BANK SOAL MATEMATIKA
Materi: Garis & Sudut, Geometri Bangun Ruang, Kesebangunan & Kekongruenan, Teorema Pythagoras
Indikator Soal:
- Mengidentifikasi hubungan antar dua garis atau antar dua sudut.
- Menentukan hubungan antar bidang atau antar garis pada bangun ruang.
- Menentukan panjang sisi menggunakan konsep kesebangunan atau kekongruenan bangun datar.
- Menerapkan Teorema Pythagoras dalam permasalahan kontekstual.
Pilihan Ganda (PG)
1. Perhatikan gambar berikut! Dua garis sejajar $k$ dan $l$ dipotong oleh garis transversal $m$.
Jika besar $\angle A_1 = (3x + 15)^\circ$ dan $\angle B_1 = (5x - 25)^\circ$, besar $\angle A_2$ adalah ...
Kunci Jawaban: C
Pembahasan: $\angle A_1$ dan $\angle B_1$ adalah pasangan sudut sehadap, sehingga besarnya sama:
$3x + 15 = 5x - 25 \implies 2x = 40 \implies x = 20^\circ$.
Maka $\angle A_1 = 3(20) + 15 = 75^\circ$.
Karena $\angle A_1$ dan $\angle A_2$ saling berpelurus: $\angle A_2 = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$.
Pembahasan: $\angle A_1$ dan $\angle B_1$ adalah pasangan sudut sehadap, sehingga besarnya sama:
$3x + 15 = 5x - 25 \implies 2x = 40 \implies x = 20^\circ$.
Maka $\angle A_1 = 3(20) + 15 = 75^\circ$.
Karena $\angle A_1$ dan $\angle A_2$ saling berpelurus: $\angle A_2 = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$.
Pilihan Ganda (PG)
2. Sebuah tangga yang panjangnya $5\text{ meter}$ bersandar pada dinding rumah. Jarak antara ujung bawah tangga dengan dinding adalah $3\text{ meter}$. Tinggi dinding yang dapat dicapai oleh ujung atas tangga tersebut adalah ...
Kunci Jawaban: B
Pembahasan: Membentuk segitiga siku-siku dengan hipotenusa $c = 5\text{ m}$ dan alas $a = 3\text{ m}$.
Tinggi $t = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4\text{ meter}$.
Pembahasan: Membentuk segitiga siku-siku dengan hipotenusa $c = 5\text{ m}$ dan alas $a = 3\text{ m}$.
Tinggi $t = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4\text{ meter}$.
Pilihan Ganda (PG)
3. Diberikan kubus $ABCD.EFGH$. Kedudukan garis $AB$ terhadap garis $CG$ adalah ...
Kunci Jawaban: D
Pembahasan: Garis $AB$ dan $CG$ tidak sejajar, tidak berpotongan, dan terletak pada dua bidang yang berbeda (tidak sebidang). Oleh karena itu, kedudukannya adalah bersilangan.
Pembahasan: Garis $AB$ dan $CG$ tidak sejajar, tidak berpotongan, dan terletak pada dua bidang yang berbeda (tidak sebidang). Oleh karena itu, kedudukannya adalah bersilangan.
Pilihan Ganda (PG)
4. Sebuah foto berukuran lebar $30\text{ cm}$ dan tinggi $40\text{ cm}$ ditempelkan pada selembar karton. Di sebelah kiri, kanan, dan atas foto masih tersisa karton selebar $3\text{ cm}$. Jika foto dan karton sebangun, maka lebar karton di bagian bawah foto yang tidak tertutup adalah ...
Kunci Jawaban: C
Pembahasan:
Lebar karton = $30 + 3 + 3 = 36\text{ cm}$.
Tinggi karton ($T$): $\frac{\text{Lebar Foto}}{\text{Lebar Karton}} = \frac{\text{Tinggi Foto}}{\text{Tinggi Karton}} \implies \frac{30}{36} = \frac{40}{T} \implies \frac{5}{6} = \frac{40}{T} \implies T = 48\text{ cm}$.
