BANK SOAL TKA MATEMATIKA SMA : Materi Fungsi

BANK SOAL MATEMATIKA

Materi: Invers Fungsi dan Komposisi Fungsi

Indikator Soal:

• Menentukan nilai invers suatu fungsi dan penerapannya dalam permasalahan sehari-hari.
• Mengidentifikasi syarat komposisi dua fungsi serta penerapannya.

Pilihan Ganda (PG)

1. Diketahui fungsi $f(x) = \frac{2x + 3}{x - 4}$ dengan $x \neq 4$. Nilai dari $f^{-1}(5)$ adalah ...

• A. $\frac{23}{3}$
• B. $\frac{17}{3}$
• C. $\frac{7}{3}$
• D. $-\frac{17}{3}$
• E. $-\frac{23}{3}$

Kunci Jawaban: A
Pembahasan: Misalkan $f^{-1}(5) = a \iff f(a) = 5$.
$\frac{2a + 3}{a - 4} = 5 \implies 2a + 3 = 5a - 20 \implies 3a = 23 \implies a = \frac{23}{3}$.

Pilihan Ganda (PG)

2. Rumus konversi suhu dari skala Celsius ($C$) ke Fahrenheit ($F$) dinyatakan dengan $F(C) = \frac{9}{5}C + 32$. Jika suhu udara di sebuah kota tercatat $86^\circ\text{F}$, maka suhu kota tersebut dalam skala Celsius menggunakan nilai fungsi invers $C(F)$ adalah ...

• A. $25^\circ\text{C}$
• B. $30^\circ\text{C}$
• C. $35^\circ\text{C}$
• D. $40^\circ\text{C}$
• E. $45^\circ\text{C}$

Kunci Jawaban: B
Pembahasan: Invers $C(F) = \frac{5}{9}(F - 32)$.
Untuk $F = 86 \implies C(86) = \frac{5}{9}(86 - 32) = \frac{5}{9}(54) = 30^\circ\text{C}$.

Pilihan Ganda (PG)

3. Diberikan dua fungsi $f(x) = \sqrt{x - 2}$ dan $g(x) = x^2 + 1$. Syarat utama agar fungsi komposisi $(f \circ g)(x)$ terdefinisi untuk seluruh $x \in \mathbb{R}$ adalah ...

• A. Irisan daerah hasil $g$ dan daerah asal $f$ tidak boleh berupa himpunan kosong ($R_g \cap D_f \neq \emptyset$).
• B. Daerah asal $g$ harus sama dengan daerah hasil $f$ ($D_g = R_f$).
• C. Daerah hasil $g$ harus merupakan himpunan bagian dari daerah asal $f$ ($R_g \subseteq D_f$).
• D. Daerah asal $f$ harus memuat seluruh bilangan real.
• E. Nilai $g(x)$ harus selalu negatif untuk setiap $x$.

Kunci Jawaban: C
Pembahasan: Agar $(f \circ g)(x)$ terdefinisi untuk seluruh domain $g$, seluruh output/range dari $g$ harus dapat masuk ke dalam domain $f$, yaitu $R_g \subseteq D_f$.

Pilihan Ganda (PG)

4. Proses pembuatan keripik pisang melalui dua tahap. Tahap I (pemotongan) menghasilkan pisang terpotong ($m$) mengikuti fungsi $m = f(x) = 0{,}8x - 0{,}5$ (dalam kg). Tahap II (penggorengan) menghasilkan keripik ($k$) mengikuti fungsi $k = g(m) = 0{,}6m - 0{,}2$ (dalam kg). Jika bahan mentah pisang yang digunakan adalah $10\text{ kg}$, maka berat keripik pisang yang dihasilkan adalah ...

• A. $4{,}3\text{ kg}$
• B. $4{,}5\text{ kg}$
• C. $5{,}2\text{ kg}$
• D. $6{,}0\text{ kg}$
• E. $7{,}5\text{ kg}$

Kunci Jawaban: A
Pembahasan: $(g \circ f)(x) = g(f(x))$.
$f(10) = 0{,}8(10) - 0{,}5 = 7{,}5$.
$g(7{,}5) = 0{,}6(7{,}5) - 0{,}2 = 4{,}5 - 0{,}2 = 4{,}3\text{ kg}$.

