BANK SOAL TKA MATEMATIKA SMA : Persamaan & Pertidaksamaan Linear

BANK SOAL MATEMATIKA

Materi: Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPtLDV), SPLTV, & Program Linear

Indikator Soal:

• Memodelkan permasalahan sehari-hari atau grafik daerah penyelesaian ke sistem pertidaksamaan linear dua variabel.
• Menyelesaikan masalah yang dimodelkan ke sistem persamaan/pertidaksamaan linear multivariabel (maksimal 3 variabel/program linear).

Pilihan Ganda (PG)

1. Luas daerah parkir adalah $360\text{ m}^2$. Luas rata-rata untuk sebuah mobil penumpang adalah $6\text{ m}^2$ dan untuk sebuah bus adalah $24\text{ m}^2$. Daerah parkir tersebut tidak dapat menampung lebih dari $30$ kendaraan. Jika $x$ menyatakan banyak mobil dan $y$ menyatakan banyak bus, model matematika dari permasalahan tersebut adalah ...

• A. $x + 4y \le 60;\; x + y \le 30;\; x \ge 0;\; y \ge 0$
• B. $x + 4y \ge 60;\; x + y \le 30;\; x \ge 0;\; y \ge 0$
• C. $4x + y \le 60;\; x + y \le 30;\; x \ge 0;\; y \ge 0$
• D. $x + 4y \le 60;\; x + y \ge 30;\; x \ge 0;\; y \ge 0$
• E. $4x + y \ge 60;\; x + y \ge 30;\; x \ge 0;\; y \ge 0$

Kunci Jawaban: A
Pembahasan:
- Kendala Luas: $6x + 24y \le 360 \iff x + 4y \le 60$
- Kendala Jumlah Kendaraan: $x + y \le 30$
- Kendala Non-negatif: $x \ge 0, y \ge 0$

Pilihan Ganda (PG)

2. Seorang pembuat roti membuat dua jenis roti. Roti jenis A memerlukan $200\text{ g}$ tepung dan $25\text{ g}$ mentega. Roti jenis B memerlukan $100\text{ g}$ tepung dan $50\text{ g}$ mentega. Bahan yang tersedia adalah $4\text{ kg}$ tepung dan $1{,}2\text{ kg}$ mentega. Jika $x$ adalah banyak roti A dan $y$ adalah banyak roti B, maka sistem pertidaksamaan yang memenuhi adalah ...

• A. $2x + y \le 40;\; 2x + y \le 48;\; x \ge 0;\; y \ge 0$
• B. $2x + y \le 40;\; x + 2y \le 48;\; x \ge 0;\; y \ge 0$
• C. $x + 2y \le 40;\; 2x + y \le 48;\; x \ge 0;\; y \ge 0$
• D. $2x + y \ge 40;\; x + 2y \ge 48;\; x \ge 0;\; y \ge 0$
• E. $x + 2y \le 40;\; x + 2y \le 48;\; x \ge 0;\; y \ge 0$

Kunci Jawaban: B
Pembahasan:
- Tepung: $200x + 100y \le 4.000 \iff 2x + y \le 40$
- Mentega: $25x + 50y \le 1.200 \iff x + 2y \le 48$
- Syarat non-negatif: $x \ge 0, y \ge 0$

Pilihan Ganda (PG)

3. Suatu daerah penyelesaian pada bidang kartesius dibatasi oleh dua garis: Garis $g_1$ memotong titik $(0,4)$ dan $(6,0)$ dengan daerah arsiran di bawah garis, sedangkan Garis $g_2$ memotong titik $(0,8)$ dan $(3,0)$ dengan daerah arsiran di atas garis. Sistem pertidaksamaan untuk daerah penyelesaian di Kuadran I tersebut adalah ...

