7} \times 70 = 220\text{ m}$.
Keliling Total $= 200 + 220 = 420\text{ m}$.
Pilihan Ganda (PG)
6. Pak Budi memiliki sebidang kawat pagar sepanjang $80\text{ meter}$ untuk memagari sebidang tanah berbentuk persegi panjang yang berdampingan langsung dengan dinding tembok benteng (sisi tembok tidak perlu dipagari kawat). Agar luas tanah yang dipagari maksimum, luas maksimum tanah tersebut adalah ...
Kunci Jawaban: A
Pembahasan:
Misalkan lebar $= x$ (terdapat 2 sisi lebar) dan panjang $= p$.
Panjang kawat: $p + 2x = 80 \implies p = 80 - 2x$.
Luas $L(x) = p \cdot x = (80 - 2x)x = 80x - 2x^2$.
Luas maksimum dicapai saat turunan $L'(x) = 0 \implies 80 - 4x = 0 \implies x = 20\text{ m}$.
Maka $p = 80 - 2(20) = 40\text{ m}$.
Luas Maksimum $= 40\text{ m} \times 20\text{ m} = 800\text{ m}^2$.
Pembahasan:
Misalkan lebar $= x$ (terdapat 2 sisi lebar) dan panjang $= p$.
Panjang kawat: $p + 2x = 80 \implies p = 80 - 2x$.
Luas $L(x) = p \cdot x = (80 - 2x)x = 80x - 2x^2$.
Luas maksimum dicapai saat turunan $L'(x) = 0 \implies 80 - 4x = 0 \implies x = 20\text{ m}$.
Maka $p = 80 - 2(20) = 40\text{ m}$.
Luas Maksimum $= 40\text{ m} \times 20\text{ m} = 800\text{ m}^2$.
PGK MCMA (Pilihan Lebih dari Satu)
7. Dua buah bidang datar yaitu Persegi ($A$) dan Persegi Panjang ($B$) memiliki keliling yang sama besar, yaitu $48\text{ cm}$. Jika lebar persegi panjang $B$ adalah $8\text{ cm}$, manakah pernyataan berikut yang **BENAR**?
Kunci Jawaban: A, B, C, E
Pembahasan:
- Persegi $A$: Keliling $= 4s = 48 \implies s = 12\text{ cm}$. Luas $A = 12^2 = 144\text{ cm}^2$.
- Persegi Panjang $B$: Keliling $= 2(p + 8) = 48 \implies p + 8 = 24 \implies p = 16\text{ cm}$. Luas $B = 16 \times 8 = 128\text{ cm}^2$.
- Selisih Luas $= 144 - 128 = 16\text{ cm}^2$.
- Luas Persegi selalu lebih besar dari Luas Persegi Panjang jika kelilingnya sama (Sifat Isoperimetrik). Maka opsi D salah.
Pembahasan:
- Persegi $A$: Keliling $= 4s = 48 \implies s = 12\text{ cm}$. Luas $A = 12^2 = 144\text{ cm}^2$.
- Persegi Panjang $B$: Keliling $= 2(p + 8) = 48 \implies p + 8 = 24 \implies p = 16\text{ cm}$. Luas $B = 16 \times 8 = 128\text{ cm}^2$.
- Selisih Luas $= 144 - 128 = 16\text{ cm}^2$.
- Luas Persegi selalu lebih besar dari Luas Persegi Panjang jika kelilingnya sama (Sifat Isoperimetrik). Maka opsi D salah.
