Bank Soal TKA Matematika SMA : Matriks

20 Soal TKA SMA Matematika: Matriks & Program Linear (HOTS)

Berikut adalah kumpulan 20 soal latihan Tes Kemampuan Akademik (TKA) SMA bidang Matematika Tingkat Lanjut (HOTS). Materi mencakup Determinan Matriks, Invers Matriks, Operasi Matriks (2x2 dan 3x3), serta Program Linear.

Format soal terdiri dari:

• Pilihan Ganda Biasa (PG)
• Pilihan Ganda Kompleks Kategori (Benar/Salah)
• Multiple Choice Multiple Answer (MCMA / Lebih dari 1 jawaban benar)

BAGIAN 1: MATRIKS (Determinan, Invers, & Operasi Matriks)

Level L1: Memahami Pilihan Ganda

Soal 1

Diketahui matriks \( A = \begin{pmatrix} x+1 & 3 \\ 2 & x-4 \end{pmatrix} \). Jika matriks \( A \) merupakan matriks singular, maka nilai-nilai \( x \) yang memenuhi adalah...

• A. \( x = -2 \) atau \( x = 5 \)
• B. \( x = 2 \) atau \( x = -5 \)
• C. \( x = -1 \) atau \( x = 4 \)
• D. \( x = -2 \) atau \( x = -5 \)
• E. \( x = 2 \) atau \( x = 5 \)

Lihat Kunci & Pembahasan

Kunci Jawaban: A

Pembahasan:
Matriks singular memiliki determinan sama dengan nol (\( \det(A) = 0 \)).
\( \det(A) = (x+1)(x-4) - (3)(2) = 0 \)
\( x^2 - 3x - 4 - 6 = 0 \)
\( x^2 - 3x - 10 = 0 \)
\( (x-5)(x+2) = 0 \implies x = 5 \text{ atau } x = -2 \).

Level L2: Mengaplikasikan Pilihan Ganda

Soal 2

Diketahui matriks \( A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} \) dan \( B = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \). Jika matriks \( X \) berordo \( 2 \times 2 \) memenuhi persamaan \( A \cdot X = B \), maka determinan dari matriks \( X^2 \) adalah...

• A. \( \frac{1}{2} \)
• B. \( 1 \)
• C. \( 2 \)
• D. \( 4 \)
• E. \( 16 \)

Lihat Kunci & Pembahasan

Kunci Jawaban: B

Pembahasan:
Gunakan sifat determinan: \( \det(A \cdot X) = \det(A) \cdot \det(X) = \det(B) \).
\( \det(A) = (2)(3) - (1)(4) = 2 \)
\( \det(B) = (-1)(0) - (2)(1) = -2 \)
Maka: \( 2 \cdot \det(X) = -2 \implies \det(X) = -1 \).
Sehingga: \( \det(X^2) = (\det(X))^2 = (-1)^2 = 1 \).

Level L3: Bernalar Pilihan Ganda

Soal 3

Diberikan matriks \( P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 3 & -1 & 1 \end{pmatrix} \). Jika \( P^{-1} \) adalah invers dari matriks \( P \), maka nilai dari elemen baris ke-2 kolom ke-3 dari \( P^{-1} \) adalah...

• A. \( \frac{1}{9} \)
• B. \( -\frac{1}{9} \)
• C. \( \frac{1}{11} \)
• D. \( -\frac{1}{11} \)
• E. \( -\frac{2}{9} \)

Lihat Kunci & Pembahasan

Kunci Jawaban: A

Pembahasan:
Elemen \( (P^{-1})_{2,3} = \frac{C_{3,2}}{\det(P)} = \frac{-M_{3,2}}{\det(P)} \).
\( \det(P) = 1(2 - (-1)) - 0 + 2(0 - 6) = 3 - 12 = -9 \).
Minor \( M_{3,2} = \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 1 - 0 = 1 \).
Kofaktor \( C_{3,2} = -1 \cdot M_{3,2} = -1 \).
Maka \( (P^{-1})_{2,3} = \frac{-1}{-9} = \frac{1}{9} \).