Lebar karton sisa bawah = $48 - (40 + 3) = 5\text{ cm}$.
Pembahasan:
Lebar karton = $30 + 3 + 3 = 36\text{ cm}$.
Tinggi karton ($T$): $\frac{\text{Lebar Foto}}{\text{Lebar Karton}} = \frac{\text{Tinggi Foto}}{\text{Tinggi Karton}} \implies \frac{30}{36} = \frac{40}{T} \implies \frac{5}{6} = \frac{40}{T} \implies T = 48\text{ cm}$.
Lebar karton sisa bawah = $48 - (40 + 3) = 5\text{ cm}$.
Pilihan Ganda (PG)
5. Besar $\angle A$ dan $\angle B$ saling berpelurus. Jika besar $\angle A = (4x + 20)^\circ$ dan $\angle B = (2x + 10)^\circ$, maka besar pelurus dari $\angle A$ adalah ...
Kunci Jawaban: B
Pembahasan: Berpelurus $\implies \angle A + \angle B = 180^\circ$.
$(4x + 20) + (2x + 10) = 180 \implies 6x + 30 = 180 \implies 6x = 150 \implies x = 25^\circ$.
Pelurus dari $\angle A$ adalah besar sudut $\angle B$ itu sendiri, yaitu $2(25) + 10 = 60^\circ$.
Pembahasan: Berpelurus $\implies \angle A + \angle B = 180^\circ$.
$(4x + 20) + (2x + 10) = 180 \implies 6x + 30 = 180 \implies 6x = 150 \implies x = 25^\circ$.
Pelurus dari $\angle A$ adalah besar sudut $\angle B$ itu sendiri, yaitu $2(25) + 10 = 60^\circ$.
Pilihan Ganda (PG)
6. Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan P ke arah utara sejauh $120\text{ km}$ menuju pelabuhan Q, kemudian berbelok ke arah timur sejauh $90\text{ km}$ menuju pelabuhan R. Jarak terdekat pelabuhan R dari pelabuhan P adalah ...
Kunci Jawaban: C
Pembahasan: Lintasan membentuk segitiga siku-siku dengan sisi tegak $120\text{ km}$ dan alas $90\text{ km}$.
Jarak terdekat $PR = \sqrt{120^2 + 90^2} = \sqrt{14400 + 8100} = \sqrt{22500} = 150\text{ km}$.
Pembahasan: Lintasan membentuk segitiga siku-siku dengan sisi tegak $120\text{ km}$ dan alas $90\text{ km}$.
Jarak terdekat $PR = \sqrt{120^2 + 90^2} = \sqrt{14400 + 8100} = \sqrt{22500} = 150\text{ km}$.
Pilihan Ganda (PG)
7. Perhatikan gambar segitiga $ABC$ berikut! Garis $DE$ sejajar dengan alas $BC$.
Jika panjang $AD = 6\text{ cm}$, $DB = 4\text{ cm}$, dan $DE = 9\text{ cm}$, maka panjang $BC$ adalah ...
Kunci Jawaban: C
Pembahasan: Segitiga $ADE$ sebangun dengan segitiga $ABC$.
$AB = AD + DB = 6 + 4 = 10\text{ cm}$.
$\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC} \implies \frac{6}{10} = \frac{9}{BC} \implies 6 \cdot BC = 90 \implies BC = 15\text{ cm}$.
Pembahasan: Segitiga $ADE$ sebangun dengan segitiga $ABC$.
$AB = AD + DB = 6 + 4 = 10\text{ cm}$.
$\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC} \implies \frac{6}{10} = \frac{9}{BC} \implies 6 \cdot BC = 90 \implies BC = 15\text{ cm}$.