Pilihan Ganda (PG)

5. Jika $f(x) = 3x - 1$ dan $(f \circ g)(x) = 6x^2 + 9x - 7$, nilai dari $g(2)$ adalah ...

• A. $11$
• B. $12$
• C. $13$
• D. $14$
• E. $15$

Kunci Jawaban: B
Pembahasan: $(f \circ g)(x) = 3g(x) - 1 = 6x^2 + 9x - 7 \implies 3g(x) = 6x^2 + 9x - 6 \implies g(x) = 2x^2 + 3x - 2$.
$g(2) = 2(2)^2 + 3(2) - 2 = 8 + 6 - 2 = 12$.

Pilihan Ganda (PG)

6. Diketahui pasangan berurutan dari fungsi bijektif $f = \{(1, 4), (2, 7), (3, 10), (4, 13)\}$. Nilai dari $f^{-1}(7) + f^{-1}(13)$ adalah ...

• A. $4$
• B. $5$
• C. $6$
• D. $7$
• E. $8$

Kunci Jawaban: C
Pembahasan: $f^{-1}(7) = 2$ dan $f^{-1}(13) = 4$. Maka, $2 + 4 = 6$.

Pilihan Ganda (PG)

7. Suatu toko memberikan diskon ganda. Diskon pertama $20\%$ dinyatakan sebagai fungsi $f(x) = 0{,}8x$, dan potongan harga langsung Rp10.000 dinyatakan sebagai $g(x) = x - 10.000$. Jika seseorang membeli barang dengan harga awal $x$, manakah syarat agar fungsi komposisi potongan diskon $(g \circ f)(x)$ berlaku secara realistis dalam konteks harga barang?

• A. $x \ge 0$
• B. $x \ge 10.000$
• C. $x \ge 12.500$
• D. $x \le 12.500$
• E. $x \in \mathbb{R}$

Kunci Jawaban: C
Pembahasan: $(g \circ f)(x) = g(0{,}8x) = 0{,}8x - 10.000$. Agar harga akhir tidak negatif ($\ge 0$), maka $0{,}8x - 10.000 \ge 0 \implies 0{,}8x \ge 10.000 \implies x \ge 12.500$.

Pilihan Ganda (PG)

8. Jika $f(x) = x^2 - 6x + 10$ dengan batasan domain $x \ge 3$, maka nilai $f^{-1}(5)$ adalah ...

• A. $1$
• B. $2$
• C. $4$
• D. $5$
• E. $6$

Kunci Jawaban: D
Pembahasan: $f(a) = 5 \implies a^2 - 6a + 10 = 5 \implies a^2 - 6a + 5 = 0 \implies (a - 5)(a - 1) = 0$.
Diperoleh $a = 5$ atau $a = 1$. Karena syarat domain $x \ge 3$, maka diambil $a = 5$.

PGK MCMA (Pilihan Lebih dari Satu)

9. Diketahui fungsi $f(x) = \frac{3x - 2}{x + 1}$ untuk $x \neq -1$. Manakah dari pernyataan-pernyataan berikut yang bernilai **BENAR**? (Pilihlah semua jawaban yang sesuai)

• A. Rumus invers fungsi tersebut adalah $f^{-1}(x) = \frac{-x - 2}{x - 3}$ untuk $x \neq 3$.
• B. Nilai dari $f^{-1}(1)$ adalah $\frac{3}{2}$.
• C. Nilai dari $f^{-1}(2)$ adalah $4$.
• D. Domain dari $f^{-1}(x)$ adalah $\{x \mid x \in \mathbb{R}, x \neq 3\}$.
• E. $f^{-1}(0) = 2$.

Kunci Jawaban: A, B, C, D
Pembahasan:
- Invers $f(x) = \frac{ax+b}{cx+d}$ adalah $f^{-1}(x) = \frac{-dx+b}{cx-a} \implies f^{-1}(x) = \frac{-x-2}{x-3}$. (A & D benar).
- $f^{-1}(1) = \frac{-1-2}{1-3} = \frac{-3}{-2} = \frac{3}{2}$. (B benar).
- $f^{-1}(2) = \frac{-2-2}{2-3} = \frac{-4}{-1} = 4$. (C benar).
- $f^{-1}(0) = \frac{-2}{-3} = \frac{2}{3} \neq 2$. (E salah).

PGK MCMA (Pilihan Lebih dari Satu)

10. Sebuah perusahaan memberikan gaji pokok $x$ rupiah dan bonus penjualan $B(x) = 0{,}05x + 200.000$. Jika seorang karyawan menerima total pendapatan yang dinyatakan oleh $P(x) = x + B(x) = 1{,}05x + 200.000$, manakah pernyataan berikut yang **BENAR** terkait invers dari fungsi total pendapatan $P^{-1}(y)$?

