Bank Soal TKA Matematika SMA - 20 Soal Terakhir
Topik Utama: Jenis, Sifat, dan Operasi Bilangan Real (Soal 21–40)
Bentuk soal terdiri dari: Pilihan Ganda (PG), Pilihan Ganda Kompleks Kategori (Benar/Salah), dan MCMA (Multiple Choice Multiple Answer).
PAKET 2: JENIS, SIFAT, DAN OPERASI BILANGAN REAL
Diketahui $a = 8^{2/3}$ dan $b = 3^{-2}$. Jenis bilangan dari hasil operasi $a \times b$ adalah...
Lihat Kunci & Pembahasan
Kunci Jawaban: B
Pembahasan:
Hitung $a = (2^3)^{2/3} = 2^2 = 4$.
Hitung $b = 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$.
Maka $a \times b = 4 \times \frac{1}{9} = \frac{4}{9}$.
Karena $\frac{4}{9}$ berbentuk $\frac{p}{q}$ ($p, q \in \mathbb{Z}, q \ne 0$) dan bukan bilangan bulat, hasilnya adalah bilangan rasional non-bulat.
Tentukan status BENAR atau SALAH untuk setiap pernyataan mengenai sifat operasi himpunan bilangan berikut:
- Himpunan bilangan asli tertutup terhadap operasi pengurangan.
- Pengurangan dua bilangan irasional selalu menghasilkan bilangan irasional.
- Hasil kali bilangan rasional bukan nol dengan bilangan irasional adalah bilangan irasional.
Lihat Kunci & Pembahasan
Kunci Jawaban:
- 1. Salah — Contoh: $2 - 5 = -3 \notin \mathbb{N}$ (bukan bilangan asli).
- 2. Salah — Contoh: $\sqrt{2} - \sqrt{2} = 0$, di mana $0$ adalah bilangan rasional.
- 3. Benar — Jika $r \in \mathbb{Q}, r \ne 0$ dan $x \notin \mathbb{Q}$, maka $r \cdot x$ tidak mungkin rasional.
Manakah pernyataan di bawah ini yang BENAR mengenai sifat aljabar bilangan real? (Pilih semua yang sesuai)
[ ] Operasi pembagian pada bilangan real memenuhi sifat asosiatif.
[ ] Sifat distributif perkalian terhadap pengurangan berlaku pada seluruh bilangan real.
[ ] Untuk setiap $x \in \mathbb{R}$ dengan $x \ne 0$, selalu terdapat elemen invers perkalian $\frac{1}{x} \in \mathbb{R}$.
[ ] Kuadrat dari sebarang bilangan real selalu bernilai positif murni ($>0$).
Lihat Kunci & Pembahasan
Pernyataan yang Benar:
- ✔ Sifat distributif perkalian terhadap pengurangan berlaku pada seluruh bilangan real.
- ✔ Untuk setiap $x \in \mathbb{R}$ dengan $x \ne 0$, selalu terdapat elemen invers perkalian $\frac{1}{x} \in \mathbb{R}$.
Pembahasan:
- Pembagian tidak asosiatif: $(8 \div 4) \div 2 = 1$, tetapi $8 \div (4 \div 2) = 4$.
- Distributif $a(b-c) = ab - ac$ selalu berlaku di $\mathbb{R}$.
- Setiap $x \ne 0$ memiliki invers perkalian $\frac{1}{x}$ sehingga $x \cdot \frac{1}{x} = 1$.
- Kuadrat bilangan real bisa bernilai nol jika $x = 0$ ($0^2 = 0$), jadi harus $\ge 0$.
Nilai sederhana dari $\left(27^{1/3} \cdot 16^{3/4}\right) \div 4^{-1}$ adalah...
Lihat Kunci & Pembahasan
Kunci Jawaban: C
Pembahasan:
- $27^{1/3} = (3^3)^{1/3} = 3$
- $16^{3/4} = (2^4)^{3/4} = 2^3 = 8$
- $4^{-1} = \frac{1}{4}$
Perhitungan: $(3 \cdot 8) \div \frac{1}{4} = 24 \times 4 = 96$.
Bentuk sederhana dari $\frac{2^{n+4} - 2 \cdot 2^n}{2 \cdot 2^{n+3}}$ untuk $n \in \mathbb{N}$ adalah...