PGK Kategori (Sesuai / Tidak Sesuai)
8. Sebuah taman bunga berbentuk gabungan persegi panjang berukuran $14\text{ m} \times 10\text{ m}$ dan setengah lingkaran di atas sisi panjangnya ($d = 14\text{ m}$). Evaluasi kesesuaian nilai perhitungan berikut:
| Pernyataan Perhitungan Taman | Sesuai | Tidak Sesuai |
|---|---|---|
| Keliling luar taman bunga tersebut adalah $56\text{ m}$. | ||
| Luas total area taman bunga tersebut adalah $217\text{ m}^2$. | ||
| Jika dipasang pagar mengelilingi taman dengan biaya Rp100.000/m, biaya totalnya adalah Rp5.600.000. |
Kunci Jawaban:
1. Sesuai (Keliling $= 14 (\text{bawah}) + 10 (\text{kiri}) + 10 (\text{kanan}) + \frac{1}{2}\pi d = 34 + (\frac{1}{2} \cdot \frac{22}{7} \cdot 14) = 34 + 22 = 56\text{ m}$)
2. Sesuai (Luas $= (14 \times 10) + (\frac{1}{2} \cdot \frac{22}{7} \cdot 7^2) = 140 + 77 = 217\text{ m}^2$)
3. Sesuai (Biaya $= 56\text{ m} \times \text{Rp}100.000 = \text{Rp}5.600.000$)
1. Sesuai (Keliling $= 14 (\text{bawah}) + 10 (\text{kiri}) + 10 (\text{kanan}) + \frac{1}{2}\pi d = 34 + (\frac{1}{2} \cdot \frac{22}{7} \cdot 14) = 34 + 22 = 56\text{ m}$)
2. Sesuai (Luas $= (14 \times 10) + (\frac{1}{2} \cdot \frac{22}{7} \cdot 7^2) = 140 + 77 = 217\text{ m}^2$)
3. Sesuai (Biaya $= 56\text{ m} \times \text{Rp}100.000 = \text{Rp}5.600.000$)
C. Penerapan Volume Gabungan & Luas Permukaan Sisi Lengkung
Pilihan Ganda (PG)
9. Sebuah tempat penyimpanan air minum berbentuk gabungan tabung dan setengah bola di bagian atasnya. Jika jari-jari alas tabung adalah $7\text{ cm}$ dan tinggi bagian tabungnya $10\text{ cm}$, maka volume total wadah tersebut adalah ... ($\pi = \frac{22}{7}$)
Kunci Jawaban: B
Pembahasan:
- $V_{\text{tabung}} = \pi r^2 t = \frac{22}{7} \times 7^2 \times 10 = 1.540\text{ cm}^3$.
- $V_{\frac{1}{2}\text{bola}} = \frac{2}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times 7^3 = \frac{2}{3} \times 1.078 = 718,67\text{ cm}^3$.
- $V_{\text{total}} = 1.540 + 718,67 = 2.258,67\text{ cm}^3$ (Atau pecahan $2.258\frac{2}{3}\text{ cm}^3$).
Pembahasan:
- $V_{\text{tabung}} = \pi r^2 t = \frac{22}{7} \times 7^2 \times 10 = 1.540\text{ cm}^3$.
- $V_{\frac{1}{2}\text{bola}} = \frac{2}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times 7^3 = \frac{2}{3} \times 1.078 = 718,67\text{ cm}^3$.
- $V_{\text{total}} = 1.540 + 718,67 = 2.258,67\text{ cm}^3$ (Atau pecahan $2.258\frac{2}{3}\text{ cm}^3$).
Pilihan Ganda (PG)
10. Kubah sebuah bangunan berbentuk setengah bola pejal dengan diameter $14\text{ meter}$. Bagian luar kubah tersebut akan dicat ulang dengan biaya Rp50.000 per meter persegi. Biaya total yang diperlukan untuk mengecat kubah tersebut adalah ...
Kunci Jawaban: A
Pembahasan:
Luas lengkung kubah setengah bola $= 2 \pi r^2$.
Jari-jari $r = 7\text{ m}$.
Luas Lengkung $= 2 \times \frac{22}{7} \times 7^2 = 308\text{ m}^2$.
Biaya Total $= 308\text{ m}^2 \times \text{Rp}50.000 = \text{Rp}15.400.000$.