Level L3: Bernalar Kompleks Kategori

Soal 4

Diberikan matriks \( A \) dan \( B \) berordo \( 2 \times 2 \) dengan \( \det(A) = 3 \) dan \( \det(B) = -2 \). Tentukan apakah pernyataan-pernyataan berikut **BENAR** atau **SALAH**:

1. Determinan matriks \( 2A \) adalah \( 6 \).
2. \( \det(A \cdot B^{-1}) = -1,5 \).
3. Jika \( A \) dapat diinvers, maka \( \det(A^T \cdot A) = 9 \).

Lihat Kunci & Pembahasan

Kunci Jawaban:

• 1. Salah — Untuk ordo \( 2 \times 2 \), \( \det(2A) = 2^2 \det(A) = 4 \times 3 = 12 \).
• 2. Benar — \( \det(A \cdot B^{-1}) = \det(A) \times \frac{1}{\det(B)} = \frac{3}{-2} = -1,5 \).
• 3. Benar — \( \det(A^T \cdot A) = \det(A^T) \times \det(A) = 3 \times 3 = 9 \).

Level L2: Mengaplikasikan MCMA (Multi Jawaban)

Soal 5

Diketahui matriks \( A = \begin{pmatrix} a & 2 \\ 1 & b \end{pmatrix} \) dan \( B = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \). Jika \( A + B^T = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \), manakah pernyataan berikut yang **BENAR**? (Pilih semua yang sesuai)

[ ] Nilai \( a = 1 \)
[ ] Nilai \( b = -1 \)
[ ] Matriks \( A \) tidak memiliki invers
[ ] Trace matriks \( A \) adalah \( 0 \)
[ ] \( \det(A) = -3 \)

Lihat Kunci & Pembahasan

Pernyataan yang Benar:

• ✔ Nilai \( a = 1 \)
• ✔ Nilai \( b = -1 \)
• ✔ Trace matriks \( A \) adalah \( 0 \)
• ✔ \( \det(A) = -3 \)

Pembahasan:
\( B^T = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \).
\( A + B^T = \begin{pmatrix} a+4 & 4 \\ 2 & b+3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \).
Maka \( a+4=5 \implies a=1 \) dan \( b+3=2 \implies b=-1 \).
Matriks \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \).
Trace \( A = 1 + (-1) = 0 \). \( \det(A) = (1)(-1) - (2)(1) = -3 \neq 0 \) (memiliki invers).

Level L3: Bernalar Pilihan Ganda

Soal 6

Diberikan sistem persamaan linear tiga variabel:
\( x + 2y + z = 6 \)
\( 2x - y + z = 3 \)
\( 3x + y + 2z = 9 \)
Jika bentuk matriks dari sistem di atas adalah \( A \cdot X = B \), maka nilai determinan matriks koefisien \( A \) (\( \det(A) \)) adalah...

• A. \( 0 \)
• B. \( 2 \)
• C. \( -2 \)
• D. \( 4 \)
• E. \( -4 \)

Lihat Kunci & Pembahasan

Kunci Jawaban: A

Pembahasan:
Matriks koefisien \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \).
Perhatikan bahwa Baris 3 = Baris 1 + Baris 2. Karena ada baris yang merupakan kombinasi linear dari baris lain, maka secara sifat determinan, \( \det(A) = 0 \).

Level L3: Bernalar MCMA (Multi Jawaban)

Soal 7

Matriks \( M = \begin{pmatrix} k & 1 & 0 \\ 0 & k-1 & 2 \\ 2 & 0 & k \end{pmatrix} \). Supaya matriks \( M \) **memiliki invers**, manakah nilai \( k \) yang **TIDAK BOLEH** dipilih?

[ ] \( k = 1 \)
[ ] \( k = -1 \)
[ ] \( k = 2 \)
[ ] \( k = -1.314 \) (pendekatan)

Lihat Kunci & Pembahasan

Pernyataan yang Tidak Boleh Dipilih:

Supaya matriks \( M \) memiliki invers, maka \( \det(M) \neq 0 \). Nilai \( k \) yang membuat \( \det(M) = 0 \) harus dihindari.
\( \det(M) = k((k-1)k - 0) - 1(0 - 4) + 0 = k^3 - k^2 + 4 \).
Jika diuji \( k \approx -1.314 \), maka \( \det(M) = 0 \).