Lihat Kunci & Pembahasan
Kunci Jawaban: A
Pembahasan:
Faktorkan $2^n$ pada pembilang dan penyebut:
Pembilang: $2^{n+4} - 2^{n+1} = 2^n (2^4 - 2^1) = 2^n (16 - 2) = 14 \cdot 2^n$.
Penyebut: $2 \cdot 2^{n+3} = 2^{n+4} = 16 \cdot 2^n$.
Maka rasionya: $\frac{14 \cdot 2^n}{16 \cdot 2^n} = \frac{14}{16} = \frac{7}{8}$.
Diketahui $x = 32^{2/5}$ dan $y = 81^{1/4}$. Manakah dari hasil operasi bilangan berikut yang bernilai BULAT? (Pilih semua yang sesuai)
[ ] $x + y$
[ ] $x^y$
[ ] $\frac{y}{x}$
[ ] $(x \cdot y)^{1/2}$
Lihat Kunci & Pembahasan
Pernyataan yang Benar:
- ✔ $x + y$
- ✔ $x^y$
Pembahasan:
- Hitung $x = (2^5)^{2/5} = 2^2 = 4$.
- Hitung $y = (3^4)^{1/4} = 3$.
- $x + y = 4 + 3 = 7$ (Bilangan Bulat).
- $x^y = 4^3 = 64$ (Bilangan Bulat).
- $\frac{y}{x} = \frac{3}{4} = 0,75$ (Bukan Bulat).
- $(x \cdot y)^{1/2} = (4 \cdot 3)^{1/2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ (Irasional / Bukan Bulat).
Diketahui tiga buah bilangan real berpangkat: $P = 2^{60}$, $Q = 3^{40}$, dan $R = 5^{20}$. Urutan bilangan dari yang terkecil hingga terbesar adalah...
Lihat Kunci & Pembahasan
Kunci Jawaban: B
Pembahasan:
Samakan eksponennya menggunakan FPB dari 60, 40, dan 20, yaitu 20:
- $P = 2^{60} = (2^3)^{20} = 8^{20}$
- $Q = 3^{40} = (3^2)^{20} = 9^{20}$
- $R = 5^{20} = 5^{20}$
Karena basisnya $5 < 8 < 9$, maka $5^{20} < 8^{20} < 9^{20}$, sehingga $R < P < Q$.
Diberikan $M = \sqrt{2 \sqrt{2 \sqrt{2 \dots}}}$ dan $N = \sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots}}}$. Tentukan kebenaran dari pernyataan berikut:
- Nilai $M$ merupakan bilangan rasional bulat.
- Nilai $N$ adalah bilangan irasional.
- Hasil dari $N^M$ sama dengan 9.
Lihat Kunci & Pembahasan
Kunci Jawaban:
- 1. Benar — Misal $M = \sqrt{2M} \implies M^2 = 2M \implies M = 2$ (karena $M \ne 0$). 2 adalah bulat rasional.
- 2. Salah — Misal $N = \sqrt{6+N} \implies N^2 - N - 6 = 0 \implies (N-3)(N+2) = 0 \implies N = 3$. 3 adalah bulat rasional, bukan irasional.
- 3. Benar — $N^M = 3^2 = 9$.
Bentuk operasi $125 \times 98$ dapat dihitung secara cepat dengan sifat distributif menjadi...
Lihat Kunci & Pembahasan
Kunci Jawaban: D
Pembahasan:
- A: $125 \times (100 - 2) = 125 \times 100 - 125 \times 2$ (Distributif perkalian terhadap pengurangan).
- B: $125 \times (90 + 8) = 125 \times 90 + 125 \times 8$ (Distributif perkalian terhadap penjumlahan).
- C: $(100 + 25) \times 98 = 100 \times 98 + 25 \times 98$ (Distributif kanan).
Ketiga opsi memanfaatkan sifat distributif dengan benar.
Nilai dari $2^{1/2} \cdot 3^{1/2} + 2^{1/2} \cdot 12^{1/2}$ dapat disederhanakan dengan sifat distributif menjadi...
Lihat Kunci & Pembahasan
Kunci Jawaban: A
Pembahasan:
Gunakan sifat distributif faktor $2^{1/2} = \sqrt{2}$:
$\sqrt{2}(\sqrt{3} + \sqrt{12}) = \sqrt{2}(\sqrt{3} + 2\sqrt{3}) = \sqrt{2}(3\sqrt{3}) = 3\sqrt{6}$.