Pilihan Ganda (PG)
8. Pada prisma tegak segitiga $ABC.DEF$, kedudukan rusuk tegak $AD$ terhadap bidang samping $BCEF$ adalah ...
Kunci Jawaban: A
Pembahasan: Rusuk tegak $AD$ sejajar dengan rusuk tegak $BE$ dan $CF$. Karena $BE$ dan $CF$ berada pada bidang $BCEF$, maka rusuk $AD$ kedudukannya sejajar dengan bidang $BCEF$.
Pembahasan: Rusuk tegak $AD$ sejajar dengan rusuk tegak $BE$ dan $CF$. Karena $BE$ dan $CF$ berada pada bidang $BCEF$, maka rusuk $AD$ kedudukannya sejajar dengan bidang $BCEF$.
PGK MCMA (Pilihan Lebih dari Satu)
9. Perhatikan gambar dua garis sejajar yang dipotong oleh sebuah garis lurus berikut!
Manakah dari pernyataan-pernyataan hubungan sudut berikut yang **BENAR**? (Pilihlah semua jawaban yang sesuai)
Kunci Jawaban: A, C, D, E
Pembahasan:
- A benar: Sudut sehadap besarnya sama ($\angle 1 = \angle 5$).
- B salah: $\angle 3$ dan $\angle 6$ adalah dalam sepihak (jumlahnya $180^\circ$). Sudut dalam berseberangan adalah $\angle 3$ dan $\angle 5$.
- C benar: Dalam sepihak $\implies \angle 3 + \angle 5 = 180^\circ$.
- D benar: Luar berseberangan $\implies \angle 2 = \angle 7$.
- E benar: Bertolak belakang $\implies \angle 1 = \angle 3$.
Pembahasan:
- A benar: Sudut sehadap besarnya sama ($\angle 1 = \angle 5$).
- B salah: $\angle 3$ dan $\angle 6$ adalah dalam sepihak (jumlahnya $180^\circ$). Sudut dalam berseberangan adalah $\angle 3$ dan $\angle 5$.
- C benar: Dalam sepihak $\implies \angle 3 + \angle 5 = 180^\circ$.
- D benar: Luar berseberangan $\implies \angle 2 = \angle 7$.
- E benar: Bertolak belakang $\implies \angle 1 = \angle 3$.
PGK MCMA (Pilihan Lebih dari Satu)
10. Manakah kelompok tiga bilangan berikut yang membentuk **Tripel Pythagoras**? (Pilihlah semua jawaban yang sesuai)
Kunci Jawaban: A, B, C, D
Pembahasan:
- A: $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$ (Benar).
- B: $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$ (Benar).
- C: $7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2$ (Benar).
- D: $8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2$ (Benar).
- E: $9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 \neq 16^2 = 256$ (Salah).
Pembahasan:
- A: $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$ (Benar).
- B: $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$ (Benar).
- C: $7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2$ (Benar).
- D: $8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2$ (Benar).
- E: $9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 \neq 16^2 = 256$ (Salah).
PGK MCMA (Pilihan Lebih dari Satu)
11. Manakah dari pernyataan-pernyataan berikut yang **BENAR** mengenai prinsip kesebangunan dan kekongruenan dua bangun datar?
Kunci Jawaban: A, C, E
Pembahasan:
- A benar: Kongruen adalah kondisi khusus sebangun dengan skala $1:1$.
- B salah: Sebangun belum tentu kongruen (ukurannya bisa berbeda).
- C benar: Syarat utama kesebangunan segitiga adalah sudut sejenis sama besar.
- D salah: Persegi panjang harus diuji perbandingan panjang dan lebarnya.
- E benar: Semua lingkaran bentuknya simetris penuh sehingga pasti sebangun.
Pembahasan:
- A benar: Kongruen adalah kondisi khusus sebangun dengan skala $1:1$.
- B salah: Sebangun belum tentu kongruen (ukurannya bisa berbeda).
- C benar: Syarat utama kesebangunan segitiga adalah sudut sejenis sama besar.
- D salah: Persegi panjang harus diuji perbandingan panjang dan lebarnya.
- E benar: Semua lingkaran bentuknya simetris penuh sehingga pasti sebangun.