• A. Fungsi invers $P^{-1}(y)$ digunakan untuk menghitung besarnya gaji pokok berdasarkan total pendapatan $y$.
• B. Rumus fungsi inversnya adalah $P^{-1}(y) = \frac{y - 200.000}{1{,}05}$.
• C. Jika total pendapatan yang diterima karyawan Rp5.450.000, maka gaji pokoknya adalah Rp5.000.000.
• D. Fungsi $P(x)$ tidak memiliki invers karena berbentuk fungsi linear.
• E. Jika total pendapatan Rp2.300.000, maka gaji pokoknya adalah Rp2.000.000.

Kunci Jawaban: A, B, C, E
Pembahasan:
- A benar (konsep invers).
- B benar ($y = 1{,}05x + 200.000 \implies x = \frac{y - 200.000}{1{,}05}$).
- C benar ($P^{-1}(5.450.000) = \frac{5.250.000}{1{,}05} = 5.000.000$).
- D salah (fungsi linear bijektif selalu punya invers).
- E benar ($P^{-1}(2.300.000) = \frac{2.100.000}{1{,}05} = 2.000.000$).

PGK MCMA (Pilihan Lebih dari Satu)

11. Diberikan dua fungsi $f(x) = \sqrt{x - 3}$ dan $g(x) = x + 1$. Manakah analisis pernyataan berikut yang **BENAR** mengenai komposisi kedua fungsi tersebut?

• A. Daerah asal $D_f = \{x \mid x \ge 3, x \in \mathbb{R}\}$.
• B. Komposisi $(f \circ g)(x) = \sqrt{x - 2}$.
• C. Daerah asal komposisi $(f \circ g)(x)$ adalah $\{x \mid x \ge 2, x \in \mathbb{R}\}$.
• D. Nilai dari $(f \circ g)(6)$ adalah $2$.
• E. Komposisi $(g \circ f)(x) = \sqrt{x - 2} + 1$.

Kunci Jawaban: A, B, C, D
Pembahasan:
- A benar ($x - 3 \ge 0 \implies x \ge 3$).
- B benar ($(f \circ g)(x) = f(x+1) = \sqrt{(x+1)-3} = \sqrt{x-2}$).
- C benar ($x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$).
- D benar ($(f \circ g)(6) = \sqrt{6-2} = 2$).
- E salah ($(g \circ f)(x) = g(\sqrt{x-3}) = \sqrt{x-3} + 1$).

PGK MCMA (Pilihan Lebih dari Satu)

12. Manakah pernyataan berikut yang sesuai dengan sifat-sifat umum komposisi fungsi dan invers fungsi?

• A. Secara umum, operasi komposisi fungsi bersifat komutatif: $(f \circ g)(x) = (g \circ f)(x)$.
• B. Operasi komposisi fungsi bersifat asosiatif: $((f \circ g) \circ h)(x) = (f \circ (g \circ h))(x)$.
• C. Invers dari fungsi komposisi memenuhi rumus $(f \circ g)^{-1}(x) = (g^{-1} \circ f^{-1})(x)$.
• D. Jika $I(x) = x$ adalah fungsi identitas, maka $(f \circ I)(x) = (I \circ f)(x) = f(x)$.
• E. Suatu fungsi pasti memiliki fungsi invers meskipun bukan fungsi bijektif.

Kunci Jawaban: B, C, D
Pembahasan:
- A salah (tidak komutatif secara umum).
- B benar (asosiatif).
- C benar (sifat invers komposisi).
- D benar (sifat elemen identitas).
- E salah (harus bijektif/satu-satu dan pada).

PGK MCMA (Pilihan Lebih dari Satu)

13. Suatu mata uang asing diubah ke Rupiah melalui dua tahap penukaran di bank: USD ($x$) ke EUR ($y$) menggunakan fungsi $y = f(x) = 0{,}9x - 2$, lalu EUR ($y$) ke IDR ($z$) dalam ribuan Rupiah menggunakan fungsi $z = g(y) = 16y + 5$. Manakah nilai penukaran berikut yang **BENAR**?

• A. Fungsi komposisi USD ke IDR adalah $(g \circ f)(x) = 14{,}4x - 27$.
• B. Jika menukarkan $100\text{ USD}$, maka nilai dalam IDR adalah $1.413$ ribu Rupiah (Rp1.413.000).
• C. Jika seseorang membawa $10\text{ USD}$, nilai EUR yang diperoleh pada tahap I adalah $7\text{ EUR}$.
• D. Fungsi invers $(g \circ f)^{-1}(z)$ tidak dapat ditentukan.
• E. Jika uang akhir yang diterima adalah $261$ ribu Rupiah, maka uang USD awal adalah $20\text{ USD}$.