Pembahasan:
Luas lengkung kubah setengah bola $= 2 \pi r^2$.
Jari-jari $r = 7\text{ m}$.
Luas Lengkung $= 2 \times \frac{22}{7} \times 7^2 = 308\text{ m}^2$.
Biaya Total $= 308\text{ m}^2 \times \text{Rp}50.000 = \text{Rp}15.400.000$.
PGK MCMA (Pilihan Lebih dari Satu)
11. Sebuah kerucut terpotong atau es krim berbentuk kerucut memiliki jari-jari alas $r = 6\text{ cm}$ dan tinggi $t = 8\text{ cm}$. Manakah dari pernyataan ukuran geometri kerucut berikut yang **BENAR**?
Kunci Jawaban: A, B, C, D, E
Pembahasan:
- A: $s = \sqrt{r^2 + t^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10\text{ cm}$ (Benar).
- B: Luas Selimut $= \pi r s = \pi (6)(10) = 60\pi\text{ cm}^2$ (Benar).
- C: Luas Total $= \pi r (r + s) = \pi (6)(6 + 10) = 96\pi\text{ cm}^2$ (Benar).
- D: Volume $= \frac{1}{3}\pi r^2 t = \frac{1}{3}\pi (36)(8) = 96\pi\text{ cm}^3$ (Benar).
- E: $V \propto r^2$, jika $r$ naik $2\times$, maka $V$ naik $2^2 = 4\times$ (Benar).
Pembahasan:
- A: $s = \sqrt{r^2 + t^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10\text{ cm}$ (Benar).
- B: Luas Selimut $= \pi r s = \pi (6)(10) = 60\pi\text{ cm}^2$ (Benar).
- C: Luas Total $= \pi r (r + s) = \pi (6)(6 + 10) = 96\pi\text{ cm}^2$ (Benar).
- D: Volume $= \frac{1}{3}\pi r^2 t = \frac{1}{3}\pi (36)(8) = 96\pi\text{ cm}^3$ (Benar).
- E: $V \propto r^2$, jika $r$ naik $2\times$, maka $V$ naik $2^2 = 4\times$ (Benar).
PGK Kategori (Benar / Salah)
12. Tentukan nilai **BENAR** atau **SALAH** untuk hubungan perbandingan bangun ruang sisi lengkung berikut!
| Pernyataan Perbandingan Geometri Bangun Ruang | Benar | Salah |
|---|---|---|
| Sebuah tabung dan kerucut memiliki jari-jari dan tinggi yang sama. Volume tabung adalah 3 kali volume kerucut. | ||
| Sebuah bola berada tepat di dalam tabung sehingga menyentuh alas, atas, dan selimut tabung. Luas permukaan bola sama dengan luas selimut tabung. | ||
| Jika jari-jari sebuah bola diperbesar menjadi 3 kali semula, maka volumenya menjadi 9 kali volume semula. |
Kunci Jawaban:
1. Benar ($V_{\text{tabung}} = \pi r^2 t$, $V_{\text{kerucut}} = \frac{1}{3}\pi r^2 t$)
2. Benar ($L_{\text{bola}} = 4\pi r^2$, $L_{\text{selimut tabung}} = 2\pi r (2r) = 4\pi r^2$)
3. Salah ($V \propto r^3$, jika $r \to 3r$, maka volume menjadi $3^3 = 27$ kali semula).
1. Benar ($V_{\text{tabung}} = \pi r^2 t$, $V_{\text{kerucut}} = \frac{1}{3}\pi r^2 t$)
2. Benar ($L_{\text{bola}} = 4\pi r^2$, $L_{\text{selimut tabung}} = 2\pi r (2r) = 4\pi r^2$)
3. Salah ($V \propto r^3$, jika $r \to 3r$, maka volume menjadi $3^3 = 27$ kali semula).
No comments:
Post a Comment
Note: Only a member of this blog may post a comment.