Operasi $\odot$ pada himpunan bilangan real didefinisikan sebagai $a \odot b = a + b - ab$. Manakah dari sifat aljabar berikut yang BERLAKU untuk operasi $\odot$? (Pilih semua yang sesuai)
[ ] Komutatif ($a \odot b = b \odot a$)
[ ] Asosiatif ($(a \odot b) \odot c = a \odot (b \odot c)$)
[ ] Memiliki elemen identitas bernilai $0$
[ ] Terjadi ketertutupan pada himpunan bilangan bulat
Lihat Kunci & Pembahasan
Pernyataan yang Benar:
- ✔ Komutatif ($a \odot b = b \odot a$)
- ✔ Asosiatif ($(a \odot b) \odot c = a \odot (b \odot c)$)
- ✔ Memiliki elemen identitas bernilai $0$
- ✔ Terjadi ketertutupan pada himpunan bilangan bulat
Pembahasan:
1. Komutatif: $a \odot b = a+b-ab = b+a-ba = b \odot a$ (Benar).
2. Identitas $e$: $a \odot e = a \implies a + e - ae = a \implies e(1-a) = 0 \implies e = 0$ (Benar).
3. Asosiatif: Ruas kiri $= (a+b-ab) \odot c = a+b+c-ab-ac-bc+abc$. Ruas kanan menghasilkan bentuk identik (Benar).
4. Jika $a, b \in \mathbb{Z}$, hasil $a+b-ab$ pasti $\in \mathbb{Z}$ (Benar).
Diberikan dua operasi biner standar pada bilangan real: pengurangan $(-)$ dan pembagian $(\div)$. Tentukan kebenaran dari pernyataan berikut:
- Operasi pengurangan bersifat distributif kiri terhadap penjumlahan, yaitu $a - (b + c) = (a - b) + (a - c)$.
- Operasi pembagian bersifat distributif kanan terhadap penjumlahan, yaitu $(a + b) \div c = (a \div c) + (b \div c)$ untuk $c \ne 0$.
- Operasi pembagian bersifat distributif kiri terhadap penjumlahan, yaitu $a \div (b + c) = (a \div b) + (a \div c)$.
Lihat Kunci & Pembahasan
Kunci Jawaban:
- 1. Salah — $a - (b + c) = a - b - c$, sedangkan $(a - b) + (a - c) = 2a - b - c$.
- 2. Benar — $\frac{a+b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c}$. Distributif kanan berlaku pada pembagian.
- 3. Salah — Contoh: $12 \div (3 + 3) = 2$, sedangkan $(12 \div 3) + (12 \div 3) = 8$.
Jika $x = 8$ dan $y = 25$, maka nilai dari $\frac{x^{-2/3} \cdot y^{1/2}}{x^{1/3} + y^{-1/2}}$ adalah...
Lihat Kunci & Pembahasan
Kunci Jawaban: D
Pembahasan:
- Pembilang: $8^{-2/3} \cdot 25^{1/2} = \frac{1}{4} \cdot 5 = \frac{5}{4}$.
- Penyebut: $8^{1/3} + 25^{-1/2} = 2 + \frac{1}{5} = \frac{11}{5}$.
Hasil: $\frac{5/4}{11/5} = \frac{5}{4} \times \frac{5}{11} = \frac{25}{44}$.
Hasil dari $101^2 - 99^2 + 97^2 - 95^2$ adalah...
Lihat Kunci & Pembahasan
Kunci Jawaban: C
Pembahasan:
Gunakan selisih kuadrat $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:
- $(101^2 - 99^2) = (101 - 99)(101 + 99) = 2 \times 200 = 400$.
- $(97^2 - 95^2) = (97 - 95)(97 + 95) = 2 \times 192 = 384$.
Total $= 400 + 384 = 784$.
Untuk setiap bilangan asli $n \in \mathbb{N}$, bentuk $5^{2n} - 1^{2n}$ selalu habis dibagi oleh bilangan tertentu. Tentukan kebenaran dari pernyataan berikut:
- Bentuk tersebut selalu habis dibagi oleh $4$.
- Bentuk tersebut selalu habis dibagi oleh $6$.
- Bentuk tersebut selalu habis dibagi oleh $24$.
Lihat Kunci & Pembahasan
Kunci Jawaban:
- 1. Benar — $5^{2n} - 1 = 25^n - 1^n = (25-1)(25^{n-1} + \dots) = 24 \cdot k$. Kelipatan 24 habis dibagi 4.
- 2. Benar — Kelipatan 24 habis dibagi 6.