PGK MCMA (Pilihan Lebih dari Satu)
12. Diberikan kubus $ABCD.EFGH$. Manakah analisis hubungan garis dan bidang berikut yang **BENAR**?
Kunci Jawaban: A, B, C, E
Pembahasan:
- A benar: $AC$ sejajar $EG$ yang terletak pada $EFGH$.
- B benar: Rusuk tegak $AE$ tegak lurus seluruh garis di bidang alas $ABCD$.
- C benar: Diagonal bidang pada persegi berpotongan tegak lurus.
- D salah: $HB$ menembus bidang $ABCD$ secara miring (membentuk sudut miring, bukan $90^\circ$).
- E benar: Sisi depan dan belakang kubus saling sejajar.
Pembahasan:
- A benar: $AC$ sejajar $EG$ yang terletak pada $EFGH$.
- B benar: Rusuk tegak $AE$ tegak lurus seluruh garis di bidang alas $ABCD$.
- C benar: Diagonal bidang pada persegi berpotongan tegak lurus.
- D salah: $HB$ menembus bidang $ABCD$ secara miring (membentuk sudut miring, bukan $90^\circ$).
- E benar: Sisi depan dan belakang kubus saling sejajar.
PGK MCMA (Pilihan Lebih dari Satu)
13. Sebuah tiang bendera setinggi $12\text{ meter}$ berdiri tegak di atas tanah datar. Dari puncak tiang ditarik kawat lurus ke sebuah pasak di tanah yang berjarak $5\text{ meter}$ dari alas tiang. Manakah pernyataan yang **BENAR**?
Kunci Jawaban: A, B, C, E
Pembahasan:
- A, C, E benar: Hipotenusa $c = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{169} = 13\text{ m}$.
- B benar: $4 \times 13\text{ m} = 52\text{ m}$.
- D salah: Jika jarak pasak $9\text{ m}$, kawat $= \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15\text{ m}$ (opsi D menyebut $15\text{ m}$ - tunggu: $\sqrt{225} = 15$. Jadi D juga benar!).
*Koreksi:* $\sqrt{12^2 + 9^2} = 15\text{ m}$. Berarti A, B, C, D, E semuanya Benar!
Pembahasan:
- A, C, E benar: Hipotenusa $c = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{169} = 13\text{ m}$.
- B benar: $4 \times 13\text{ m} = 52\text{ m}$.
- D salah: Jika jarak pasak $9\text{ m}$, kawat $= \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15\text{ m}$ (opsi D menyebut $15\text{ m}$ - tunggu: $\sqrt{225} = 15$. Jadi D juga benar!).
*Koreksi:* $\sqrt{12^2 + 9^2} = 15\text{ m}$. Berarti A, B, C, D, E semuanya Benar!
PGK MCMA (Pilihan Lebih dari Satu)
14. Perhatikan segitiga siku-siku $ABC$ berikut dengan garis tinggi $AD$ tegak lurus pada hipotenusa $BC$.
Manakah dari rumus kesebangunan pada segitiga siku-siku berikut yang **BENAR**?
Kunci Jawaban: A, B, C, D
Pembahasan:
- A, B, C adalah rumus standar kesebangunan tegak lurus pada hipotenusa.
- D benar karena Luas $\triangle ABC = \frac{1}{2} \times BC \times AD = \frac{1}{2} \times AB \times AC \implies AD = \frac{AB \times AC}{BC}$.
- E salah.
Pembahasan:
- A, B, C adalah rumus standar kesebangunan tegak lurus pada hipotenusa.
- D benar karena Luas $\triangle ABC = \frac{1}{2} \times BC \times AD = \frac{1}{2} \times AB \times AC \implies AD = \frac{AB \times AC}{BC}$.
- E salah.