Kunci Jawaban: A, B, C, E
Pembahasan:
- $(g \circ f)(x) = 16(0{,}9x - 2) + 5 = 14{,}4x - 32 + 5 = 14{,}4x - 27$. (A benar).
- Untuk $x = 100 \implies 14{,}4(100) - 27 = 1440 - 27 = 1413$ ribu = Rp1.413.000. (B benar).
- $f(10) = 0{,}9(10) - 2 = 7\text{ EUR}$. (C benar).
- E: $14{,}4x - 27 = 261 \implies 14{,}4x = 288 \implies x = 20\text{ USD}$. (E benar).

PGK MCMA (Pilihan Lebih dari Satu)

14. Diketahui $f(x) = x^2 - 4$ dan $g(x) = \sqrt{x}$. Manakah pernyataan yang **BENAR** mengenai domain dan terdefinisinya komposisi fungsi?

• A. $(g \circ f)(x) = \sqrt{x^2 - 4}$.
• B. Domain agar $(g \circ f)(x)$ terdefinisi adalah $\{x \mid x \le -2 \text{ atau } x \ge 2\}$.
• C. $(f \circ g)(x) = x - 4$ untuk $x \ge 0$.
• D. Nilai dari $(g \circ f)(3) = \sqrt{5}$.
• E. $(g \circ f)(1)$ terdefinisi pada himpunan bilangan real.

Kunci Jawaban: A, B, C, D
Pembahasan:
- A & C benar.
- B: $x^2 - 4 \ge 0 \implies (x-2)(x+2) \ge 0 \implies x \le -2$ atau $x \ge 2$. (B benar).
- D: $(g \circ f)(3) = \sqrt{3^2 - 4} = \sqrt{5}$. (D benar).
- E salah karena $f(1) = 1 - 4 = -3$, $\sqrt{-3}$ tidak terdefinisi pada $\mathbb{R}$.

PGK Kategori (Benar / Salah)

15. Tentukan nilai **BENAR** atau **SALAH** untuk setiap pernyataan mengenai invers fungsi $f(x) = \frac{1}{2}x + 4$ berikut!

Pernyataan	Benar	Salah
Fungsi inversnya adalah $f^{-1}(x) = 2x - 8$.
Nilai dari $f^{-1}(0)$ adalah $-8$.
Nilai dari $f^{-1}(4)$ adalah $2$.
Grafik $f(x)$ dan $f^{-1}(x)$ simetris terhadap garis $y = x$.

Kunci Jawaban:
1. Benar ($y = \frac{1}{2}x + 4 \implies 2y = x + 8 \implies x = 2y - 8$)
2. Benar ($f^{-1}(0) = 2(0) - 8 = -8$)
3. Salah ($f^{-1}(4) = 2(4) - 8 = 0$)
4. Benar (Sifat grafik invers)

PGK Kategori (Sesuai / Tidak Sesuai)

16. Tentukan kriteria **SESUAI** atau **TIDAK SESUAI** dari penerapan konsep komposisi dan invers fungsi pada situasi kehidupan sehari-hari berikut:

Situasi Kehidupan Sehari-hari	Sesuai	Tidak Sesuai
Proses enkripsi pesan rahasia (mengubah pesan ke kode) dan dekripsi (mengembalikan kode ke pesan asal) merupakan contoh penerapan fungsi dan inversnya.
Proses pengolahan biji kopi menjadi kopi bubuk, kemudian diseduh menjadi minuman kopi dapat dimodelkan sebagai komposisi fungsi.
Menghitung total luas tanah berbentuk persegi panjang jika diketahui panjang dan lebarnya merupakan penerapan fungsi komposisi dua variabel terikat.
Mengubah nilai rupiah ke mata uang Yen, lalu dari Yen diubah kembali ke Rupiah menggunakan tarif konversi sama adalah konsep $(f^{-1} \circ f)(x) = x$.