• A. $2x + 3y \le 12;\; 8x + 3y \le 24;\; x \ge 0;\; y \ge 0$
• B. $2x + 3y \ge 12;\; 8x + 3y \ge 24;\; x \ge 0;\; y \ge 0$
• C. $2x + 3y \le 12;\; 8x + 3y \ge 24;\; x \ge 0;\; y \ge 0$
• D. $3x + 2y \le 12;\; 3x + 8y \ge 24;\; x \ge 0;\; y \ge 0$
• E. $2x + 3y \ge 12;\; 8x + 3y \le 24;\; x \ge 0;\; y \ge 0$

Kunci Jawaban: C
Pembahasan:
- Persamaan $g_1$: $4x + 6y = 24 \iff 2x + 3y = 12$. Di bawah garis $\implies 2x + 3y \le 12$.
- Persamaan $g_2$: $8x + 3y = 24$. Di atas garis $\implies 8x + 3y \ge 24$.

Pilihan Ganda (PG)

4. Seorang pasien disarankan mengonsumsi minimal $12$ unit vitamin A dan $18$ unit vitamin B setiap hari. Tablet I mengandung $2$ unit vitamin A dan $1$ unit vitamin B. Tablet II mengandung $1$ unit vitamin A dan $3$ unit vitamin B. Jika $x$ adalah banyak tablet I dan $y$ adalah banyak tablet II, model pertidaksamaan yang tepat adalah ...

• A. $2x + y \ge 12;\; x + 3y \ge 18;\; x \ge 0;\; y \ge 0$
• B. $2x + y \le 12;\; x + 3y \le 18;\; x \ge 0;\; y \ge 0$
• C. $x + 2y \ge 12;\; 3x + y \ge 18;\; x \ge 0;\; y \ge 0$
• D. $2x + y \ge 18;\; x + 3y \ge 12;\; x \ge 0;\; y \ge 0$
• E. $2x + 3y \ge 12;\; x + y \ge 18;\; x \ge 0;\; y \ge 0$

Kunci Jawaban: A
Pembahasan: Kata kunci "minimal" menggunakan tanda $\ge$.
- Vitamin A: $2x + y \ge 12$
- Vitamin B: $x + 3y \ge 18$
- Syarat non-negatif: $x \ge 0, y \ge 0$

Pilihan Ganda (PG)

5. Ali, Budi, dan Caca membeli peralatan sekolah di toko yang sama.
- Ali membeli $2$ buku, $1$ pensil, dan $1$ penghapus seharga $\text{Rp}14.000,00$.
- Budi membeli $1$ buku, $2$ pensil, dan $1$ penghapus seharga $\text{Rp}13.000,00$.
- Caca membeli $1$ buku, $1$ pensil, dan $2$ penghapus seharga $\text{Rp}15.000,00$.
Berapakah uang yang harus dibayar Dini jika ia membeli $1$ buku, $1$ pensil, dan $1$ penghapus?

• A. $\text{Rp}9.500,00$
• B. $\text{Rp}10.500,00$
• C. $\text{Rp}11.000,00$
• D. $\text{Rp}12.000,00$
• E. $\text{Rp}12.500,00$

Kunci Jawaban: B
Pembahasan:
Jumlahkan ketiga persamaan:
$(2x+y+z) + (x+2y+z) + (x+y+2z) = 14.000 + 13.000 + 15.000$
$4x + 4y + 4z = 42.000 \implies x + y + z = 10.500$.

Pilihan Ganda (PG)

6. Nilai maksimum dari fungsi objektif $f(x,y) = 5x + 4y$ pada daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan $x + y \le 8$, $2x + y \le 10$, $x \ge 0$, dan $y \ge 0$ adalah ...

• A. $25$
• B. $32$
• C. $34$
• D. $40$
• E. $42$

Kunci Jawaban: C
Pembahasan: Titik potong $x+y=8$ dan $2x+y=10$ adalah $(2,6)$.
Titik-titik sudut daerah penyelesaian: $(0,0)$, $(5,0)$, $(0,8)$, dan $(2,6)$.
- $f(0,0) = 0$
- $f(5,0) = 25$
- $f(0,8) = 32$
- $f(2,6) = 5(2) + 4(6) = 10 + 24 = 34$ (Maksimum).