Level L1: Memahami Kompleks Kategori

Soal 8

Tentukan kategori **BENAR** atau **SALAH** untuk sifat-sifat matriks berordo \( n \times n \) (\( A \) dan \( B \) mempunyai invers):

1. \( (A \cdot B)^{-1} = A^{-1} \cdot B^{-1} \)
2. \( \det(A^T) = \det(A) \)
3. \( (A + B)^T = A^T + B^T \)

Lihat Kunci & Pembahasan

Kunci Jawaban:

• 1. Salah — Sifat invers perkalian matriks: \( (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} \).
• 2. Benar — Determinan matriks sama dengan determinan transposenya.
• 3. Benar — Sifat transpose terhadap penjumlahan.

Level L2: Mengaplikasikan Pilihan Ganda

Soal 9

Diketahui \( A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \). Jika \( A^2 - xA + yI = O \), dengan \( I \) matriks identitas \( 2 \times 2 \) dan \( O \) matriks nol, maka nilai \( x + y \) adalah...

• A. \( 7 \)
• B. \( 10 \)
• C. \( 17 \)
• D. \( 19 \)
• E. \( 22 \)

Lihat Kunci & Pembahasan

Kunci Jawaban: C

Pembahasan:
Berdasarkan Teorema Cayley-Hamilton, setiap matriks persegi \( A \) memenuhi persamaan karakteristik: \( A^2 - \text{Trace}(A) \cdot A + \det(A) \cdot I = O \).
\( \text{Trace}(A) = 3 + 4 = 7 \implies x = 7 \).
\( \det(A) = (3)(4) - (2)(1) = 12 - 2 = 10 \implies y = 10 \).
Maka \( x + y = 7 + 10 = 17 \).

Level L3: Bernalar MCMA (Multi Jawaban)

Soal 10

Diberikan matriks \( A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \). Manakah dari pernyataan berikut mengenai \( A^{-1} \) yang **BENAR**? (Pilih semua yang sesuai)

[ ] Determinan dari \( A^{-1} \) adalah \( 5 \)
[ ] Matriks \( A^{-1} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \)
[ ] \( A \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)
[ ] \( \det(5 \cdot A^{-1}) = 5 \)

Lihat Kunci & Pembahasan

Pernyataan yang Benar:

• ✔ Matriks \( A^{-1} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \)
• ✔ \( A \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)
• ✔ \( \det(5 \cdot A^{-1}) = 5 \)

Pembahasan:
\( \det(A) = 3 - (-2) = 5 \implies \det(A^{-1}) = \frac{1}{5} \).
\( A^{-1} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \).
\( \det(5 A^{-1}) = 5^2 \cdot \det(A^{-1}) = 25 \cdot \frac{1}{5} = 5 \).

BAGIAN 2: PROGRAM LINEAR

Level L1: Memahami Pilihan Ganda

Soal 11

Daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan: \( x + 2y \ge 6, \quad 3x + y \le 9, \quad x \ge 0, \quad y \ge 0 \) memiliki titik-titik pojok (ekstrem) yaitu...

• A. \( (0,3), (3,0), (0,0) \)
• B. \( (0,3), (2,3), (3,0) \)
• C. \( (0,3), (2,3), (0,0) \)
• D. \( (0,3), (2,3), (0,9) \)
• E. \( (0,3), (2,3), (3,0), (0,0) \)

Lihat Kunci & Pembahasan

Kunci Jawaban: B

Pembahasan:
Garis \( x+2y=6 \) memotong sumbu-\(Y\) di \( (0,3) \) dan sumbu-\(X\) di \( (6,0) \).
Garis \( 3x+y=9 \) memotong sumbu-\(Y\) di \( (0,9) \) dan sumbu-\(X\) di \( (3,0) \).
Titik potong kedua garis: \( x=2, y=3 \implies (2,3) \).
Irisan daerah \( x+2y \ge 6 \) dan \( 3x+y \le 9 \) di Kuadran I dibatasi oleh titik pojok \( (0,3) \), \( (2,3) \), dan \( (3,0) \).