Kunci Jawaban:
1. Sesuai
2. Sesuai
3. Tidak Sesuai (Perkalian dua variabel independen, bukan fungsi komposisi bertahap)
4. Sesuai

PGK Kategori (Benar / Salah)

17. Diberikan fungsi $f(x) = \frac{x}{x - 1}$ untuk $x \neq 1$. Tentukan nilai **BENAR** atau **SALAH** untuk setiap pernyataan berikut:

Pernyataan Nilai dan Invers	Benar	Salah
Fungsi ini bersifat self-inverse, yaitu $f^{-1}(x) = f(x) = \frac{x}{x - 1}$.
Nilai dari $f^{-1}(3)$ adalah $\frac{3}{2}$.
Nilai dari $(f \circ f)(5)$ adalah $5$.
Fungsi $f(x)$ terdefinisi untuk nilai $x = 1$.

Kunci Jawaban:
1. Benar ($y(x-1) = x \implies yx - y = x \implies x(y-1) = y \implies x = \frac{y}{y-1}$)
2. Benar ($f^{-1}(3) = \frac{3}{3-1} = \frac{3}{2}$)
3. Benar (Karena $f^{-1} = f$, maka $f \circ f = I \implies (f \circ f)(5) = 5$)
4. Salah (Penyebut nol saat $x = 1$)

PGK Kategori (Benar / Salah)

18. Diketahui fungsi $f(x) = 2x + 1$ dan $g(x) = x^2 - 2$. Tentukan nilai **BENAR** atau **SALAH** pada hasil operasi komposisi berikut:

Pernyataan Komposisi	Benar	Salah
$(f \circ g)(x) = 2x^2 - 3$
$(g \circ f)(x) = 4x^2 + 4x - 1$
Nilai $(f \circ g)(2) = 5$.
Nilai $(g \circ f)(-1) = -1$.

Kunci Jawaban:
1. Benar ($(f \circ g)(x) = 2(x^2 - 2) + 1 = 2x^2 - 3$)
2. Benar ($(g \circ f)(x) = (2x+1)^2 - 2 = 4x^2 + 4x + 1 - 2 = 4x^2 + 4x - 1$)
3. Benar ($(f \circ g)(2) = 2(2)^2 - 3 = 8 - 3 = 5$)
4. Benar ($f(-1) = -1 \implies g(-1) = (-1)^2 - 2 = -1$)

PGK Kategori (Sesuai / Tidak Sesuai)

19. Evaluasi kelayakan domain untuk fungsi komposisi $h(x) = (f \circ g)(x)$ dengan $f(x) = \frac{1}{x - 5}$ dan $g(x) = 2x + 1$. Tentukan **SESUAI** atau **TIDAK SESUAI**:

Kondisi Domain / Nilai	Sesuai	Tidak Sesuai
Rumus fungsi komposisi $(f \circ g)(x) = \frac{1}{2x - 4}$.
Nilai $x = 2$ tidak termasuk dalam daerah asal (domain) $(f \circ g)(x)$.
Daerah asal fungsi $h(x)$ adalah $\{x \mid x \in \mathbb{R}, x \neq 5\}$.
Nilai dari $(f \circ g)(3)$ adalah $\frac{1}{2}$.

Kunci Jawaban:
1. Sesuai ($(f \circ g)(x) = f(2x+1) = \frac{1}{(2x+1)-5} = \frac{1}{2x-4}$)
2. Sesuai (Penyebut $2x - 4 \neq 0 \implies x \neq 2$)
3. Tidak Sesuai (Domain seharusnya $x \neq 2$, bukan $x \neq 5$)
4. Sesuai ($(f \circ g)(3) = \frac{1}{2(3)-4} = \frac{1}{2}$)

PGK Kategori (Benar / Salah)

20. Diberikan fungsi $f(x) = 3x + 2$ dan $g(x) = x - 4$. Tentukan nilai **BENAR** atau **SALAH** untuk setiap pernyataan mengenai fungsi komposisi dan inversnya berikut!

Pernyataan	Benar	Salah
Invers dari fungsi $f(x)$ adalah $f^{-1}(x) = \frac{x - 2}{3}$.
Invers dari fungsi $g(x)$ adalah $g^{-1}(x) = x + 4$.
Rumus komposisi $(f \circ g)(x) = 3x - 10$.
Rumus invers dari komposisi $(f \circ g)^{-1}(x) = \frac{x + 10}{3}$.

Kunci Jawaban:
1. Benar ($y = 3x + 2 \implies x = \frac{y-2}{3}$)
2. Benar ($y = x - 4 \implies x = y + 4$)
3. Benar ($(f \circ g)(x) = 3(x - 4) + 2 = 3x - 12 + 2 = 3x - 10$)
4. Benar ($y = 3x - 10 \implies x = \frac{y + 10}{3}$)