Pilihan Ganda (PG)

7. Seorang pedagang buah memiliki modal $\text{Rp}1.200.000,00$ dan gerobak yang hanya mampu memuat paling banyak $40\text{ kg}$ buah. Harga beli apel adalah $\text{Rp}40.000,00/\text{kg}$ dan jeruk $\text{Rp}20.000,00/\text{kg}$. Keuntungan penjualan apel adalah $\text{Rp}8.000,00/\text{kg}$ dan jeruk $\text{Rp}5.000,00/\text{kg}$. Keuntungan maksimum pedagang tersebut adalah ...

• A. $\text{Rp}200.000,00$
• B. $\text{Rp}220.000,00$
• C. $\text{Rp}240.000,00$
• D. $\text{Rp}260.000,00$
• E. $\text{Rp}320.000,00$

Kunci Jawaban: D
Pembahasan: Model: $x + y \le 40$ dan $2x + y \le 60$.
Titik potong kedua garis: $(20,20)$.
Uji titik pojok $f(x,y) = 8.000x + 5.000y$:
- $(0,40) \implies \text{Rp}200.000,00$
- $(30,0) \implies \text{Rp}240.000,00$
- $(20,20) \implies 8.000(20) + 5.000(20) = \text{Rp}260.000,00$ (Maksimum).

Pilihan Ganda (PG)

8. Jumlah umur Andi, Budi, dan Cici adalah $45$ tahun. Umur Andi $5$ tahun lebih tua dari Budi. Jika jumlah umur Budi dan Cici adalah $30$ tahun, maka umur Cici adalah ...

• A. $10\text{ tahun}$
• B. $12\text{ tahun}$
• C. $15\text{ tahun}$
• D. $20\text{ tahun}$
• E. $25\text{ tahun}$

Kunci Jawaban: D
Pembahasan:
$A + B + C = 45$
Diketahui $B + C = 30 \implies A + 30 = 45 \implies A = 15$.
$A - B = 5 \implies 15 - B = 5 \implies B = 10$.
$B + C = 30 \implies 10 + C = 30 \implies C = 20\text{ tahun}$.

PGK MCMA (Pilihan Lebih dari Satu)

9. Diberikan sistem pertidaksamaan $x + 2y \le 8$, $3x + y \le 9$, $x \ge 0$, dan $y \ge 0$. Manakah dari pernyataan-pernyataan berikut yang **BENAR**? (Pilihlah semua jawaban yang sesuai)

• A. Garis $x + 2y = 8$ memotong sumbu-Y di titik $(0, 4)$.
• B. Titik potong kedua garis batas adalah $(2, 3)$.
• C. Titik $(0,0)$ terletak di dalam daerah penyelesaian.
• D. Nilai maksimum dari $f(x,y) = x + y$ pada daerah penyelesaian tersebut adalah $5$.
• E. Titik $(3,2)$ berada di dalam daerah penyelesaian.

Kunci Jawaban: A, B, C, D
Pembahasan:
- A benar: saat $x=0 \implies 2y=8 \implies y=4$.
- B benar: $x+2y=8$ dan $6x+2y=18 \implies 5x=10 \implies x=2, y=3$.
- C benar: $0+0 \le 8$ dan $0+0 \le 9$.
- D benar: $f(2,3) = 2+3 = 5$ (paling tinggi dibanding $(0,4) \to 4$ dan $(3,0) \to 3$).
- E salah: $3+2(2) = 7 \le 8$ (memenuhi 1), tapi $3(3)+2 = 11 \not\le 9$ (tidak memenuhi 2).

PGK MCMA (Pilihan Lebih dari Satu)

10. Seorang pengrajin membuat Tas ($x$) dan Sepatu ($y$). Kebutuhan bahan dan waktu kerja beserta batas maksimum ketersediaannya disajikan dalam fungsi kendala: $2x + y \le 12$ (kulit) dan $x + 2y \le 12$ (waktu kerja). Keuntungan tas adalah $\text{Rp}50.000,00$ dan sepatu $\text{Rp}60.000,00$. Manakah analisis berikut yang **BENAR**?