Level L2: Mengaplikasikan Pilihan Ganda

Soal 12

Seorang pengusaha kue membuat dua jenis kue. Kue A memerlukan 200 gram tepung dan 25 gram mentega, sedangkan Kue B memerlukan 100 gram tepung dan 50 gram mentega. Bahan yang tersedia adalah 4 kg tepung dan 1,5 kg mentega. Jika \( x \) menyatakan banyak Kue A dan \( y \) menyatakan banyak Kue B, sistem pertidaksamaan yang memenuhi adalah...

• A. \( 2x + y \le 40, \quad x + 2y \le 60, \quad x \ge 0, \quad y \ge 0 \)
• B. \( x + 2y \le 40, \quad 2x + y \le 60, \quad x \ge 0, \quad y \ge 0 \)
• C. \( 2x + y \le 40, \quad x + 2y \le 30, \quad x \ge 0, \quad y \ge 0 \)
• D. \( x + 2y \le 40, \quad 2x + y \le 30, \quad x \ge 0, \quad y \ge 0 \)
• E. \( 2x + y \le 20, \quad x + 2y \le 30, \quad x \ge 0, \quad y \ge 0 \)

Lihat Kunci & Pembahasan

Kunci Jawaban: A

Pembahasan:
Tepung: \( 200x + 100y \le 4000 \text{ gram} \implies 2x + y \le 40 \).
Mentega: \( 25x + 50y \le 1500 \text{ gram} \implies x + 2y \le 60 \).
Non-negatif: \( x \ge 0, y \ge 0 \).

Level L2: Mengaplikasikan Pilihan Ganda

Soal 13

Nilai maksimum dari fungsi objektif \( f(x,y) = 5x + 4y \) pada daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan \( x + y \le 8 \), \( 2x + 3y \le 18 \), \( x \ge 0 \), \( y \ge 0 \) adalah...

• A. \( 24 \)
• B. \( 32 \)
• C. \( 36 \)
• D. \( 38 \)
• E. \( 40 \)

Lihat Kunci & Pembahasan

Kunci Jawaban: E

Pembahasan:
Titik-titik pojok daerah penyelesaian:
1. \( (0,0) \implies f = 0 \)
2. \( (0,6) \implies f = 5(0) + 4(6) = 24 \)
3. Titik potong \( (6,2) \implies f = 5(6) + 4(2) = 38 \)
4. \( (8,0) \implies f = 5(8) + 4(0) = 40 \)
Nilai maksimumnya adalah \( 40 \).

Level L3: Bernalar Kompleks Kategori

Soal 14

Diberikan fungsi sasaran \( Z = ax + by \) dengan \( a, b > 0 \). Daerah penyelesaian dibatasi oleh \( x \ge 0 \), \( y \ge 0 \), \( x + y \le 6 \), dan \( x + 2y \le 8 \). Tentukan kategori **BENAR** atau **SALAH** untuk setiap pernyataan berikut:

1. Nilai maksimum \( Z \) selalu dicapai di titik potong \( (4,2) \) untuk sebarang nilai \( a \) dan \( b \).
2. Jika \( a = b \), maka nilai maksimum \( Z \) dicapai pada seluruh segmen garis \( x+y=6 \) dari \( (4,2) \) hingga \( (6,0) \).
3. Nilai minimum \( Z \) pada daerah penyelesaian selalu bernilai \( 0 \).

Lihat Kunci & Pembahasan

Kunci Jawaban:

• 1. Salah — Tergantung perbandingan/gradien garis sasaran \( -\frac{a}{b} \).
• 2. Benar — Jika \( a=b \), gradien sasaran sama dengan gradien garis pembatas \( x+y=6 \).
• 3. Benar — Karena \( a,b > 0 \) dan \( x,y \ge 0 \), minimum dicapai di \( (0,0) \) dengan \( Z=0 \).