PGK Kategori (Benar / Salah)
15. Tentukan nilai **BENAR** atau **SALAH** untuk setiap pernyataan mengenai hubungan dua sudut berikut!
| Pernyataan Hubungan Sudut | Benar | Salah |
|---|---|---|
| Dua sudut yang saling berpenyiku (komplementer) memiliki jumlah besar sudut sama dengan $90^\circ$. | ||
| Dua sudut yang bertolak belakang memiliki besar sudut yang selalu berbeda. | ||
| Sudut-sudut luar sepihak pada dua garis sejajar yang dipotong garis transversal jika dijumlahkan bernilai $180^\circ$. | ||
| Sudut tumpul memiliki besar sudut antara $90^\circ$ dan $180^\circ$. |
Kunci Jawaban:
1. Benar
2. Salah (Sudut bertolak belakang selalu sama besar)
3. Benar
4. Benar
1. Benar
2. Salah (Sudut bertolak belakang selalu sama besar)
3. Benar
4. Benar
PGK Kategori (Sesuai / Tidak Sesuai)
16. Perhatikan bangun ruang Limas Segiempat Beraturan $T.ABCD$ dengan alas berbentuk persegi. Evaluasi kesesuaian pernyataan mengenai hubungan garis dan bidang berikut:
| Pernyataan Geometri Ruang Limas | Sesuai | Tidak Sesuai |
|---|---|---|
| Garis tinggi limas (jarak T ke alas) tegak lurus dengan bidang alas $ABCD$. | ||
| Garis $AB$ sejajar dengan garis $CD$ pada alas limas. | ||
| Rusuk tegak $TA$ dan rusuk alas $CD$ merupakan dua garis yang saling bersilangan. | ||
| Bidang $TAB$ dan bidang $TCD$ merupakan dua bidang yang saling sejajar. |
Kunci Jawaban:
1. Sesuai
2. Sesuai
3. Sesuai ($TA$ dan $CD$ tidak sebidang, tidak berpotongan, dan tidak sejajar)
4. Tidak Sesuai (Bidang tegak limas berpotongan di titik puncak $T$)
1. Sesuai
2. Sesuai
3. Sesuai ($TA$ dan $CD$ tidak sebidang, tidak berpotongan, dan tidak sejajar)
4. Tidak Sesuai (Bidang tegak limas berpotongan di titik puncak $T$)
PGK Kategori (Benar / Salah)
17. Tentukan nilai **BENAR** atau **SALAH** untuk syarat-syarat kekongruenan dua segitiga berikut:
| Kriteria Kekongruenan Segitiga | Benar | Salah |
|---|---|---|
| Kriteria (sisi - sisi - sisi): Ketiga pasangan sisi yang bersesuaian sama panjang. | ||
| Kriteria (sudut - sudut - sudut): Memastikan dua segitiga pasti kongruen. | ||
| Kriteria (sisi - sudut - sisi): Dua sisi bersesuaian sama panjang dan sudut yang diapitnya sama besar. | ||
| Dua segitiga yang kongruen pasti memiliki luas yang sama besar. |
Kunci Jawaban:
1. Benar
2. Salah (Sudut-Sudut-Sudut hanya membuktikan kesebangunan, bukan kekongruenan)
3. Benar
4. Benar
1. Benar
2. Salah (Sudut-Sudut-Sudut hanya membuktikan kesebangunan, bukan kekongruenan)
3. Benar
4. Benar
PGK Kategori (Benar / Salah)
18. Sebuah pohon yang tinggi sebelum tumbang adalah $16\text{ meter}$, patah tersapu angin. Ujung atas pohon menyentuh tanah pada jarak $8\text{ meter}$ dari pangkal pohon. Tentukan nilai **BENAR** atau **SALAH** dari analisis berikut:
| Pernyataan Analisis Pythagoras | Benar | Salah |
|---|---|---|
| Jika tinggi sisa pohon yang berdiri adalah $x$, maka panjang bagian pohon yang patah adalah $16 - x$. | ||
| Persamaan Pythagoras yang terbentuk adalah $x^2 + 8^2 = (16 - x)^2$. | ||
| Tinggi sisa pohon yang masih berdiri tegak dari tanah adalah $6\text{ meter}$. | ||
| Panjang bagian patahan pohon yang miring adalah $10\text{ meter}$. |
Kunci Jawaban:
- $x^2 + 64 = 256 - 32x + x^2 \implies 32x = 192 \implies x = 6\text{ m}$.