• A. Fungsi tujuan/objektifnya adalah $f(x,y) = 50.000x + 60.000y$.
• B. Titik potong antar kedua garis kendala berada pada koordinat $(4,4)$.
• C. Keuntungan maksimum dicapai saat memproduksi $4$ Tas dan $4$ Sepatu.
• D. Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh pengrajin adalah $\text{Rp}440.000,00$.
• E. Memproduksi $6$ Tas dan $3$ Sepatu memenuhi seluruh kendala ketersediaan.

Kunci Jawaban: A, B, C, D
Pembahasan:
- A, B benar: Eliminasi $2x+y=12$ dan $x+2y=12 \implies x=4, y=4$.
- C, D benar: $f(4,4) = 50.000(4) + 60.000(4) = 200.000 + 240.000 = \text{Rp}440.000,00$.
- E salah: Untuk kulit $2(6)+3 = 15 > 12$ (melebihi stok).

PGK MCMA (Pilihan Lebih dari Satu)

11. Di toko sembako Jaya, harga $1\text{ kg}$ gula ($g$), $1\text{ kg}$ beras ($b$), dan $1\text{ kg}$ minyak ($m$) dapat dimodelkan dalam SPLTV berikut:
$2g + 3b + m = 80.000$
$g + 2b + 2m = 67.000$
$3g + b + m = 71.000$
Manakah pernyataan berikut yang **BENAR** terkait harga satuan barang-barang tersebut?

• A. Harga $1\text{ kg}$ gula adalah $\text{Rp}15.000,00$.
• B. Harga $1\text{ kg}$ beras adalah $\text{Rp}12.000,00$.
• C. Harga $1\text{ kg}$ minyak adalah $\text{Rp}14.000,00$.
• D. Jika seseorang membeli masing-masing $1\text{ kg}$ gula, beras, dan minyak, ia harus membayar $\text{Rp}41.000,00$.
• E. Harga $1\text{ kg}$ minyak lebih murah daripada $1\text{ kg}$ beras.

Kunci Jawaban: A, B, C, D
Pembahasan:
Penyelesaian SPLTV menghasilkan $g = 15.000$, $b = 12.000$, $m = 14.000$.
- A, B, C benar.
- D benar: $15.000 + 12.000 + 14.000 = \text{Rp}41.000,00$.
- E salah: Minyak ($\text{Rp}14.000,00$) lebih mahal dari beras ($\text{Rp}12.000,00$).

PGK MCMA (Pilihan Lebih dari Satu)

12. Manakah pernyataan teoritis berikut yang **BENAR** mengenai sifat-sifat Program Linear dan Daerah Penyelesaian (Feasible Region)?

• A. Daerah penyelesaian SPtLDV merupakan irisan daerah penyelesaian dari seluruh pertidaksamaan penyusunnya.
• B. Nilai optimum fungsi tujuan pada daerah penyelesaian tertutup (bounded) selalu terletak pada salah satu titik sudut (titik pojok).
• C. Kendala $x \ge 0$ dan $y \ge 0$ berfungsi menjamin variabel keputusan bernilai non-negatif pada konteks nyata.
• D. Garis selidik $ax + by = k$ dapat digunakan untuk mengidentifikasi titik yang memberikan nilai optimum pada fungsi $f(x,y) = ax + by$.
• E. Jika daerah penyelesaian tidak terbatas (unbounded), maka fungsi tujuan dipastikan tidak memiliki nilai minimum.

Kunci Jawaban: A, B, C, D
Pembahasan:
- A, B, C, D adalah konsep baku dalam program linear.
- E salah: Daerah terbuka tetap bisa memiliki nilai minimum selama daerah tersebut terbatas di bagian bawah/asal.

PGK MCMA (Pilihan Lebih dari Satu)

13. Diberikan SPtLDV: $x + y \le 10$, $x + 3y \le 18$, $x \ge 0$, dan $y \ge 0$. Manakah analisis grafik dan nilai berikut yang **BENAR**?