Level L3: Bernalar Pilihan Ganda

Soal 15

Suatu pabrik menggunakan dua jenis mesin (M1 dan M2) untuk membuat produk X dan Y.

• Produk X membutuhkan waktu 2 jam pada M1 dan 1 jam pada M2.
• Produk Y membutuhkan waktu 1 jam pada M1 dan 3 jam pada M2.

Total jam kerja maksimum per hari untuk M1 adalah 10 jam dan M2 adalah 15 jam. Keuntungan per unit produk X adalah Rp100.000,00 dan produk Y adalah Rp150.000,00. Keuntungan maksimum per hari adalah...

• A. Rp750.000,00
• B. Rp850.000,00
• C. Rp900.000,00
• D. Rp1.000.000,00
• E. Rp1.150.000,00

Lihat Kunci & Pembahasan

Kunci Jawaban: C

Pembahasan:
Model matematika: \( 2x + y \le 10 \), \( x + 3y \le 15 \), \( x \ge 0, y \ge 0 \).
Fungsi sasaran: \( f(x,y) = 100.000x + 150.000y \).
Titik potong garis: \( x = 3, y = 4 \implies f(3,4) = 300.000 + 600.000 = 900.000 \).
Keuntungan maksimum adalah **Rp900.000,00**.

Level L2: Mengaplikasikan MCMA (Multi Jawaban)

Soal 16

Daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan \( 2x + y \ge 8 \), \( x + y \ge 6 \), \( x \ge 0 \), \( y \ge 0 \) berbentuk daerah terbuka. Manakah titik berikut yang **BERADA DI DALAM** daerah penyelesaian tersebut? (Pilih semua yang benar)

[ ] \( (2, 5) \)
[ ] \( (5, 2) \)
[ ] \( (1, 7) \)
[ ] \( (1, 4) \)

Lihat Kunci & Pembahasan

Pernyataan yang Benar:

• ✔ \( (2, 5) \) — \( 2(2)+5 = 9 \ge 8 \) dan \( 2+5 = 7 \ge 6 \)
• ✔ \( (5, 2) \) — \( 2(5)+2 = 12 \ge 8 \) dan \( 5+2 = 7 \ge 6 \)
• ✔ \( (1, 7) \) — \( 2(1)+7 = 9 \ge 8 \) dan \( 1+7 = 8 \ge 6 \)

Level L3: Bernalar Pilihan Ganda

Soal 17

Apabila daerah penyelesaian dari suatu masalah program linear **tidak terbatas** ke arah kanan atas (unbounded) dan fungsi objektif yang dicari adalah **maksimum** \( f(x,y) = ax + by \) dengan \( a > 0, b > 0 \), maka kesimpulan yang paling tepat adalah...

• A. Nilai maksimum selalu bernilai \( 0 \).
• B. Nilai maksimum tidak terdefinisi / tidak terhingga.
• C. Nilai maksimum tetap dapat ditemukan pada salah satu titik pojok.
• D. Daerah penyelesaian tidak memiliki solusi sama sekali.
• E. Nilai minimum pasti sama dengan nilai maksimum.

Lihat Kunci & Pembahasan

Kunci Jawaban: B

Pembahasan:
Jika daerah penyelesaian tidak terbatas (unbounded) ke arah tak terhingga positif dan koefisien fungsi objektif \( a, b > 0 \), maka nilai fungsi objektif dapat membesar tanpa batas, sehingga nilai maksimumnya tidak terdefinisi.

Level L2: Mengaplikasikan Kompleks Kategori

Soal 18

Suatu wilayah pertidaksamaan dibentuk oleh: \( x + y \le 6 \), \( x \ge 1 \), \( y \ge 1 \). Tentukan apakah pernyataan berikut **BENAR** atau **SALAH**:

1. Luas daerah penyelesaian tersebut adalah \( 8 \) satuan luas.
2. Titik \( (2,3) \) berada di dalam daerah penyelesaian.
3. Nilai maksimum dari \( f(x,y) = x - y \) pada daerah tersebut adalah \( 4 \).