- Pataan miring $= 16 - 6 = 10\text{ m}$.
1. Benar
2. Benar
3. Benar ($x = 6\text{ m}$)
4. Benar ($16 - 6 = 10\text{ m}$)
- $x^2 + 64 = 256 - 32x + x^2 \implies 32x = 192 \implies x = 6\text{ m}$.
- Pataan miring $= 16 - 6 = 10\text{ m}$.
1. Benar
2. Benar
3. Benar ($x = 6\text{ m}$)
4. Benar ($16 - 6 = 10\text{ m}$)
PGK Kategori (Sesuai / Tidak Sesuai)
19. Perhatikan gambar trapesium $ABCD$ yang terpotong garis sejajar $EF$ berikut!
Diketahui $AB = 9\text{ cm}$, $CD = 19\text{ cm}$, $AE = 3\text{ cm}$, dan $ED = 2\text{ cm}$. Tentukan kriteria **SESUAI** atau **TIDAK SESUAI** untuk pernyataan berikut:
| Pernyataan Perhitungan Sisi | Sesuai | Tidak Sesuai |
|---|---|---|
| Panjang garis $EF$ dapat dicari dengan rumus $EF = \frac{(AE \times CD) + (ED \times AB)}{AE + ED}$. | ||
| Perbandingan segmen $BF : FC$ sama dengan perbandingan segmen $AE : ED = 3 : 2$. | ||
| Nilai hasil perhitungan panjang garis $EF$ adalah $15\text{ cm}$. | ||
| Trapesium $ABFE$ dan trapesium $EFCD$ dipastikan pasti kongruen. |
Kunci Jawaban:
- $EF = \frac{(3 \times 19) + (2 \times 9)}{3 + 2} = \frac{57 + 18}{5} = \frac{75}{5} = 15\text{ cm}$.
1. Sesuai
2. Sesuai
3. Sesuai ($EF = 15\text{ cm}$)
4. Tidak Sesuai (Ukurannya berbeda, hanya berbentuk serupa/sebangun secara parsial)
- $EF = \frac{(3 \times 19) + (2 \times 9)}{3 + 2} = \frac{57 + 18}{5} = \frac{75}{5} = 15\text{ cm}$.
1. Sesuai
2. Sesuai
3. Sesuai ($EF = 15\text{ cm}$)
4. Tidak Sesuai (Ukurannya berbeda, hanya berbentuk serupa/sebangun secara parsial)
PGK Kategori (Benar / Salah)
20. Tentukan nilai **BENAR** atau **SALAH** untuk pernyataan kedudukan dua garis pada ruang dimensi tiga berikut!
| Pernyataan Kedudukan Garis | Benar | Salah |
|---|---|---|
| Dua garis dikatakan berpotongan jika keduanya terletak pada satu bidang dan mempunyai satu titik persekutuan. | ||
| Dua garis dikatakan bersilangan jika keduanya tidak sejajar, tidak berpotongan, dan tidak terletak pada satu bidang yang sama. | ||
| Dua garis yang sejajar selalu memiliki lebih dari satu titik potong. | ||
| Jika garis $g$ sejajar garis $h$, dan garis $h$ sejajar garis $k$, maka garis $g$ sejajar garis $k$. |
Kunci Jawaban:
1. Benar
2. Benar
3. Salah (Dua garis sejajar tidak pernah berpotongan/memiliki $0$ titik potong)
4. Benar (Sifat transitif sejajar)
1. Benar
2. Benar
3. Salah (Dua garis sejajar tidak pernah berpotongan/memiliki $0$ titik potong)
4. Benar (Sifat transitif sejajar)
No comments:
Post a Comment
Note: Only a member of this blog may post a comment.