• A. Titik potong antara dua garis batas adalah $(6, 4)$.
• B. Daerah penyelesaian berbentuk segi empat dengan titik-titik sudut $(0,0)$, $(10,0)$, $(6,4)$, dan $(0,6)$.
• C. Titik $(7,4)$ berada di luar daerah penyelesaian.
• D. Nilai maksimum dari fungsi $f(x,y) = 2x + y$ pada daerah penyelesaian tersebut adalah $20$.
• E. Garis $x + 3y = 18$ memotong sumbu-X di titik $(0, 18)$.

Kunci Jawaban: A, B, C, D
Pembahasan:
- A, B benar: Potongan $x+y=10$ dan $x+3y=18 \implies 2y=8 \implies y=4, x=6$. Titik pojok: $(0,0), (10,0), (6,4), (0,6)$.
- C benar: Untuk $(7,4) \implies 7+4 = 11 > 10$ (melanggar).
- D benar: $f(10,0) = 2(10) + 0 = 20$ (tertinggi).
- E salah: Memotong sumbu-X di $(18,0)$, bukan $(0,18)$.

PGK MCMA (Pilihan Lebih dari Satu)

14. Diberikan sistem persamaan linear tiga variabel:
$x + y + z = 6$
$2x - y + z = 3$
$x + 2y - z = 2$
Manakah pernyataan berikut yang **BENAR** mengenai penyelesaian sistem tersebut?

• A. Nilai dari $x + y = 3$.
• B. Hasil kali $y \cdot z = 6$.
• C. Selisih nilai $z - x = 2$.
• D. Himpunan penyelesaiannya adalah $\{(1, 2, 3)\}$.
• E. Nilai $x$ dua kali lebih besar dari nilai $y$.

Kunci Jawaban: A, B, C, D
Pembahasan:
Penyelesaian SPLTV ini adalah $x = 1$, $y = 2$, dan $z = 3$.
- A: $1 + 2 = 3$ (Benar).
- B: $2 \cdot 3 = 6$ (Benar).
- C: $3 - 1 = 2$ (Benar).
- D: HP = $\{(1, 2, 3)\}$ (Benar).
- E: $x = 1$ separuh dari $y = 2$ (Salah).

PGK Kategori (Benar / Salah)

15. Tentukan nilai **BENAR** atau **SALAH** untuk setiap pernyataan mengenai daerah penyelesaian dari pertidaksamaan $3x + 4y \le 12$ berikut!

Pernyataan Analisis Grafik	Benar	Salah
Garis batas memotong sumbu-X di titik $(4,0)$.
Garis batas memotong sumbu-Y di titik $(0,3)$.
Titik $(0,0)$ berada di dalam daerah penyelesaian.
Titik $(2,2)$ berada di dalam daerah penyelesaian.

Kunci Jawaban:
1. Benar ($3x + 0 = 12 \implies x = 4$)
2. Benar ($0 + 4y = 12 \implies y = 3$)
3. Benar ($3(0) + 4(0) = 0 \le 12$)
4. Salah ($3(2) + 4(2) = 6 + 8 = 14 \not\le 12$)

PGK Kategori (Sesuai / Tidak Sesuai)

16. Sebuah lahan parkir mampu memuat paling banyak $50$ kendaraan yang terdiri dari mobil ($x$) dan motor ($y$). Tarif parkir mobil $\text{Rp}5.000,00$ dan motor $\text{Rp}2.000,00$. Tentukan kriteria **SESUAI** atau **TIDAK SESUAI** dari pemodelan berikut:

Pernyataan Pemodelan	Sesuai	Tidak Sesuai
Kendala kapasitas parkir dinyatakan oleh pertidaksamaan $x + y \le 50$.
Fungsi pendapatan/objektifnya adalah $f(x,y) = 5.000x + 2.000y$.
Jumlah mobil tidak boleh bernilai negatif ditekankan oleh pertidaksamaan $x \ge 0$.
Kondisi di mana terdapat $30$ mobil dan $30$ motor memenuhi kendala kapasitas parkir.