Lihat Kunci & Pembahasan

Kunci Jawaban:

• 1. Benar — Daerah berbentuk segitiga siku-siku dengan alas \( 4 \) dan tinggi \( 4 \), Luas = \( \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8 \).
• 2. Benar — \( 2+3=5 \le 6 \), \( 2 \ge 1 \), \( 3 \ge 1 \).
• 3. Benar — Maksimum \( x-y \) dicapai saat \( x \) terbesar dan \( y \) terkecil, yaitu di titik \( (5,1) \implies 5-1 = 4 \).

Level L3: Bernalar MCMA (Multi Jawaban)

Soal 19

Diberikan fungsi kendala:
\( x + y \ge 4, \quad 2x + y \le 8, \quad y \ge 1, \quad x \ge 0 \)
Manakah dari titik-titik berikut yang merupakan **titik pojok (ekstrem)** dari daerah penyelesaian? (Pilih semua yang benar)

[ ] \( (3, 1) \)
[ ] \( (3.5, 1) \)
[ ] \( (0, 4) \)
[ ] \( (0, 8) \)

Lihat Kunci & Pembahasan

Pernyataan yang Benar:

• ✔ \( (3, 1) \)
• ✔ \( (3.5, 1) \)
• ✔ \( (0, 4) \)
• ✔ \( (0, 8) \)

Pembahasan:
Keempat titik tersebut merupakan perpotongan garis-garis pembatas daerah penyelesaian.

Level L3: Bernalar Pilihan Ganda

Soal 20

Sebuah perusahaan transportasi harus mengirim sekurang-kurangnya 300 paket menggunakan dua jenis armada, Truk P dan Truk Q. Truk P dapat memuat 30 paket dan Truk Q dapat memuat 20 paket. Biaya operasional Truk P adalah Rp500.000 per perjalanan dan Truk Q adalah Rp400.000 per perjalanan. Jumlah perjalanan Truk Q tidak boleh lebih dari dua kali jumlah perjalanan Truk P. Biaya operasional minimum yang dikeluarkan perusahaan adalah...

• A. Rp5.000.000,00
• B. Rp5.200.000,00
• C. Rp5.400.000,00
• D. Rp6.000.000,00
• E. Rp6.500.000,00

Lihat Kunci & Pembahasan

Kunci Jawaban: B

Pembahasan:
Misal \( x \) = jumlah Truk P, \( y \) = jumlah Truk Q.
Kendala:
1) \( 30x + 20y \ge 300 \implies 3x + 2y \ge 30 \)
2) \( y \le 2x \)
3) \( x \ge 0, y \ge 0 \)

Fungsi Objektif: \( f(x,y) = 500.000x + 400.000y \)

Titik potong garis pembatas \( 3x + 2y = 30 \) dan \( y = 2x \):
\( 3x + 2(2x) = 30 \implies 7x = 30 \implies x \approx 4.28 \). Karena unit armada bulat, dibulatkan ke atas menjadi \( x = 5 \), sehingga \( y = 8 \).
Uji titik bulat terdekat:
- Titik \( (5, 8) \implies f = 5(500.000) + 8(400.000) = 2.500.000 + 3.200.000 = \text{Rp}5.700.000 \)
- Titik \( (6, 6) \implies f = 6(500.000) + 6(400.000) = 3.000.000 + 2.400.000 = \text{Rp}5.400.000 \)
- Titik \( (4, 8) \implies 3(4)+2(8) = 28 < 30 \) (tidak memenuhi).
- Titik \( (10, 0) \implies f = 10(500.000) + 0 = \text{Rp}5.000.000 \) (tidak memenuhi syarat \( y \le 2x \)? Boleh karena \( 0 \le 20 \)).

Jika \( y=0 \), maka \( 3x = 30 \implies x=10 \).
Uji titik \( (10,0) \implies f(10,0) = 10 \times 500.000 = \text{Rp}5.000.000 \).
Maka biaya minimum adalah **Rp5.000.000,00** (Opsi A).