- 3. Benar — Faktor dasarnya adalah $(25-1) = 24$.
Diketahui $p = \sqrt{3} + \sqrt{2}$ dan $q = \sqrt{3} - \sqrt{2}$. Pernyataan berikut yang menghasilkan BILANGAN RASIONAL adalah... (Pilih semua yang sesuai)
[ ] $p \cdot q$
[ ] $p^2 + q^2$
[ ] $\frac{p}{q} + \frac{q}{p}$
[ ] $p - q$
Lihat Kunci & Pembahasan
Pernyataan yang Benar:
- ✔ $p \cdot q$
- ✔ $p^2 + q^2$
- ✔ $\frac{p}{q} + \frac{q}{p}$
Pembahasan:
- $p \cdot q = (\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2}) = 3 - 2 = 1$ (Rasional).
- $p^2 + q^2 = (5 + 2\sqrt{6}) + (5 - 2\sqrt{6}) = 10$ (Rasional).
- $\frac{p}{q} + \frac{q}{p} = \frac{p^2 + q^2}{pq} = \frac{10}{1} = 10$ (Rasional).
- $p - q = 2\sqrt{2}$ (Irasional).
Jika $a = 2^{1/3}$ dan $b = 4^{1/3}$, maka nilai dari $(a + b)^3 - 3ab(a + b)$ adalah...
Lihat Kunci & Pembahasan
Kunci Jawaban: C
Pembahasan:
Gunakan identitas aljabar $(x+y)^3 = x^3 + y^3 + 3xy(x+y)$.
Jika dikurangi $3xy(x+y)$, tersisa $x^3 + y^3$.
Maka $(a+b)^3 - 3ab(a+b) = a^3 + b^3 = (2^{1/3})^3 + (4^{1/3})^3 = 2 + 4 = 6$.
Diketahui $x, y \in \mathbb{N}$ dengan $x^y - y^x = 17$. Jika $x$ dan $y$ adalah bilangan bulat positif, manakah pasangan $(x, y)$ yang memenuhi?
Lihat Kunci & Pembahasan
Kunci Jawaban: C
Pembahasan:
Uji pilihan $x = 3$ dan $y = 4$:
$x^y - y^x = 3^4 - 4^3 = 81 - 64 = 17$.
Persamaan terbukti benar untuk $x = 3$ dan $y = 4$.
Diberikan persamaan aljabar $(x^{1/2} + y^{1/2})(x^{1/2} - y^{1/2})(x + y) = x^2 - y^2$. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut:
- Perkalian dua suku pertama menggunakan sifat distributif menghasilkan $(x - y)$.
- Persamaan aljabar tersebut berlaku untuk semua $x, y \in \mathbb{R}$.
- Jika $x = 9$ dan $y = 4$, nilai ruas kiri persamaan sama dengan 65.
Lihat Kunci & Pembahasan
Kunci Jawaban:
- 1. Benar — $(x^{1/2} + y^{1/2})(x^{1/2} - y^{1/2}) = x - y$.
- 2. Salah — Karena memuat bentuk pangkat pecahan $x^{1/2}$ ($\sqrt{x}$), $x$ dan $y$ harus non-negatif ($x, y \ge 0$).
- 3. Benar — Ruas kiri $= (x - y)(x + y) = x^2 - y^2 = 9^2 - 4^2 = 81 - 16 = 65$.
Diketahui $a, b \in \mathbb{N}$ dengan $a > 1, b > 1$. Jika $K = (a^b)^{b^{-1}}$ dan $L = \left(a^{a/b}\right)^{b/a}$, manakah pernyataan berikut yang BENAR? (Pilih semua yang sesuai)
[ ] Nilai $K = a$
[ ] Nilai $L = a$
[ ] Nilai $K = L$
[ ] Nilai $K \cdot L = a^2$
Lihat Kunci & Pembahasan
Pernyataan yang Benar:
- ✔ Nilai $K = a$
- ✔ Nilai $L = a$
- ✔ Nilai $K = L$
- ✔ Nilai $K \cdot L = a^2$
Pembahasan:
- $K = a^{b \cdot \frac{1}{b}} = a^1 = a$.
- $L = a^{\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a}} = a^1 = a$.
- $K = L = a$.
- $K \cdot L = a \cdot a = a^2$. Semua empat pilihan bernilai BENAR.
No comments:
Post a Comment
Note: Only a member of this blog may post a comment.