Kunci Jawaban:
1. Sesuai
2. Sesuai
3. Sesuai
4. Tidak Sesuai (Karena $30 + 30 = 60 > 50$, melebihi kapasitas)

PGK Kategori (Benar / Salah)

17. Sebuah usaha konfeksi memproduksi $100$ potong pakaian sehari yang terdiri dari Baju A ($x$), Baju B ($y$), dan Baju C ($z$). Banyak baju A yang diproduksi dua kali banyak baju B, sedangkan banyak baju C diproduksi $20$ potong lebih banyak dari baju B. Tentukan nilai **BENAR** atau **SALAH**:

Pernyataan Hasil Produksi	Benar	Salah
Banyak Baju B yang diproduksi dalam sehari adalah $20$ potong.
Banyak Baju A yang diproduksi dalam sehari adalah $40$ potong.
Jumlah produksi Baju A sama banyak dengan produksi Baju C.
Baju C diproduksi sebanyak $50$ potong dalam sehari.

Kunci Jawaban:
- Model: $x+y+z=100$, $x=2y$, $z=y+20 \implies 2y+y+y+20=100 \implies 4y=80 \implies y=20$. Maka $x=40$ dan $z=40$.
1. Benar ($y = 20$)
2. Benar ($x = 40$)
3. Benar ($x = 40$ dan $z = 40$)
4. Salah ($z = 40$, bukan $50$)

PGK Kategori (Benar / Salah)

18. Diberikan fungsi tujuan $f(x,y) = 4x + 3y$ dengan titik-titik sudut daerah penyelesaian adalah $A(0,0)$, $B(6,0)$, $C(4,3)$, dan $D(0,5)$. Evaluasi nilai optimum pada tiap titik berikut:

Pernyataan Nilai Fungsi	Benar	Salah
Nilai fungsi tujuan di titik A adalah $0$.
Nilai fungsi tujuan di titik B adalah $24$.
Nilai fungsi tujuan di titik C adalah $25$.
Nilai maksimum fungsi tujuan terjadi di titik B.

Kunci Jawaban:
1. Benar ($f(0,0) = 0$)
2. Benar ($f(6,0) = 24$)
3. Benar ($f(4,3) = 4(4) + 3(3) = 25$)
4. Salah (Maksimum terjadi di titik C yaitu $25$)

PGK Kategori (Sesuai / Tidak Sesuai)

19. Tentukan kriteria **SESUAI** atau **TIDAK SESUAI** dari konsep dasar komponen penyusun Program Linear berikut:

Pernyataan Komponen	Sesuai	Tidak Sesuai
Pertidaksamaan $x \ge 0$ dan $y \ge 0$ dikategorikan sebagai kendala non-negatif.
Fungsi $f(x,y) = ax + by$ yang hendak dimaksimalkan atau diminimalkan disebut fungsi objektif/tujuan.
Daerah penyelesaian merupakan himpunan seluruh titik $(x,y)$ yang memenuhi semua pertidaksamaan kendala secara bersamaan.
Pertidaksamaan $2x - 3y \le 6$ dipastikan selalu berada di Kuadran I tanpa bantuan syarat $x \ge 0, y \ge 0$.

Kunci Jawaban:
1. Sesuai
2. Sesuai
3. Sesuai
4. Tidak Sesuai (Pertidaksamaan tanpa kendala non-negatif melintasi Kuadran II, III, dan IV)

PGK Kategori (Benar / Salah)

20. Diberikan SPLTV berikut:
$x + y - z = 4$
$2x - y + z = 5$
$x + 2y + z = 8$
Tentukan nilai **BENAR** atau **SALAH** untuk setiap pernyataan mengenai solusi SPLTV di atas:

Pernyataan Solusi	Benar	Salah
Nilai $x$ yang memenuhi adalah $3$.
Nilai $y$ yang memenuhi adalah $2$.
Nilai $z$ yang memenuhi adalah $1$.
Jumlah dari ketiga variabel tersebut adalah $x + y + z = 10$.

Kunci Jawaban:
- Eliminasi (1) & (2) $\implies 3x = 9 \implies x = 3$. Diperoleh $y = 2$ dan $z = 1$.
1. Benar ($x = 3$)
2. Benar ($y = 2$)
3. Benar ($z = 1$)
4. Salah ($x + y + z = 3 + 2 + 1 = 6$, bukan $10$)